Riassunto del corso analisi 2

Analisi II

• Curve Parametriche

Data la curva v(t) la parametrizzazione sarà:

v(t) = {x(t)i + y(t)j + z(t)k in ℝ³z(t)i + y(t)j in ℝ² { z(t) = 0 }}

• Curve Cartesiane

Data f : [a, b] → ℝ “Simile a y = f(x)” si avrà:

1. Scegliere il parametro
   • Chiamiamo una parte della β(x).
2. Scrivo la β : [a, b] in forma Parametricaβ = E + f(t)i + s(t)k

• Cambio di Parametro

Data v(t) = Cos(t)i + Sen(t)j, t ∈ [0, 2π]

1. Cambio il parametro (con qualcosa di semplice)Es.: t = 2πμ

2. Calcolo:(I) : μ = ^t/_2π(II) t ∈ [0, 2π] → μ ∈ [⁰/_2π, ^2π/_2π] = [0, 1]

3. Riscrivov(μ) : Cos(2πμ)i + Sen(2πμ)j

Per il cambio di parametro  si possono solo avere

1. Curve crescenti monotone
2. “decrescenti”

• GIUSTAPPOSIZIONE

Dato

• ESEMPIO:

REGOLARITÀ DI UNA CURVA:

si dice REGOLARE se:

1. Esistono
2. nell’intervallo (continua le derivate, continua la derivata).
3. .

• VETTORE VELOCITÀ

=

=

direzione

Differenziabilità

f(x,y) si dice DIFFERENZIABILE in A(x₀,y₀) se:

1. ∂x f(A) e ∂y f(A)

{DERIVABILE in A}

2. Chiamiamo R(h,K) = f(x₀+h, y₀+K) - f(x₀,y₀) - ∂x f(A)(x-x₀) - ∂y f(A)(y-y₀)
3. Chiamiamo x-x₀ = h y-y₀ = K
4. Deve valere:

lim_{(h,K) -> (0,0)} R(h,K)/√h²+K²

Teorema:

Se f ∈ C¹(A) allora f ∈ DIFFERENZIABILE in A

Altro modo per scrivere:

1. Chiamiamo P₀(x₀,y₀) e vettore &vec;v h = (K) = Incremento.
2. Riscriviamo:

f(P₀,&vec;v h ) = f(P₀) + ∇f(P₀ )• &vec;v h + δ|&vec;v h |³

oppure

f(P₀,&vec;v h ) = f(P₀) - (∂x f(P₀))(h) (K) - (∂y f(P₀))(K) + δ|&vec;v h |

3. Perciò dice differenziabile se:

lim _{&vec;v ->0} (f(P₀,&vec;v h ) - f(P₀) - ∇f(P₀)•&vec;v) / |&vec;v | = 0

CONSEGUENZE DELLA DIFFERENZIABILITÀ:

Se f(x,y) é differenziabile ⇒ f(x,y) é continua in A

e ∂²_x ∂²_y f(x,y)

∇ g(1)•∇f(1)•&vec;u h con g(1) = f(1,&vec;v h )

Formula del gradiente

|| ∇f(x,y) = indice di MAGGIOR PENDENZA di f(x₀,y₀)

Quando il test dell'Hessiana fallisce:

Fallisce per tutti i punti _Rk(0, α)

• Occorre studiare il segno dell'incremento

f(x, y) - f(P_{o critico}) > 0

ESEMPIO 1:

f(x, y) = x³ + (x - y)²

1. Trovo i punti critici:

^▽f(P): (^∂f/_∂x, ^∂f/_∂y) = (0, 0)

⟹ {3x² + 2x - 2y = 02y - 2x = 0}

P = (0, 0)"Critico nell'origine"

2. Costruisco H_F

H_F: (^{6x + 2}/_-2, ^-2/₂)

⟹ H_F(in P): (²/_-2, ^-2/₂)

3. Det(H_F)

Det(H_F nel P) = 2 · 2 - (-2) · (-2) = 0

Non si può sapere nulla

4. INCREMENTO:

f(x, y) - f(P) = f(x, y) = x³ - (x - y)²

5. Ragionare!

Se fosse una sella...

Pongo x = y così f(x, x) = x³

x³ cambia segno in un intorno di P ⟹ SELLA

2° ordine, lineari con coeff. costanti

a y''(t) + b y'(t) + c y(t) = f(t)

Caso 1: Eq. omogenea

f(t) = 0

a y''(t) + b y'(t) + c y(t) = 0

1. Sostituisco
2. Risolvo la nuova equazione

3 casi

• (a) λ₁ ≠ λ₂
• y₁(t) = e^λ₁t
• y₂(t) = e^λ₂t

y(H) = c₁e^λ₁t + c₂e^λ₂t

• (b) λ₁ = λ₂ = λ
• y₁(t) = e^λt
• y₂(t) = t e^λt

y(H) = c₁e^λt + c₂te^λt

• (c) λ = α ± β
• y₁(t) = e^αtcos(βt)
• y₂(t) = e^αtsen(βt)

y(H) = y₁(t) + y₂(t)

Caso 2: Eq. non omogenea

1. x¹ = X = e^2t

• Si pone x(t) = Ke^2t
• x'(t) = 2Ke^2t
• x''(t) = 4Ke^2t

1. Sostituisce nell'equazione
2. Trova K
3. Si ottiene X(t)_particolare = K(espl.)e^2t

X(t)_finale = X(t)_particolare + X(t)_omogenea

• Risolvo x'' = 0
• [Vedi eq. omogenea]
• Somma tutto per trovare X(t)_finale

1. x'' + x = parabolica

• Si pone x(t) = At² + Bt + C
• x'(t) = 2At + B
• x''(t) = 2A

Procedimento analogo al punto 1

Serie Numeriche

∑_n=1^∞ A_n

"Chiamando S_K = ∑_n=1^K A_n le somme degli addendi da 1 a K, analogamente agli integrali si pone:

lim S_K → ∑_n=1^∞ A_n = lim A_n → Fisico

∑_n=1^∞ qⁿ

Converge se |q| < 1

Diverge se |q| ≥ 1

Indeterminato per q=(-1)

Serie Geometrica

∑_n=1^∞ qⁿ

Converge a 1/(1-q) se |q| < 1

Diverge se |q| ≥ 1 (2ⁿ, 3ⁿ ...)

Indeterminato per q={-1} (-1)ⁿ

Alcune Proprietà:

1. Se ∑_n a_n CONV ⇔ ∑_n |a_n| CONV
2. Dato ∑a_n e ∑b_n convergenti, allora
3. Se a_n ≤ b_n allora ∑a_n ≤ ∑b_n
4. Dato a_n e c_n ≤ b_n allora ∑c_n convergente

Test di Non-Convergenza

lim a_n ≠ 0 allora la serie NON CONVERGE

Non è vero che: lim a_n = 0 allora CONVERGE!

Serie di Fourier (π-periodiche)

Formule Importanti

(c1): _Sen(u_x)_Sen(u_y) = ¹/₂ [_Cos(u_x-u_y) + _Cos(u_x+u_y)]

(c2): _Cos(u_x)_Cos(u_y) = ¹/₂ [_Cos(u_x+u_y) + _Cos(u_x-u_y)]

(c3): _Sen(u_x)_Cos(u_y) = ¹/₂ [_Sen(u_x+u_y) ± _Sen(u_x-u_y)]

• Scrivere f(x) come una SERIE trigonometriche:

f(x) = a₀ + ∑ [ a_{u Cos}(u_x) + b_uSen(u_x) ]

a₀ = ¹/_2π ∫ f(x) dx

a_u = ¹/_π ∫ f(x) _Cos(u_x) dx

b_u = ¹/_π ∫ f(x) _Sen(u_x) dx

'IMPORTANTE'

• Usare metodo "per parti"
• Fare attenzione se si integrando i pari o dispari (semplificano tanti calcoli)

Convergenza Della Serie di Fourier

Definisco f_m(x) = Serie Fourier = a₀ + ∑ [ a_uCos(u_x) + b_uSen(u_x) ]

• Posta la condizione D: f lim f(x) e f lim f'(x)
• Vanno bene: punta angolosa, discontinuità a salto
• Non vanno bene: cuspidi, o picchi
• Tutte le C¹ vanno bene

'Se D viene soddisfatto, allora:

1. f_m(x) converge ∀ x
2. f(x) continuo in x₀ perciò f_m(x) = f(x₀)
3. Se f(x) discontinua in x₀ f_m(x₀) → ^{f(x-₀) + f(x+₀)}/₂