Riassunto definizioni algebra e geometria lineare

MATRICI

Combinazione lineare

Siano A₁, A₂, ..., A_k. Una loro combinazione lineare è un'espressione del tipo: c₁A₁ + c₂A₂ + ... + c_kA_k con c₁, c₂, ..., c_k ∈ ℝ. Il risultato è un nuovo elemento dello spazio. Una combinazione lineare da una matrice dello stesso tipo.

Matrice simmetrica

Una matrice quadrata A ∈ M_n si dice simmetrica se A = A^T. S_n è l'insieme delle matrici simmetriche n x n. A ∈ S_n ⇒ a_ij = a_ji.

Matrice antisimmetrica

Una matrice quadrata A ∈ M_n si dice antisimmetrica se A = -A. A_n è l'insieme delle matrici antisimmetriche n x n. A ∈ A_n ⇒ a_ij = -a_ji e se gli elementi sulla diagonale sono nulli.

Matrice idempotente

Una matrice A ∈ M_n si dice idempotente se A² = A.

Matrice nilpotente

∃ k ∈ ℕ tale che A^k = 0.

Matrice invertibile

∃ B ∈ M tale che AB = BA = I_n. B si chiama

identità inversan tdi A. Se A è invertibile esiste un’unica inversa di A. Se A è invertibile; A è invertibile. Se detA=0 la1-1matrice non è invertibile. A è invertibile se detA≠0 e det(A )= .detADETERMINANTE E RANGODeterminanteIl determinante è un numero associato a una matrice che ne descrive alcune proprietà algebrichee geometriche.Sottomatrice complementare ij∈Data la matrice A M con n>1 definiamo A che è una matrice (n-1)x(n-1) che si ottiene da Ancancellando la i-esima riga con la j-esima colonna.,Teorema di LaplaceIl numero che si ottiene dalla somma dei singoli elementi di una linea di una matrice moltiplicatoognuno per il proprio cofattore è sempre lo stesso; il determinante di A.Metodo di GaussFacendo solo due mosse, quali scambiare due righe e/o sommare ad una riga un multiplo diun’altra riga, posso trasformare A in una matrice triangolare superiore con lo stesso determinante.Rango

Orlato

Sia B una sottomatrice p×p di A. Si dice orlato di B ogni sottomatrice (p+1)×(p+1) che si ottiene aggiungendo a B una riga e una colonna.

Teorema degli orlati

Se A ha una sottomatrice p×p con det≠0 i cui orlati hanno tutti det=0, allora rgA=p.

Indipendenza lineare

∈A ,A ,…,A_M sono linearmente indipendenti se l’unica loro combinazione lineare che da la matrice nulla è quella con tutti i coefficienti uguali a 0.

Teorema di Binet

∈Date due matrici A,B_M; det(AB)=detA x detB.

Teorema 1-1

Se una matrice è invertibile A è la trasposta della matrice dei cofattori moltiplicata per detA^-1.

SISTEMI LINEARI

Sistema lineare

mxn è un sistema con m equazioni di primo grado in n incognite.

Sistema omogeneo associato

Il sistema omogeneo associato al sistema lineare è quando tutte le incognite sono 0. Ammette sempre almeno la soluzione banale.

Teorema di Cramer -1

Un sistema quadrato nxn ammette un'unica soluzione se e solo se detA ≠ 0 ed è X=A x B.

Teorema di Rouché-Capelli

Chiamiamo A la matrice incompleta e C la matrice che otteniamo da A aggiungendo la colonna dei termini noti. Se rgA=rgC soluzioni, se rgA<rgC non esistono soluzioni. n-rg≥1. Se rgA=rgC=n un'unica soluzione. Se rgA=rgC < n ∞ soluzioni.

SPAZI VETTORIALI

Spazio vettoriale

Uno spazio vettoriale reale è un insieme non vuoto i cui elementi sono chiamati vettori con operazioni di somma tra due vettori e prodotto tra un vettore e un numero.

Vettori applicati

Fissiamo un punto O del piano. Un vettore geometrico applicato in O è un segmento orientato che unisce O ad un secondo

punto P.Vettori liberi

Un vettore geometrico libero v è una classe di equipollenza di vettori geometrici applicati ovvero l'insieme dei vettori applicati tutti equipollenti fra di loro tra cui cambia solo il punto di applicazione.

Sottospazio vettoriale

Un sottoinsieme non vuoto di uno spazio vettoriale si dice sottospazio vettoriale se questo è chiuso rispetto alla somma, al prodotto e a prendere combinazioni lineari.

Span

L'insieme di tutti i vettori che si ottengono come combinazione lineare di v ,v ,…,v è un sottospazio vettoriale.

Generatori

Dei vettori di dicono generatori se appartengono allo Span.

Base

Una base di uno spazio vettoriale è una n-upla ordinata di vettori di V che sono linearmente indipendente e generano V.

Base infinita

È un insieme infinito di vettori tali che, comunque scegliamo un numero finito di essi, questi sono linearmente indipendenti; ogni vettore di V è combinazione lineare di un numero finito di

essi.Applicazioni lineare

Siano V e V’ due spazi vettoriali una funzione T: V -> V’ si dice applicazione lineare se è additiva e omogenea, ovvero se rispetta le proprietà di additività e omogeneità.

Spazi vettori isomorfi

Due spazi vettoriali isomorfi sono “lo stesso spazio” con elementi che hanno nomi diversi. Ciò che vale per uno spazio V vale anche per tutti gli spazi a esso isomorfi. In particolare se V ha una base finita B con n elementi ciò che vale per R vale per V.

Teorema del completamento delle basi ∈

Sia B=(v , v , …, v ) una base di V e siano w , w , …, w V vettori indipendenti allora esistono n-p1 2 n 1 2 pvettori di B che insieme a w , w , …, w formano una base di V.

1 2 p

Se Span(w , w , …, w )=V allora p=n e w , w , …, w formano un base di V.

1 2 p 1 2 p

∃ ∈

Se Span(w , w , …, w )≠V allora p<n e v B\Span(w , w , …, w ).

1 2 p p 1 2 p

Allora w ,

w , …, w , v sono indipendenti.

Sottospazi supplementari

Se U∩W={0} u+w è somma diretta e U e W si dicono sottospazi supplementari e quindidimU+dimW=dimV. Esistono infiniti supplementari di un sottospazio vettoriale U≠V. Completo unabase di U a una base di V aggiungendo alcuni vettori che generano un supplementare di U. Se U e∈W sono sottospazi supplementari ogni v V si scrive in modo unico come somma di un vettore diU e uno di W.

Sottospazi affini

Sia W un sottospazio vettoriale di V. Un sottospazio affine di V parallelo a W è un sottoinsiemeL⊆V del tipo L=v +W, dimL=dimW. I sottospazi affini sono traslati di sottospazi vettoriali.

Nucleo

Il nucleo è un sottospazio vettoriale di V e dim KerT=n-rgA. È l’insieme dei vettori che hanno comeimmagine 0.

Immagine

Sia T:V->V’ un’applicazione lineare. L’immagine di T è il sottospazio vettoriale T(V).∈ ∈ImT= T(V) = {T(V) V’ : v V}.

Teorema

della dimensione o nullità dim KerT + dim ImT = dimV.

Un endomorfismo è un'applicazione lineare in cui il dominio coincide con il codominio T:V->V.

Matrici simili: Due matrici si dicono simili se esiste una matrice invertibile P tale che A' = PAP.

Matrici simili hanno lo stesso determinante oppure lo stesso polinomio caratteristico.

Autovettori: Sia T: V->V un endomorfismo. Un vettore v in V, v≠0, si dice autovettore di T se la sua immagine è proporzionale a v, ovvero T(v) = λv, λ in R.

Sia A una matrice in M, un vettore v in R, v≠0, si dice autovettore di A se è autovettore di LA:R, ovvero Av = Xv per un certo X in R. X si dice autovalore e v autovettore di autovalore λ.

Molteplicità algebrica-geometrica: La molteplicità algebrica m(λ) di λ è il numero di volte che λ è soluzione del polinomio caratteristico.

La molteplicità geometrica m(λ) di λ è il numero di autovettori linearmente indipendenti associati a λ.

mg(λ) di λ è la dimensione dell’autospazio di λ, ovvero n-rg(A- λI). Se le due molteplicità non coincidono la matrice non è diagonalizzabile.

Spazio duale

Sia V uno spazio vettoriale. Indichiamo V* l’insieme delle applicazioni lineari da V a R. V*={f: V-> R lineari}. V* è uno spazio vettoriale, lo spazio duale di V.

Base ortogonale ortonormale

Una base è ortogonale se i vettori che la compongono sono a due a due ortogonali. ∈<v ,v >=0 per ogni i≠j con i,j {1,2,…,n}i j.

Una base ortonormale è una base ortogonale in cui tutti i vettori hanno norma unitaria rispetto ad un prodotto scalare. B={v ,v ,…,v } è ortonormale <v ,v >=0 per ogni i≠j con i,j={1,2,…,n}1 2 n i j ∈||v ||=1 per ogni i {1,2,…,n}i