Riassunto esame Analisi 1, prof. Papalini

Orale Analisi 1

Assioma della completezza:

Dat i due sottoinsiemi di R, tau che gli elementi di un insieme siano tutti minori di quelli contenuti in un altro insieme, esiste sempre un numero appartenente nella loro intersezione.

∀ A,B ⊆ R: ∀ a ∈ A, b ∈ B → a≤ b → ∃ c ∈ R: a≤ c ≤ b ∀ ∈ A, b ∈ B

Insiemi limitati e illimitati:

Dato A ⊆ R, A ≠ ∅:

• A è limitato inferiormente se ∃ r ∈ R: r ≤ a ∀ a ∈ A → Es: A={n: n ∈ N}
• A è limitato superiormente se ∃ r ∈ R: a ≤ r ∀ a ∈ A → Es: A={-n: n ∈ N}
• A è illimitato inferiormente se ∀ r ∈ R ∃ a ∈ A: a<r → Es: A ⊆ R
• A è illimitato superiormente se ∀ r ∈ R ∃ a ∈ A: a>r → Es: A ⊆ R
• A è illimitato se ∀ r>0: ∃ a≤n ∀ a ∈ A → Es: A={1/n : n ∈ N}
• A è illimitato se ∀ r>0 ∃ a ∈ A: |a|>n → Es: A &sub=R

Estremo inferiore e superiore:

• A ⊆ R, A ≠ ∅, limitato superiormente
• Estremo superiore → il più piccolo tra tutti i maggioranti:
  • Sup A= á
  • &Exist; ε ∈ R: ∀ ε >0 ∃ a ∈ A: s-ε <a
  • ∀ ε >0 ∃ a ∈ A: &ine; <a

• A ⊆ R, A ≠ ∅, limitato inferiormente
• Estremo inferiore → il più grande tra tutti i minori:
  • Inf A= ´
  • &Exist; ε ∈ R: ∀ ε >0 ∃ a ∈ A: i+ε >a
  • ∀ ε >0 ∃ a ∈ A: íε >a

Definizione di funzione, dominio, codominio:

• Funzione : E' una legge che associa ad un elemento di un insieme, un solo elemento di un altro insieme.
• Dominio : E' un sottoinsieme dell'insieme di partenza in cui ha senso applicare la legge.
• Codominio : E' un sottoinsieme dell'insieme di arrivo ed è composto dalle immagini del dominio.

Successioni :

• Sono particolari tipi di funzioni per le quali valgono i concetti sopra espressi.
• Convergenti → hanno limite finito
• Divergenti → hanno limite infinito
• Indeterminate → il limite non esiste

Orale Analisi 1

Assioma della Completezza:

Dati due sottosiemi di R, tau che gli elementi di un insieme siano tutti minori di quelli contenuti in un altro insieme, esiste sempre un numero irrazionale nella loro intersezione.

\( \forall A,B \subseteq R: \ \forall a \in A, b \in B \rightarrow a \leq b \rightarrow \exists c \in R: a < c < b \ \forall a \in A, \ \exists b \in B \)

Insiemi Limitati e Illimitati:

Dato \(A \subseteq R\), \(A \neq \emptyset\):

• A è limitato inferiormente se \(\exists r \in R: \ r \leq a \ \forall a \in A \rightarrow \text{Es.: } A = ]-n: n \in N[ \).
• A è limitato superiormente se \(\exists r \in R: a \leq x \ \forall a \in A \rightarrow \text{Es.: } A = \left\{ n: n \in N \right\}\).
• A è limitato se \(\exists r > 0: |a| \leq n \ \forall a \in A \rightarrow \text{Es.: } A = \left\{ \frac{1}{n} : n \in N \right\}\).
• A è illimitato se \(\forall n > 0 \exists a \in A: |a| > n \rightarrow \text{Es.: } A = R\).

Estremo Inferiore e Superiore:

• Dato \(A \subseteq R\), \(A \neq \emptyset\), limitato superiormente
• Estremo Superiore = il più piccolo tra tutti i maggioranti: \( \text{sup} = s \)
1. s è un maggiorante
2. \(\forall \epsilon > 0 \exists a \in R: s - \epsilon < a\)
• Dato \(A \subseteq R\), \(A \neq \emptyset\), limitato inferiormente
• Estremo Inferiore = il più grande tra tutti i minoranti: \( \text{inf} = i \)
1. i è un minorante
2. \(\forall \epsilon > 0 \exists a \in R: i + \epsilon > a\)

Definizione di Funzione, Dominio, Codominio:

• Funzione: è una legge che associa ad un elemento di un insieme, un solo elemento di un altro insieme.
• Dominio: è un sottoinsieme dell'insieme di partenza in cui ha senso applicare la legge.
• Codominio: è un sottoinsieme dell'insieme di arrivo ed è composto dalle immagini nel dominio.

Successioni:

Sono particolari tipi di funzioni per le quali valgono i concetti sopra espressi. Possono essere:

• Convergenti - hanno limite finito
• Divergenti - hanno limite infinito
• Indeterminate - il limite non esiste

Sono regolari (hanno limite).

• (a_n)_n convergente ⇏ (a_n)_n è limitata
• Se a_n → ∈, la successione ha come limite ∈
• ∑a_n