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Geometria Algebrica 1
Prof. Bisi E18 Fulvio.Bisi@unipv.it Matematica@unipv.it
Giugi Stesso corso Bono Sante
Resto consigliato: Bisi, Bonsante, Ballico "Lezioni di Algebra Lineare con Applicazioni alla Geometria Analitica"
Esame: Scritto + orale Teorema di Spazio Vn
- Risoluzioni di geometria in R3
- Sistemi lineari con m incognite
{ x₁ + 2x₂ = 3x₃
x₄ - 4 x₅ } 3 eq. in 5 incognite
x₁ + x₂ = x₃+ x₄ x₄ x₅ = 0 { i = 0 Omogenea
- Indeterminata
{ 2x₁ + x₃=4 6 x₄ x₅ = x₂
-2x₂ = 2
x - y = 0 2x - 2x = 0
- Non risolvibile
{x+y - 4 x+y = 0
⇒ Soluzioni
- Sistemi Numeric
- Elenco esposto
Cosa classificata gli insiemi?
- N Naturali {0;1;2;3}
N.B. Negativi sono retti negativi
- Z Interi {...;-1;0;1;...}
- Q Razionali {79Con p/q q
- R Ritenenti
- C Ministri i; i² = -1; i = 0,1
- Sottoinsieme
- A ⊆ B se e ogni elemento i. A è un elemento di B
Inclusione propria anche ni possono Anche nell'Uguale
∀X ∈ A ➡ X ∈ B
Inclusione Propria
A ⊆ B se isolata un X ∈ B
A ⊄ B se A ⊆ B anche non altro in A
- Contenuto
N ⊂ Z, N ⊆ Z
A ∶ B
a ∈ a, a
A ⊂ B
b ⊂ a
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C
P numeri pari (moltipli) = {m ∈ N | m ∶ 2k con k ∈ N}
S = {x ∈ U | vale P(x)}
A, B
A ∪ B = { x ∈ M | x ∈ A
oppure x ∈ B }
A ∩ B = { x ∈ M | x ∈ A
e x ∈ B }
A, P(A) = l'insieme di tutti i sottoinsiemi
exa A = {1, 2, 3}
P(A) = {∅; A; {3}; {2}; {1}; {2, 3}; {1, 2}; {1, 3}; {1, 2, 3}}
m(P(A)) = 2m | vedi principio di induzione
Numero di elementi in P(A)
= partizioni di un insieme ⊆
sottoinsieme; classe di equivalenza ex. 1, 2
appartengono alla stessa classe di eq.
combinazione = relazione di equivalenza, R; - riflessiva ∀ a
simmetrica ∀ a, b ∈ x → bR a
transitiva ∀ a, b, c
5 ≡10 4 mod. 5
l'unico per 5; stesso resto
G ≡10 11 mod. 5
(modulo del CL. N. EQ.
(CL. EQ. {0}) = {0; 5; 10; 15;} = {5 J - 10}
1) = {1; 6; 11;...}
STRUTTURA ALGEBRICA
A × A → A
∘ : A × A → A
∆ : A × A → A
A∘ dotato ⋃ alcu operazioni* {operazioni di generazione}
(N, +) (Z, † )
(Q, † ) (Z, † , 1)
OPERAZIONI INTERNE
MANCA L'OPPOSTO
QUINDI NO PROPRIETÀ
STESSA STRUTTURA ALGEBRICA
STESSE PROPRIETÀ
A∘ (ha struttura algebrica o gruppo)
(Z, † ) (Q, † )
P. ASSO CIATIVA
(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c) ∀ a, b, c ∈ A
ESIST. EL. NEGATO
∃ e ∈ A a ⋅ e = a = e ⋅ a ∀ a ∈ A
ESIST. EL. OPPOSTO
∀ a ∈ A ∃ â ∈ A
a ⋅ â = â ⋅ a = e
N no gruppo con + Z è gruppo con +
SE P. COMMUT. a⋅ b = b ⋅ a ∀ a, b ∈ A → gruppo abeliano
(Q, +) gruppo
Q* ≠ ∃ e
ℓ uno -ϑ 7-18 elevamento
libro 1, 2, 3.
ANELLO
(A, ⋅ ) input⋈ordine
(A, +) gruppo abeliano
∃ ∞ &boxdot; 0 &boxdot; = a̅ = -a
GODE DELL'ASSOCIANZA
a (b ⋅ c) = (a ⋅ b) c ∀ a, b, c ∈ A
PROPRIETÀ DISTRIBUTIVA
a ⋅ b + a ⋅ c ∀ b, c ∈ A
Anello è commutativo se accade e gode della commutativa
(Z, † , °) (Z, † , °)
Anello è unico se + anchreno ∃ elemento neutro
(ℤ, † , °)
Anello commutativo è dominio di inkgrm se vale la regola di annullamento del prodotto
a ⋅ b = 0 ⇒ a = 0 bispravo b = 0 > 0 ≠ a -10
a ° o a≈provio exij provarne o 5
(ℝ, † , °)
(ℚ, † , °)
Somme Dominio di integrità
∃x ∈ U ∀u ∈ V (p(x))
NEGATO: ∀x &itable;𝕌 ϱ u&lse;op(χ)‹wer) -0
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