Riassunto Geometria ed Algebra Lineare

V Finitamente Generato

V = _gen. V

B = Base di V se

• Lista di vett. conposto da vett. lim-ind.
• Lista di vett. genera V. M.B. spazio vettoriale se discutto da equ. linneari

Coordinare di N_s su B:

^バ₁ ^バ₂ ^バ_k

N = 2₁バ₁ 2₂バ₂ ... + 1_kバ_k

Algoritmo di Est:

Se ho V finiti gen. applico l’algoritmo in modo da ottenere una base di V, eliminando i generatori superflui

• I generatori di V sono L Spon L’
• Base di V

Algoritmo di Comp:

Se ho V finiti gen. e lista di N lim. ind., lo applico e ottengo L^’ generatori di V non lim. ind.

Applico estrazione ⇒ ottengo base di V.

Lemma:

Agghiungrndo o togliendo ι a una B si ottiene una lista che non é una base.

Lemma fond. di Sost.:

Sostituendo un vettore μ_k della lista B con ι ∈ V si ottiene ancora una base purchè la ι-esima coordinata di N rispetto a B sia non nulla.

B^’ = { μ₁, μ₂, μ₃ } ⇒ u₁ = M₁ バ₁ + M₂ バ₃

B^’ = ∑ ι = ι, μ₂, μ₃

Proposizione:

B = Base di V con k vettori

B^’ = Base di V con k vettori _{(lim. ind.)}

Osservazione:

Una qualsiasi base di Mⁿ contiene esponneamente M element.

Dimensione:

Numero di vettori interno ad una B di uno S.V.R. V.

Base di un sott. somma:

U.W sostor B_u, B_w.

Lista di generatori di U + W: B_u U B_w

Usando l'algoritmo di estrazione 逸の base di U + W

Formula di Grassmann:

Dim U + Dim W = Dim (U ∩ W) + Dim (U + W)

Somma Diretta:

U ⊕ W, se U ∩ W = { 0 }

⇒ Dim U ⊕ W = 0

= Dim (U + W) = Dim U + Dim W

- B_u U B_w = Base di U + W

V finitamente generato

V = C ⊆ V L lista di gen... N = 2, M₁ + 2 M₂ + ...

B=Base di V se

1. Lista di vett. coprispo da vett. lim-ind.
2. Lista di vett. genera V. M.B. Spazio vettoriale ℝ discusito da eq. lineare

Coordinare di N su B:

• V^T = 2, M₁ + o₂ + ... + o_k

Algoritmo di est:

Se ho V finiti gen. applico l'algoritmo in modo da ottenere una base di V, eliminando i generatori superflui

• Generatori di V {S₁, ... , S_n, S_n+1}
• Base di V

Algoritmo di comp:

Se ho V finiti gen. e lista di N. lim. ind., lo applico e ottengo I generatori di V non lim.-ind.

• Applico estrazione e ottengo base di V

Lemma:

Aggiungendo o togliendo un V ad una B si ottiene una lista che non è una base.

Lemma fond. di sost.:

Sostituiamo un vettore υ_k della lista B con un V che si ottiene ancora uno base purché la K-esimo coordinato di N rispetto a B sia non nulla.

B^* = {μ₁, μ₂, μ₃} = N₁ μ₁ + M₂ μ₃

Proposizione:

B = Base di V con K vettori.

B^* = Base di V con K vettori (lim.-ind.)

Osservazione:

Una qualsiasi base di M^m contiene esganemene M ^{M r sono nulli.}

NEGALO DEGLI AUGLI:

A A = A

A

propie determina S sottomatrici di ordine r con determin = r o: testi se tutti i suoi quiran hanno determin. 0 allinea TSAKA-r.

PROP(DET: SE AGGL. AD una colonna una C. R. delle a une i rango non vario così iniettiva.

SISTEMI LINEARI

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1mx_m = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2mx_m = b₂...a_n1x₁ + a_n2x₂ + ... + a_nmx_m = b_nAX = B

χ₀ = x₁A¹ + x₂A² + ... + x_mA^m = BAX = B

• Sistema lineare AX = B è omogeneo se B è vettore nullo di IR^k. b₁ = b₂ = b_k = 0.
• Non omogeneo in caso contrario.
• N.B. Soluzioni racchiuse in vettore colonna.
• Se il sistema è omogeneo è sempre risolubile.
• Sistema ammette χ₀ se e solo se è omogeneo.
• Un sistema lineare omogeneo ammette solo la soluzione banale χ = 0 <=> colonne di A linearmente indipendenti.
• N.B. Se n non omogeneo dim (x) = C(k)
• n "p.equazioni" [A¹ | A^m] lín. dip. SEMPRE AUTOVETTORE CON Φ=1
• SE Φ ∈ C(Dᵥₗ)_q AUTOVETTORE DI Q ALLORA λ = ±1
• TEOREMA SPETTRALE - SE A SIMMETRICA E BASE ORTONORMALE DI M FORMATA DA AUTOVECTORI DI A, QUINDI Σ DIASNNORNABLED A E B,SIMILIE
• QTA (A
• ASIMMETRO
• CON λ₁, λ₂ AUTOVALDISNTI - V₁, V₂ AUTO ASPEL.PRO LODO OTT ORGONALI
• QUADRICHE FORME
• q(x₁...x_m) = αx² + bx + c(x^tλ²x = - (...)
• STUDIO SENGN TEMPO AUTOVALE QUEL VIDEO SE ∀n + z so < z₀

∑V - W

B_V, B_W

K_V = { x ∈ V | [x]_BV = 1 } Aut = 0_n²

Im = { x ∈ W | ∃u_BV, y ∈ A: x = L(C_A)u e tale che Span(A₁, ..., A_p) }

N.B. Equivale a m dopo colonne = I∑o e passo in generico.

Matrice cambio di base B_o B_o, B₁ generico A costruito come

(v_o^r, v_iⁱ) = Coordinata dei vettori di B_o su B₁ tale che

L Base di partenza

L W B₀ = A L W B₁

L W J B₀ A^-1 W B₁ con il vettore a mano fermando no

Aut di A

Matrice simili A e simile a B se ∑ N = A∈M^m BN tale di equiv.

Invarianti, comp. vecc. ma non simili: Esempio A1: |B|1 Tura 1 = n r k B

Uguale polinomio completa.

N.B. Se una come applicare la simile.

Autovettori - Autovalori

V : V = V V

V è eigen autotettore se E : V (A) E dall' cose E autovalore associato

1. A( x ) : a x = λ x

V. E. E

|V E K| - λ E e 0

Ricerca di autovalori

|A λ I_m| = 0 - ottengo polinomio caratteristico

di A associato ad P_A

Essi sono indipendenti dalla base usata

P_A(λ) : (λ)^m x ( - 1 )^m x A^k + λ|A|

(λ - x)^m - λ E autovalori di multiplo di algebraico = m λ autov. e (λ I ) e e o

Una base B_e è composta da autovettori