Riassunto definizioni algebra e geometria lineare

Definizioni algebra lineare e geometria

Combinazione lineare

Siano A₁, A₂, …, A_k. Una loro combinazione lineare è un’espressione del tipo: c₁A₁ + c₂A₂ + … + c_kA_k con c₁, c₂, …, c_k ∈ R. Il risultato è un nuovo elemento dello spazio. Una combinazione lineare dà una matrice dello stesso tipo.

Matrice simmetrica

Una matrice quadrata A ∈ M_n si dice simmetrica se A = A^t. S_n è l’insieme delle matrici simmetriche n × n. A(a_ij) ∈ S_n → a_ij = a_ji.

Matrici antisimmetriche

Una matrice quadrata A ∈ M_n si dice antisimmetrica se A = -A^t. A_n è l’insieme delle matrici simmetriche n × n. A(a_ij) ∈ A_n → a_ij = -a_ji e gli elementi sulla diagonale sono nulli.

Matrice idempotente

Una matrice A ∈ M_n si dice idempotente se A² = A.

Matrice nilpotente

Una matrice A ∈ M_n si dice nilpotente se ∃ k ∈ N tale che A^k = 0.

Matrice invertibile

Una matrice A ∈ M_n si dice invertibile se ∃ B ∈ M_n tale che AB = BA = I_n. B si chiama inversa di A. Se A è invertibile esiste un’unica inversa di A. Se A è invertibile, A^-1 è invertibile. Se detA = 0 la matrice non è invertibile. A è invertibile se detA ≠ 0 e det(A^-1) = 1/detA.

Determinante e rango

Determinante

Il determinante è un numero associato a una matrice che ne descrive alcune proprietà algebriche e geometriche.

Sottomatrice complementare

Data la matrice A ∈ M_n con n > 1 definiamo A_ij che è una matrice (n-1)×(n-1) ottenuta da A cancellando la i-esima riga e la j-esima colonna.

Teorema di Laplace

Il numero ottenuto dalla somma dei singoli elementi di una linea di una matrice, moltiplicato ognuno per il proprio cofattore, è sempre lo stesso; ovvero, il determinante di A.

Metodo di Gauss

Facendo solo due mosse, quali scambiare due righe e/o sommare a una riga un multiplo di un’altra riga, posso trasformare A in una matrice triangolare superiore con lo stesso determinante.

Rango

Il rango è il massimo numero di righe (o colonne) linearmente indipendenti. Sia A ∈ M_m×n, A ≠ 0. Il rango di A è il più grande numero per cui esiste una sottomatrice di A p × p con det ≠ 0, tutte le sottomatrici quadrate di ordine > p, se esistono, hanno det = 0.

Orlato

Sia B una sottomatrice p × p di A. Si dice orlato di B ogni sottomatrice (p+1) × (p+1) ottenuta aggiungendo a B una riga e una colonna.

Teorema degli orlati

Se A ha una sottomatrice p × p con det ≠ 0 i cui orlati hanno tutti det = 0, allora...