Algebra Lineare e Geometria - Riassunto

Prodotto Scalare

· = |||| |||| cosα ∈ ℝ

Scelgo l'angolo più piccolo fra i due

Proiezione Ortogonale

Direzione dell'asse → ̂ = /||||

Proiezione di su :

Unicità della proiezione → |||| cosα

Proprietà Prodotto Scalzare

, ∈ ℝ

• Linearità 1 · = a (· )
• Linearità 2 ( + ) · = · + ·
• Simmetria ·= ·

Componenti

• N_x²= v_x
• N_y²= v_y
• N_z²= v_z

|||| = √·

Positività

· = ||||² ≥ 0

Quando xe Nː Mː = 0 allora ̂==0

Esempio

(̂-3̂) Nː Mːˆ = ̂ ˆ = 4+0=4 → ||̂+3̂|| ||̂|| cos α

• Senza conoscere l’angolo

Angolo tra vettori

·/|||| ||||

α= arc cos

Prodotto Vettoriale

̂= ̂ x ̂ Vettore

Direzione:

Comune Perpendicolare

Verso:

Regola Mano DX

• A ̂ e ̂
• Modulo ||̂|| = ||̂|| ||̂|| senα

• Se Paralleli ̂ x =

Proprietà Prodotto Vettoriale

• Linearità 1 ̂ x a(̂ x)
• Linearità 2 (̂ +̂) x ̂ = ̂ x̂ + ̂ x̂
• Antisimmetria ̂ x̂ = -̂ x ̂

Bho ̂ x̂ = 0

Prodotto Vettore in Componenti

x = x₁î + x₂ĵ + x₃k̂ω = ω₁î + ω₂ĵ + ω₃k̂

ω × x = ?

ω × x = î _{(ω2x3 - ω3x2)}+ ĵ _{(ω3x1 - ω1x3)}+ k̂ _{(ω1x2 - ω2x1)}

Proprieta Volume

DATI x, y e ω

• (x × y) · ω è il volume della scatola con spigoli i tre vettori

L'altezza è la proiezione di ω su x × yQuindi Volume = ||x × y|| |ω · unit|

Vettori Complanari

DATI u, v, ω non nulli, allora u × v · ω = 0 se e solo se giaciono nello stesso piano

Notazione

z = aî + bĵ + ck̂MA î,ĵ,k̂ sono fissatiDa cui ||z|| = √_{(a² + b² + c²)}

Proiezioni Ortogonali e Simmetriche

Proiezione P.to p su piano α

Metodo geometrico: retta passante per p, perpendicolare al piano

p ε α ↔ d → α n_α

Metodo Vettoriale

Scelgo d e d per o accaso

h^p = op · m₂ / ‖m₂‖² m₂

Per una scelga d.o e d

Perché h^p · m₂ ≠ h è la proiezione ortogonale di op su m₂

Cerchiamo h proiez. ortogonale di P su α

Esempio

2: z = 0 P(4,1,2,3)

Metodo geometrico

• (2, ₃ ² )
• (0,1)² (0,1)

Metodo Vettoriale

Scelgo come d ordinare

• op = (0,0,-1) (1,2,3)
• h (x,y,z) quindi h^p = (1-x, 2-y, 3-z)

op = op · m₂ / ‖m₂‖² m₂

• = (4,2,3) - (0,1,1) = (0,0,1,4) = (0,0,3)
• = (1-x, 2-y, 3-z) → {x=1, y=2, z=0}

Simmetrie

Rispetto ad un piano

q è il simmetrico di p rispetto ad α se e solo se: q α / m₂

op · α ε r il p.to medio

q è il p.to talce che qq = 2op · m_α / ‖m₂‖² m_α = 2 volte la proiezione

x∈ A∈ℝ^2×2

detA=ad-bc=|A|

Regola di Sarrus (3x3)

3 vettori

dati 3 vettori con i rispettivi componenti

la matrice A da essi costruita ha detA=u×v×w

A₁ ∈ ℝ^3×3

Matrice ottenuta cancellando riga i-esima e colonna j-esima di A

ciò è ottengo la matrice

(prodotto matrice)

AB =

Osservazione

Le operazioni elementari sono reversibili.

Di conseguenza le matrici elementari sono invertibili.

Esempio

Sistema Omogeneo

x + y + z = 0x - 2y + z = 02x + 3y + 3z = 0

A =

• [1 1 1]
• [1 -2 1]
• [2 3 3]

Applico op. elem. per risolverlo.

(Operazioni...)

Cancella la x dove posso.

Cioè 2x - x + 3 = 02 {0, 7, 3} : z ISRTrovano desolatiz parametro libero

r = _R

x + y = zy = z

L'insieme delle soluzioni sarà:

{(x, y, z) : x = 0, y = z, z = 2} = {0, 7, 2} : _R

Le soluzioni che sono i possibili multipli del vettore (0,1), cioè se sue L.

{x, y, z} _zE : l (1,0,1)

Nella risoluzione di sistemi L omogenee si trovano sempre conformazioni lineari per ciascun parametro libero.

Procedimento

Utilizzando operazioni elementari si cerca una matrice che permetta di risolvere facilmente il sistema.

Ax = 0→ A₂ → A₃ → ... → A_n = B

Stesse soluzioni

Matrici equivalenti per righe

Relazione d'equivalenza

(~)

• Relazione binaria tale che
• A ~ A
• A ~ B → B ~ A
• A ~ B, B ~ C → A ~ C

A ̅e equivalente per righe

B si ottiene da A con una successione di:

Operazioni elementari (prodotto per matrici elementari)

Esempio

• [1 1 1] → [1 4 1]
• [1 -2 1]~(2,0,0)
• [2 3 3]
• [1 0 0]
• →B

Cioè A = B → B = (3^T)₃

La matrice B è equivalente per righe ad A perché data dal prodotto di matrici elementari con A

OSSERVAZIONE

IL RANGO di una MATRICE è UGUALE A QUELLO DELLA SUA TRASPOSTA

r(A) = r(A^T)

ESEMPIO

A = ^{(1 2 3)}_{(4 5 6)} r(A) = 2

A^T = ^{(1 4)}_{(2 5)}(3 6)

OSSERVAZIONE

Ax = b con A m×m se r([A|b]) = m ESISTONO SOLUZIONI

ESEMPIO

∀ a, b, c ∈ R ∃! soluzione

RIEPILOGO

RANGO A ≈ (_{I2 A})₀ r(A)=2

INVERTIBILE m×m con m=2 o 3

Spazi di Soluzioni di Sistemi Omogenei

DATA A m×n, considerando A_x=0, l'insieme {x ∈ ℝⁿ : A_x=0} è un sottospazio di ℝⁿ.

1. Si può scrivere come A(c_x) = A(x) = (A_xc) = c(A_x), sapendo che Ax=0, quindi, per definizione, c(A_x)=0.

Osservazione

Esempio

Sottospazi Assoluti ad una Matrice

Il nucleo di A è l'insieme ker(A) = {x ∈ ℝⁿ : A_x=0} ⊆ ℝ^n,1, sottospazio delle soluzioni.

Lo spazio della righe di A è righe(A) = 2{r₁, …, r_m}⊆ℝ^1,n.

Lo spazio della colonne di A è col(A) = 2{c₁, …, c_n}⊆ℝ^m,1.

Osservazione

Nel risolvere A_x=0 trovo B_x=0 e risolvo quest'ultima, basandomi sul fatto che AB. Ciò implica che ker(A)=ker(B).

Teorema

A,B m×n: le seguenti condizioni sono equivalenti:

AB ⇒ righe(A) = righe(B) ⇔ ker(A) = ker(B).

Esempio

AB lo spazio della righe è lo stesso ℝ¹ = righe(A) = righe(B), ma lo spazio delle colonne è diverso; col(A)= 2{ [0] }, col(B)= 2{ [1] }