Dimostrazioni Teoremi corso Analisi 2 (Prof. Tralli)

Definizioni Generali Intervalli

1. Prodotto Scalpore

   <x, y> ∈ ℝⁿ , <x, y> = ∑_{i = 1}ⁿ x_i y_i

2. Disuguaglianza di Cauchy Schwarz

   ∀x, y ∈ ℝⁿ , |<x, y>| ≤ √<x, x> · √<y, y>

3. Norma

   ||x||₂ = √<x, x> = √∑_i |x_i|²

4. Distanza

   d(x, y) = ||x - y|| = √∑_i(x_i-y_i)²

5. Definizione Palla Aperta e Chiusa, Sfera

   Palla Aperta centrata in x di raggio r

   • B(x, r) = {y ∈ ℝⁿ : d(y, x) < r}

   Palla Chiusa centrata in x di raggio r

   • B̅(x, r) = {y ∈ ℝⁿ : d(y, x) ≤ r}

   Sfera centrata in x di raggio r

   • S(x, r) = {y ∈ ℝⁿ : d(y, x) = r}

6. Punto Interiore

   Sia A ⊂ ℝⁿ e x₀ ∈ A. x₀ è un punto interno di A se ∃r > 0 t.c. B(x₀, r) ⊂ A

7. Insieme Aperto

   L'insieme A si dice aperto (A ⊂ ℝⁿ) se tutti i punti di A sono punti interni.

8. Insieme Chiuso

   Se A ⊂ ℝⁿ, l'insieme A si dice chiuso se ℝⁿ\{A} = ^_cA = A^c è aperto.

9. Insiemi Banalti

   Se A ⊂ ℝⁿ e A ≠ ∅ , A si dice chiuso che aperto.

Proprietà degli insiemi

1. L'intersezione finita di insiemi aperti è aperta
2. L'unione finita di insiemi aperti è aperta
3. L'intersezione finita di chiusi è chiusa
4. L'unione finita di chiusi è chiusa

Bordo di A

Sia A ⊆ ℝⁿ. Definiamo bordo (o frontiera di A) l'insieme

∀x ∈ ℝⁿ ∀r>0 si ha B(x,r)∩A ≠ ∅ e B(x,r)∩A^c ≠ ∅

Ovvero il vettor x∈ℝⁿ tale per cui la palla centrata in X di raggio r maggiore di 0 ha intersezione sia con A che con il suo complementare

Chiusura di A

Sia A ⊆ ℝⁿ. Definiamo chiusura di A come:

Ā = A ∪ ∂A

Ovvero l'insieme A unito al bordo di A. La chiusura di A è un insieme chiuso.

Interno di A

Sia A ⊆ ℝⁿ. Definiamo l'interno di A come

int(A) = { x : x interno ad A }

Punti non di frontiera

Per un punto che non è di frontiera deve valere

∃r>0 t.c. B(x,r)∩A = ∅ → B(x,r)∩A = ∅

B(x,r)⊆A^c B(x,r)⊆A

Ovvero che le palle centrate in X di raggio r non ha intersezione con A se il punto appartiene al complementare e analogamente le palle centrate in X di raggio r non ha intersezione con il complementare di A se X appartiene ad A.

Derivato di A e punti di accumulazione

Sia A ⊆ ℝⁿ. Chiamiamo derivato di A:

D(A) = { x ∈ ℝⁿ: ∀r>0, B(x,r)∩(A\{x}) ≠ ∅ }

e i punti di D(A) vengono definiti punti di accumulazione per A.

Nota: Possono esistere punti di accumulazione per A che non appartengono ad A

29) Teorema Heine-Borel

Sia A ⊆ ℝⁿ, A è compatto ⇔ A è chiuso e limitato.

30) Insieme Convesso

L'insieme A si dice convesso (o meglio, convesso per archi) se

   ∀X₀,X₁ ∈ A ∃ γ : [0,1] → ℝⁿ t.c. :

• γ è continua in [0,1]
• δ(0)=X₀     X(t)=X₀
• δ(t) ∈ A    ∀ t ∈ [0,1]

Ovvero presti X₀ ed X₁ in A, esiste una funzione γ di 0 e 1 in ℝⁿ tale che

γ sia continua nell'intervallo [0,1], δ(0)=X₀ e δ(1)=X₁ e δ(t) assuma valori in A

per qualsiasi t ∈ [0,1]

31) Insieme Convesso

L'insieme A si dice convesso se ∀X₀,X ∈ A, tX₀+(1+t)X₀ ∈ A    ∀ t ∈ [0,1]

Ovvero presi X₀, X in A, la funzione δ(t)=tX₀+(1-t)X₀ assume valori in A per

qualsiasi valore t compreso tra 0 e 1.

Osservazione: Tutti gli insiemi convessi sono a maggior ragione connessi, ma non viceversa.

Solo in ℝ un insieme connesso è convesso e viceversa poiché in N-1 non c’è

differenza tra i due.

32) Teorema di Weierstrass

Sia A ⊆ Rⁿ un insieme compatto e f : A → Rᵐ una funzione continua

Allora f(A) è un insieme compatto di ℝᵐ.

33) Corollario del Teorema di Weierstrass

Sia A ⊆ ℝᵈ un insieme compatto e f : A → Rᵐ una funzione continua.

f(A) ammette quindi massimo e minimo (cioè esistono Xmin e Xmax tali per cui

• f(Xmin) min f      f(Xmax) max f
• A        A

La funzione in Xmin è minima il valore della funzione f su A

La funzione in Xmax assume il valore massimo nell'insieme A.

50) Proprietà delle derivate parziali

Sia \( A \subseteq \mathbb{R}^n \), \( g: A \to \mathbb{R}^m \), \( f: A \to \mathbb{R} \), \( x_0 \in \text{int} (A) \). Allora:

1. \(\frac{\partial}{\partial x_j} (f \cdot g) (x_0) = f(x_0) \cdot \frac{\partial g}{\partial x_j} (x_0) + g(x_0) \cdot \frac{\partial f}{\partial x_j} (x_0)\)
2. \(\frac{\partial}{\partial x_j} (c \cdot g) = c \cdot \frac{\partial g}{\partial x_j}\)
3. \(\frac{\partial}{\partial x_j} \left(\frac{f}{g}\right) (x_0) = \frac{g(x_0) \cdot \frac{\partial f}{\partial x_j} (x_0) - f(x_0) \cdot \frac{\partial g}{\partial x_j} (x_0)}{(g(x_0))^2}\)

51) Proprietà dei differenziali

Sia \( A \subseteq \mathbb{R}^n \), \( g: A \to \mathbb{R}^m \), \( f: A \to \mathbb{R} \), \( x_0 \in \text{int} (A) \). Allora:

1. \( g \cdot f \text{ diff. in } x_0 \Rightarrow g \cdot f \text{ diff. in } x_0 \Rightarrow d (f \cdot g)(x_0) = f(x_0) \cdot dg(x_0) + g(x_0) \cdot df(x_0) \)
2. \( f, g \text{ diff. in } x_0 \Rightarrow (f \cdot g) \text{ diff. in } x_0 \Rightarrow d (f \cdot g)(x_0) \)

52) Teorema differenziale della composizione

Sia \( A \subseteq \mathbb{R}^n \), \( B \subseteq \mathbb{R}^m \), \( f: A \to \mathbb{R}^m \), \( g: B \to \mathbb{R}^r \) t.c. \( f(A) \subseteq B \) inoltre \( x_0 \in \text{int} (A) \),

Supponiamo \( f \) differenziabile in \( x_0 \) e \( g \) diff. in \( f(x_0) \). Allora:

1. \( g \circ f \text{ è differenziabile in } x_0 \)
2. \( d(g \circ f)(x_0) = dg(f(x_0)) \cdot df(x_0) \)
3. \( J(g \circ f)(x_0) = J_g(f(x_0)) \cdot J_f(x_0) \)

prod. per matrice

53) Velocità delle curve

Sia \( f: C_{[a,b]} \to \mathbb{R}^m \), Supponiamo \( f \) differenziabile in un punto \( t_0 \in (a,b) \).

Chiamiamo \( f'(t_0) = \left(\frac{d f_1}{d t} (t_0), \ldots, \frac{d f_m}{d t} (t_0)\right) \in \mathbb{R}^m \) velocità delle curve \( f \) in \( t_0 \).

74) TEOREMA (CONDIZIONE SUFFICIENTE PER LE SELLE)

Se Ω ⊆ ℝⁿ aperto _f: Ω → ℝ di classe C² x₀ ∈ Ω. Se ∇f(x₀)=0

x₀ è un punto di sella.

75) SUPPORTO DELLA CURVA

N ≥ 2, _f: [c₂,b₂] → ℝ^N continuo

Definiamo supporto della curva ⋔ := {f(t) ∈ ℝⁿ | t ∈ [c₂,b₁]}

• La curva si dice CHIUSA se f(c) = f(b)
• La curva si dice SEMPLICE se non ha intersezioni: f(t₁) ≠ f(t₂) ∀t₁,t₂ ∈ [c₂,b₂] (tranne {t₁,t₂} = {c₂,b₂})

76) CURVA REGOLARE

Se _f: [c₂,b₂] → ℝ^N continua,

la curva g si dice regolare se f'(t) ≠ 0 ∀t ∈ (a,b)

f' ∈ C¹(a,b)

77) RETTA TANGENTE AL SUPPORTO DELLA CURVA

Se _f: (c,b) → ℝ^N è una curva regolare,

chiamiamo retta tangente al supporto della curva ⋔ nel punto f(t) la retta passante per f(t) con generatrice f'(t).

78) CURVA REGOLARE A TRATTI

Una curva _f: [c₂,b₂] → ℝ^N continua si dice regolare a tratti se esistono

t₀ = c < t₁ < ... < t_p = b t.c. f|([t_i,t_i+1]) è regolare ∀i ∈ {0,...,p-1}

• È FATTO che g è regolare (o almeno regolare a tratti) è IMPORTANTE:
• ∀g(t) ⟹ 7 meno punti critici passibili.

79) SUPERFICI

• Chiamiamo parametrizzazione di una superficie (2D) in ℝ^N (N ≥ 3)
• una funzione f: K → ℝⁿ continua dove K ⊆ ℝ², K compatto
• Chiamiamo invece superficie (o supporto della parametriz.) l'insieme f(K) ⊆ ℝ^N