Riassunto Geometria ed Algebra Lineare

V finitamente generato

V = _gen. V

B = Base di V se lista di vett. composta da vett. lim-ind.

Lista di vett. genera V.

M.B. Spazio vettoriale se discusso da equ. lineari.

Coordinate e algoritmi

Coordinate di N_s su B: ^バ₁ ^バ₂ ^バ_k

N = 2₁バ₁ 2₂バ₂ ... + 1_kバ_k

Algoritmo di est: se ho V finiti gen. applico l’algoritmo in modo da ottenere una base di V, eliminando i generatori superflui.

I generatori di V sono L Spon L’Base di V.

Algoritmo di comp: se ho V finiti gen. e lista di N lim. ind., lo applico e ottengo L^’ generatori di V non lim. ind.

Applico estrazione ⇒ ottengo base di V.

Lemma e proposizioni

Lemma: aggiungendo o togliendo ι a una B si ottiene una lista che non é una base.

Lemma fond. di sost.: sostituendo un vettore μ_k della lista B con ι ∈ V si ottiene ancora una base purchè la ι-esima coordinata di N rispetto a B sia non nulla.

B^’ = { μ₁, μ₂, μ₃ } ⇒ u₁ = M₁ バ₁ + M₂ バ₃

B^’ = ∑ ι = ι, μ₂, μ₃

Proposizione: B = Base di V con k vettori.

B^’ = Base di V con k vettori _{(lim. ind.)}

Osservazione: una qualsiasi base di Mⁿ contiene esponenzialmente M elementi.

Dimensione: numero di vettori interno ad una B di uno S.V.R. V.

Base di un sottospazio somma

Base di un sott. somma: U.W sostor B_u, B_w.

Lista di generatori di U + W: B_u U B_w

Usando l'algoritmo di estrazione 逸の base di U + W.

Formula di Grassmann: Dim U + Dim W = Dim (U ∩ W) + Dim (U + W)

Somma diretta: U ⊕ W, se U ∩ W = { 0 } ⇒ Dim U ⊕ W = 0 = Dim (U + W) = Dim U + Dim W

• B_u U B_w = Base di U + W

V finitamente generato

V = C ⊆ V L lista di gen... N = 2, M₁ + 2 M₂ + ...

B = Base di V se

• Lista di vett. coprispo da vett. lim-ind.
• Lista di vett. genera V. M.B. Spazio vettoriale ℝ discusso da eq. lineare

Coordinate di N su B: V^T = 2, M₁ + o₂ + ... + o_k

Algoritmo di est: se ho V finiti gen. applico l'algoritmo in modo da ottenere una base di V, eliminando i generatori superflui.

Generatori di V {S₁, ... , S_n, S_n+1}

Base di V.

Algoritmo di comp: se ho V finiti gen. e lista di N. lim. ind., lo applico e ottengo I generatori di V non lim.-ind.

Applico estrazione e ottengo base di V.

Lemma: aggiungendo o togliendo un V ad una B si ottiene una lista che non è una base.

Lemma fond. di sost.: sostituiamo un vettore υ_k della lista B con un V che si ottiene ancora una base purché la K-esima coordinata di N rispetto a B sia non nulla.

B^* = {μ₁, μ₂, μ₃} = N₁ μ₁ + M₂ μ₃

Proposizione: B = Base di V con K vettori.

B^* = Base di V con K vettori (lim.-ind.)

Osservazione: una qualsiasi base di M^m contiene esattamente M ^{M r sono nulli.}

Negalo degli augli

A A = AApropie determina S sottomatrici di ordine r con determin = r o: testi se tutti i suoi quiran hanno determin. 0 allinea TSAKA-r.

Prop (det): se aggl. ad una colonna una C. R. delle a une i rango non vario così iniettiva.

Sistemi lineari

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1mx_m = b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2mx_m = b₂

...

a_n1x₁ + a_n2x₂ + ... + a_nmx_m = b_n

AX = B

χ₀ = x₁A¹ + x₂A² + ... + x_mA^m = B

AX = B

Sistema lineare AX = B è omogeneo se B è vettore nullo di IR^k. b₁ = b₂ = b_k = 0.

Non omogeneo in caso contrario.

N.B. Soluzioni racchiuse in vettore colonna.

Se il sistema è omogeneo è sempre risolubile.

Sistema ammette χ₀ se e solo se è omogeneo.

Un sistema lineare omogeneo ammette solo la soluzione banale χ = 0 <=> colonne di A linearmente indipendenti.

N.B. Se n non omogeneo dim (x) = C(k) n "p.equazioni" [A¹ | A^m] lín. dip.

Sempre autovettore con Φ=1

Se Φ ∈ C(Dᵥₗ)_q autovettore di Q allora λ = ±1.

Teorema spettrale

Se A simmetrica e base ortonormale di M formata da autovettori di A, quindi Σ diasnnornabled A e B, similieqta (AAsimmetrocon λ₁, λ₂ autovaldisnti - V₁, V₂ auto aspel. Pro lodo ott orgonali.

Quadriche forme

q(x₁...x_m) = αx² + bx + c(x^tλ²x = - (...)

Studio sengn tempo autovale quel video se ∀n + z so 0

Somma V - W

B_V, B_W

K_V = { x ∈ V | [x]_BV = 1 } Aut = 0_n²

Im = { x ∈ W | ∃u_BV, y ∈ A: x = L(C_A)u e tale che Span(A₁, ..., A_p) }

N.B. Equivale a m dopo colonne = I∑o e passo in generico.

Matrice cambio di base

B_o B_o, B₁ generico A costruito come (v_o^r, v_iⁱ) = Coordinata dei vettori di B_o su B₁ tale che

L Base di partenza

L W B₀ = A L W B₁

L W J B₀ A^-1 W B₁ con il vettore a mano fermando no

Aut di A

Matrici simili

Matrice simili A e simile a B se ∑ N = A∈M^m BN tale di equiv.

Invarianti, comp. vecc. ma non simili: Esempio A1: |B|1 Tura 1 = n r k B

Uguale polinomio completa.

N.B. Se una come applicare la simile.

Autovettori e autovalori

V : V = V V

V è eigen autotettore se E : V (A) E dall' cose E autovalore associato.

1. A( x ) : a x = λ x

V. E. E|V E K| - λ E e 0

Ricerca di autovalori: |A λ I_m| = 0 - ottengo polinomio caratteristico di A associato ad P_A.

Essi sono indipendenti dalla base usata.

P_A(λ) : (λ)^m x ( - 1 )^m x A^k + λ|A|(λ - x)^m - λ E autovalori di multiplo di algebraico = m λ autov. e (λ I ) e e o

Una base B_e è composta da autovettori