Riassunto esame Analisi 1, prof. Papalini

Orale Analisi 1

Assioma della completezza:

Dati due sottoinsiemi di R, tali che gli elementi di un insieme siano tutti minori di quelli contenuti in un altro insieme, esiste sempre un numero d'appoggio nella loro intersezione.

A ∀A,B⊆R: α≤b ⟹ ∃α∈R: α≤b ∀α∈A, b∈B

Insiemi limitati e illimitati:

Dato A⊆R, A≠∅:

• A è limitato inferiormente se ∃α∈R ∀a∈A: a≥k → Esempio: A={n ∈ N}
• A è limitato superiormente se ∃α∈R ∀a∈A: a≤k → Esempio: A={-n: n∈N}
• A è illimitato superiormente se ∀k∈R ∃a∈A: a≥k → Esempio: A=N
• A è limitato se ∃n∈∃o: |a|≤n ∀a∈A → Esempio: A={1/n : n∈N}
• A è illimitato se ∀n∃a∈A: |a|>n → Esempio: A=R

Estremo inferiore e superiore:

• A⊆R, A≠∅, A limitato superioramente
• Estremo superiore → il più piccolo tra tutti i maggioranti:
• S^upA=Δ
• 1) Δ è un maggiorante ⇒ ∀a∈A a≤Δ
• 2) ∀ε>0 ∃a∈A: a≤Δ-ε

• A⊆R, A≠∅, A limitato inferiormente
• Estremo inferiore → il più grande tra tutti i minoranti:
• IA=i
• 1) i è un minorante ⇐ ∀a∈A i≤a
• 2) ∀ε>0 ∃a∈A: i+ε≤a ∀a∈A

Definizione di funzione, dominio, codominio:

• Funzione: è una legge che associa ad un elemento di un insieme, un solo elemento di un altro insieme.
• Dominio: è un sottoinsieme dell’insieme di partenza in cui ha senso applicare la legge.
• Codominio: è un sottoinsieme dell’insieme di arrivo ed è composto dalle immagini del dominio.

Successioni:

Sono particolari tipi di funzioni per le quali valgono i concetti sopra espressi.

• Possono essere:
• Convergenti - hanno limite finito
• Divergenti - hanno limite infinito
• Indeterminate - il limite non esiste
• Sono regolari (hanno limite)

(a_n)_n convergente ⇔ (a_n)_n è limitata

① se a_n → ℓ, la successione ha come limite ℓ

② se a_n = (-1)ⁿ → è limitata ma non converge

(a_n)_n divergente ⇛ (a_n)_n è illimitata

③ se a_n ⇏ ℓ ↛ la successione non ha limite

④ se a_n = (-1)ⁿ, è illimitata ma oscilla

Teorema di regolarità delle successioni monotòne

(a_n)_n è monotona ⇒ (a_n)_n è regolare

Ipotesi: (a_n)_n crescente ⇒ a_n < a_n+1 e prendendo il sup a_n < +∞

1. Se il limite è ∃ Δ: -Δ < a_n ∀ n ∈ ℕ
• - ∀ ε > 0 ∃ n ∈ ℕ: a_n > - ε
• Quindi ∀ n ≥ ñ ho che ∀ q_n = a_n → Δ - ε < a_n < Δ + ε
• Cioè se prendo n più grande di ñ, lim a_n = Δ → ∞
2. Se è illimitata supremamente:
• ∀ ε ∃ n ∈ ℕ: a_n > M → ∀ n ≥ n̄ = a_n ≥ a_n > M,
• Cioè se prendo n più grande di ñ, lim a_n = +∞

Conclusione: in entrambi i casi (a_n)_n è regolare!

• Se (a_n)_n è regolare ⇏ (a_n)_n è monotona

Esempio: a_n = 1/h convergente ma non è monotona

• Se (a_n)_n diverge ⇏ (a_n)_n è monotona

Esempio: a_n = n + (-1)ⁿ aggiunge tre e leva uno, quindi non è monotona ma diverge

Teorema di unicità del limite

a_n → ℓ ⇔ ℓ è unico

Supponiamo per assurdo a_n → ℓ₁ e prendiamo due intorni disgiunti a_n → ℓ₂

Allora:

• ∃ m ∈ ℕ: ∀ n ≥ m → a_n ∈ I_i
• ∃ m ∈ ℕ: ∀ n ≥ n₂ → a_n ∈ I_i

Ricordando la definizione di funzione deduciamo che ciò non è possibile:

• Un ℓ_i non può cadere sia in un intorno che in un altro ☞ dunque ℓ è unico

Serie Armonica:

\[ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n} \rightarrow \text{falliscono tutti i criteri} \rightarrow \text{uso} \sum_{n=1}^{+\infty} \log(n+1) - \log(n) \text{che diverge} \]

Uso il criterio del confronto asintotico:

\[ \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{\log(n+1) - \log(n)}{\log\left(1+\frac{1}{n}\right)^n} = 1 \rightarrow \text{le due serie hanno lo stesso comportamento} \]

\[ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^\alpha} \begin{cases} < 1 & \text{converge} \\ = 1 & \text{diverge} \end{cases} \]

\[ n^\alpha < n \rightarrow \frac{1}{n^\alpha} > \frac{1}{n} \rightarrow \text{diverge} \]

Teorema

Se una serie converge in valore assoluto → converge anche senza. Se invece diverge col val. assoluto, cambio strada → criterio di Leibniz.

Criterio di Leibniz:

\[ \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n+1} a_n \text{e} a_n \geq 0 \]

Ipotesi:

1. \( a_n \) monotòna decrescente
2. \( a_n \rightarrow 0 \)

Tesi: la serie converge.

Considero le dispari distinte dalle pari:

• se \( a_n \) cresce → \( S_{2n+1} \uparrow S_{2n} \downarrow \rightarrow \text{non mi serve} \)
• se \( a_n \) decresce → \( S_{2n+1} \downarrow S_{2n} \uparrow \rightarrow S_{2n} \leq S_{2n+1} \)

Ma \( S_{n+1} - S_{2n} = a_{2n+1} \)

\( l' \), \( l \) → \( 0 \) per ipotesi → \( l = l' \)

Funzioni:

Classificazione di un punto rispetto ad un insieme → \( A \subset \mathbb{R}, \, x_0 \in \mathbb{R} \)

• Punto di accumulazione per \( A \) se \( \forall \, I_{x_0} \rightarrow I_{x_0} \cap A - \{x_0\} \neq \emptyset \) \( A' \)
• Punto isolato di \( A \) se \( \exists \, I_{x_0} : I_{x_0} \cap A = \{x_0\} \) \( I_x\Delta \)
• Punto interno di \( A \) se \( \exists \, I_{x_0} : I_{x_0} \subset A \) \( A^{\degree} \)
• Punto di frontiera per \( A \) se \( \forall \, I_{x_0} \rightarrow I_{x_0} \cap A^+ \neq \emptyset \) \( \partial A \)

Definizione di limite:

\[ \forall I \, \exists I_x' : \forall x \in I_{x_0} \setminus \{x_0\} \rightarrow f(x) \in I_\epsilon \]

- f ∈ ℓ(I) è invertibile, ℓ^-1 è ancora continua?

NO: ℓ^-1 potrebbe essere discontinua se il dominio si interrompe.

Sì, ℓ^-1 è continua se il dominio non si interrompe (connesso).

Esempio:

Dominio non connesso

È discontinua!

Riassunto:

1. Continua, non invertibile, non monotona:

f(x) = minx in [0, 2π]

2. Monotona, non invertibile, non continua:

(non strett.)

f(x) = { 1 per 0 ≤ x ≤ 12 per 1 < x ≤ 2 }

3. Invertibile, non continua, non monotona:

Funzione definita per casi e discontinua;prima sale e poi scende o viceversa

4. Continua, monotona, non invertibile:

(non strett.)

f(x) = k

5. Invertibile, continua, non monotona:

f(x) = 1/x

6. Invertibile, monotona, non continua:

(strett.)

f(x) => discontinua di tipo "a salto"

7. Invertibile, continua e strett. monotona:

f(x) = x