Riassunto Geometria ed Algebra Lineare

V _{FINITAMENTE GENERATO}

B = BASE DI V SE

• LISTA DI VENT. COMPSON DI VENT. _{LIN. IND.}
• LISTA DI VENT. GENERA V. _{M.B. SPAZIO VETTORIALE SE DISCUTTA DI}

ALGORITMO DI EST: SE HO V _{FINIT. GEN.}. APPLICO L'ALGORITMO IN MODO DA OTTENERE UNA BASE DI V, ELIMINANDO I GENERATORI SUPERFLUI

• GENERATORI DI V
• BASE DI V

ALGORITMO DI COMP: SE HO V _{FINIT. GEN.} E LISTA L DI NT _{LIN. IND.}, LO APPLICO E OTTENGO BASE DI V.

LEMMA: AGGIUNGENDO O TOGLIENDO V AD UNA B SI OTTIENE UNA LISTA CHE NON È UNA BASE.

LEMMA FONDI DI SOST: SOSTITUIAMO UN VETTORE u_K DELLA LISTA B CON V∈ V SI OTTIENE ANCORA UNA BASE PURCHÉ LA K-ESIMO CORDINATA DI V RISPETTO A B SIA NON NULLA.

• B^' = {μ₁, μ₂, ...}

PROPOSIZIONE: B = BASE DI V CON K VETORI.

OSSERVAZIONE: UNA QUALSIASI BASE DI Mⁿ CONTIENE ESATTAMENTE M ELEMENTI.

DIMENZIONE: NUMERO DI VETTORI ALL’INTERNO DI UNA B DI UNO S.V. R. V.

BASE DI UN SOT- SOMMA: U, W _SOTSP.

• LISTA DI GEN. DI U + W È BU ⋃ BW.

FORMULA DI GRASSMANN: DIM U + DIM W = DIM (U ⋂ W) + DIM (U + W).

SOMMA DIRETTA: U ⊕ W, SE U ⋂ W = {0}

• DIM U + W = 0
• DIM (U + W) = DIM U + DIM W.
• BU ⋃ BW = BASE DI U + W

Molt. matrice - vettore

not. tenendo per colonna

Ax = x₁A¹ + x₂A² + ... + x_mA^m

Molt. matrice - matrice

AB = (AB¹ | AB² | ...)

modifico matrice A per ogni vettore colonna di B

dim MR(m, k) = m.k matr. di cal. base (n = col. base)

AB = A B¹, A B², ..., A Bⁿ

Quadrata matrice identità I_m = (I, I, I):per colonna (1, 0, 0) (0, 1, 0) (0, 0, 1)

N.B.: per base canonica di MR(m, k) faccio una combinazione lineare delle matrici appartenenti alla base ottengo una qualsiasi matrice MR(m, k)

Moltinghe per colonna:

AB = (A₁B₁ | A₁B₂ | A₁B₃) auto modo per modificare una matrice con un'altra.

Invertibilità

A è invertibile se esiste A^-1: AA^-1 = I_m

Se A è invertibile Ax = 0_m ha come unica soluzione x = 0_m

Se x è soluzione di Ax = 0_m allora x₁a¹ + x₂a² + x₃a³ = 0

con a₁, a₂, a₃ coeffic. di x:

se comblin. lineare delle colonne di A è uguale a 0_m allora il vettore formato dai coefficienti di tale C.L. è soluzione di Ax = 0_m

Se A è una matrice invertibile, allora le sue colonne formano una base di Rⁿ. Le colonne di una matrice sono lin. ind. se e solo se x = 0_m è unica soluzione.

Se le colonne di A formano una base di R^m allora A è invertibile e le colonne di A sono le coordinate dei vettori della base canonica rispetto alla base:

per A: (e₁ | e₂ | e₃). A^-1 è lin. ind. base R²

Coordinare degli elem. della base can. rispetto alla base e.g. [L₂], [0]

l₁ - a₄(=a₂)

l₂ = a₄ + a₃

l₃ = l₁ + mu_a₂

l₄:l₁(')[0] ₂(=a₄)[an_4] l₂₃

N.B.: a₁ = λ₁ - 2λ₂(=l₂₃)

(a₃)(x₂)

A_{sol. B3>}

Risoluzione

(A^-1)^-1 = A

I_m = I_m

AB inv. - A, B invent. - AB:_o o_m se A è invent. B:

N.B. IA = invent.

L: V - W

KerA = {X ∈ V | L(X) = 0^W} dimKerL = m - rkA kerL = kerA

ImL = {Y ∈(W) | ∃X ∈V : L(X) = Y} ImL = {Σ La

NB (L CR A) SELEZIONE COLONNE DELLA MATRICE

PER DIMENSIONI

• L : V - W
• dim V = dim Ker L + dim Im L
• m = m - rka rkA

Esempio: L(M) ... (a_n, 0, ..., ...a_m) ... ...

INIEZIONE di UN'APP. LINEARE

• dim Ker L = 0
• Ker L = {θv}

SUR... dim Im L = k Im L = W

• operatore lineare :...
• Iniettiva L(x₁), ...,
• B_V = {Σ L(x_n)...
• B_V

Iniettiva ... L(x_A) L(x_B) lin.ind.

Esempio: L(M)

APP. LIN. E MATRICI

• TEOREMA DI RAPPRESENTAZIONE : L : V - W
• X ∈ V = { ... }