Dimostrazioni Teoremi corso Analisi 2 (Prof. Tralli)

Definizioni generali - Insiemistica

• Prodotto scalare

  ∀x,y ∈ ℜⁿ <x,y> = ∑_i=1ⁿ x_iy_i

• Disuguaglianza Cauchy-Schwarz

  ∀x,y ∈ ℜⁿ |<x,y>| ≤ √<x,x> · √<y,y>, nonché |<x,y>| ≤ |x| · |y|

• Norma

  ||x|| = √<x,x> = √∑_i=1ⁿ x_i²

• Distanza

  d(x,y) = ||x-y|| = √∑_i=1ⁿ (x_i-y_i)²

• Definizione palla aperta e chiusa, sfera
  • Palla aperta centrata in x di raggio r: B(x,r) = { y ∈ ℜⁿ | d(y,x) < r }
  • Palla chiusa centrata in x di raggio r: B(x,r) = { y ∈ ℜⁿ | d(y,x) ≤ r }
  • Sfera centrata in x di raggio r: S(x,r) = { y ∈ ℜⁿ | d(y,x) = r }
• Punto interno

  Sia A ⊆ ℜⁿ e x₀ ∈ A. x₀ è un punto interno di A se ∃r>0 t.c. B(x₀,r) ⊆ A

• Insieme aperto

  L'insieme A si dice aperto (A ⊆ ℜⁿ) se tutti i punti di A sono punti interni.

• Insieme chiuso

  Sia A ⊆ ℜⁿ, l'insieme A si dice chiuso se ℜⁿ\A^c (complementare di A) è aperto.

• Insiemi banali

  Sia A ⊆ ℜⁿ e A ≠ ø. A si dice chiuso che aperto.

Definizioni generali - Intervalli

• Prodotto scalare

  ∀x, y ∈ ℝⁿ <x, y> = ∑_i=1ⁿ x_iy_i

• Disuguaglianza Cauchy-Schwarz

  ∀x, y ∈ ℝⁿ |<x, y>| ≤ √<x, x> ⋅ √<y, y>, nonché |<x, y>| ≤ |x| ⋅ |y|

• Norma

  ||x|| = √<x, x> = √(∑_i=1ⁿ (x_i)²)

• Distanza

  d(x, y) = ||x - y|| = √(∑_i=1ⁿ (x_i - y_i)²)

• Definizione palla aperta e chiusa, sfera
  • Palla aperta centrata in x di raggio r: B(x, r) = { y ∈ ℝⁿ | d(y, x) < r }
  • Palla chiusa centrata in x di raggio r: B(x, r) = { y ∈ ℝⁿ | d(y, x) ≤ r }
  • Sfera centrata in x di raggio r: S(x, r) = { y ∈ ℝⁿ | d(y, x) = r }
• Punto interno

  Sia A ∈ ℝⁿ e x₀ ∈ A. x₀ è un punto interno di A se ∃r > 0 t.c. B(x₀, r) ⊆ A

• Insieme aperto

  L'insieme A si dice aperto (A ⊆ ℝⁿ) se tutti i punti di A sono punti interni.

• Insieme chiuso

  Sia A ⊆ ℝⁿ. L'insieme A si dice chiuso se ℝⁿ \ A^c = A^c è aperto.

• Insiemi banali

  Sia A ⊆ ℝⁿ e A ≠ ∅_ℝⁿ. A è sia chiuso che aperto.

Proprietà degli insiemi

• L'intersezione finita o infinita di insiemi aperti è aperta.
• L'unione finita di insiemi aperti è aperta.
• L'intersezione finita o infinita di chiusi è chiusa.
• L'unione finita di chiusi è chiusa.

Bordo di A

Sia \( A \subseteq \mathbb{R}^n \). Definiamo bordo (o frontiera di \( A \)) l'insieme \(\partial A = \{ x \in \mathbb{R}^n \; | \; \forall r > 0 \; si \; ha \; B(x,r) \cap A \neq \emptyset \; e \; B(x,r) \cap A^c \neq \emptyset \}\).

Ovvero i vettori \( x \in \mathbb{R}^n \) tali per cui la palla centrata in \( x \) di raggio \( r \) maggiore di 0 ha intersezione sia con \( A \) che con il suo complementare.

Chiusura di A

Sia \( A \subseteq \mathbb{R}^n \). Definiamo chiusura di \( A \) come:

\(\bar{A} = A \cup \partial A\)

Ovvero l'insieme \( A \) unito al bordo di \( A \). La chiusura di \( A \) è un insieme chiuso.

Interno di A

Sia \( A \subseteq \mathbb{R}^n \). Definiamo l'interno di \( A \) come:

\(\text{int}(A) = \{ x \;|\; x \; interno \; ad \; A \}\)

Punti non di frontiera

Per un punto che non è di frontiera deve valere: