Riassunto esame scienza delle costruzioni, Prof. Vestroni, libro consigliato Scienza delle costruzioni, Casini, Vasta

Deformazione

Per descrivere la deformazione del continuo, devo conoscere la nuova posizione di Q.

U_a = U_p + dU(x), dove dU(x) = [dx, dy, dz]^T

U_a = U_p + ∂u/∂x dx + ∂u/∂y dy + ∂u/∂z dz

V_a = V_p + ∂v/∂x dx + ∂v/∂y dy + ∂v/∂z dz

W_a = W_p + ∂w/∂x dx + ∂w/∂y dy + ∂w/∂z dz

In forma matriciale ->

{U_a} = {U_p} + { ∂u/∂x ∂u/∂y ∂u/∂z ∂v/∂x ∂v/∂y ∂v/∂z ∂w/∂x ∂w/∂y ∂w/∂z } { dx dy dz }

T = gradi di libertà della funzione

U_a = U_p + Td x =>

U_a = U_p + Edx + Rd x

matrice simmetrica della deformazione pura

matrice antisimmetrica della rotazione rigida

E = 1/2 [T + T^T] = [∂u/∂x 1/2 (∂u/∂y + ∂v/∂x) 1/2 (∂u/∂z + ∂w/∂x) 1/2 (∂v/∂x + ∂u/∂y) ∂v/∂y 1/2 (∂v/∂z + ∂w/∂y) 1/2 (∂w/∂x + ∂u/∂z) 1/2 (∂w/∂y + ∂v/∂z) ∂w/∂z]

tensore della deformazione

I termini della deformazione si valutano con E_ij, ossia

giacenti sulla diagonale principale, E_xx, E_yy, E_zz sono le

Dilatazioni

Variazioni ai lungo raggio delle fibre porte secondo le direzioni x,y,z.

Gli elementi funzionali delle diagonali principali sono gli spostamenti lungo e dovuto alla traslazione delle fibre ortogonali e disposte secondo le direzioni (x,y) (x,z) (y,z) prima della deformazione.

E =

• Exx
• Exy
• Exz
• Exy
• Eyy
• Eyz
• Exz
• Eyz
• Ezz

In una direzione dello spostamento lungo quattro direzione.

• Ω = 1/2 [T - T^T]
• tensore della notazione rigida per piccoli spostamenti

| 0   1/2 (∂w/∂z - ∂v/∂y)   1/2 (∂u/∂y - ∂v/∂x) |

| 1/2 (∂w/∂z - ∂u/∂x)   0   1/2 (∂v/∂x - ∂w/∂y) |

| 1/2 (∂u/∂z - ∂v/∂y)   1/2 (∂u/∂x - ∂v/∂z)   0 |

Vx = -1/2 (∂v/∂z - ∂w/∂y)

Vy = -1/2 (∂v/∂x - ∂w/∂z) => Ω = | 0 -∂z ∂y |

Vz = -1/2 (∂v/∂z - ∂u/∂x)

| -∂z 0 -∂x |

| i ∂y Vx 0 |

Es. - ∂z moltiplice di 2 di x

Vz si sposta sul piano rotante di esso di x.

OK

EQUAZIONI DI CONGRUENZA PER LO STATO DI DEFORMAZIONE PIANA

Sia

• _εxx = ^∂u/_∂x
• _εyy = ^∂v/_∂y
• _εxy = _εyx = ¹/₂ (^∂v/_∂x + ^∂u/_∂y)

√z= ¹/₂ (^∂v/_∂x - ^∂u/_∂y)

d= ^∂u/_∂x dx + ^∂u/_∂y dy

d= ^∂v/_∂x dx + ^∂v/_∂y dy

∂_∂x (^∂u/_∂y - ε_xy - ∅z) = 0

∂_∂y (ε_xy + ∅z) - ∅ = ε_yy ∂_∂x

Affinché tale sistema sia integrabile: _∂2∂u/_∂x²

σ_x - λ      τ_xy

τ_xy     σ_y - λ

equazione caratteristica di II grado

2λ = σ_x + σ_y

λ² - (σ_x + σ_y)λ + σ_xσ_y - τ²_xy = 0

σ_x + σ_y λ = [ (σ_x + σ_y)² - 4 (σ_xσ_y - τ²_xy) ]^1/2

λ = [ (σ_x + σ_y)/2 ] ± [(σ_x - σ_y) ² + 4τ²_xy]^1/2 / 2

σ₁, σ₂ = (σ_x + σ_y)/2 ± [(σ_x - σ_y)/2]² + τ²_xy]^1/2

tensioni principali

+ FORMA GRAFICA

E_ij Mpr fr Dij

fr·Mr = ∫ σ_ijε_ijdV

conseguente

Se fr=1 => Mr = ∫ σ_ijε_ijdV

Lemma (2)

DMS afferma, in riferimento ai forze esterne e tensioni interne, tra equilibrio nato e che vale per ciascuno stato ai deformazione conseguente:

X_i f^*_i α_ij

ε^*_ij μ^*_i

∫ (X_i + ∂_ij γ) M ^*idV + ∫ (f^°_i - α^°_ij) M ^*i dS

+ ∫ α^°_ij (Mᵢ^*_,j + Mⱼ^*_,i) - ε_ij α^*ij dV

+ ∫ σ_ij ε^*_ijdV = ∫ σ_ijε_ijdV

∫ (X^°_i + ∂^°_ij) M ^*i dV + ∫ (f^°_i - α^°_ij) M ^*i dS = 0

{ X_i + α_ij J = 0

f_i - α^°_ij γ = 0

condizione di equilibrio

Ψ = ∫ dΦ - Ψ(c₀)

3) Nel caso di comportamento elastico

dΦ = ε d(Ɛ) = ∫ dΦdν = Ɛd(Ɛ)

dΨ = (dσ)Ɛ = ∫ dΨdν = Ɛc(c_Ɛ)

L = Φ + 1/2 Ɛ^TƐ · Ɛ - 1/2σ:Ɛ

L_c = Ψ + 1/2 Ɛ^Tσ · σ = 1/2σ^TAσ

Nel campo plastico, come si vede dal disegno, Φ = Ψ

Ora ho 15 equazioni in 15 incognite.

I metodi risolutivi sono 2:

• metodo delle congruenze
• metodo degli spostamenti

1. Nel metodo delle congruenze (secondo ed unico) parto da un sistema iperstatico e lo riduco a un sistema ipostatico.
2. Nel metodo degli spostamenti parto invece dalle congruenze e li porto ad un caso di equilibrio.

In pratica, nel metodo delle forze parto dalle reazioni vincolari, mentre nel metodo degli spostamenti converto proprio dagli spostamenti per scrivere l'equilibrio di una molecola.

Metodo degli spostamenti (MdS)

Parte delle congruenze => EΔu

Equilibrio=> DΔx=0

[EΔu_t x=0 calcolazione di equilibrio

[BEDu_t f=0 calcolazione del contorno

Le equazioni risolutive sono dunque le equazioni indefinite di equilibrio spresse in termini di spostamento

In formula matricole.

1. I momenti principali di inerzia

det(I - λI) = 0 => |Iy - λ Ixy| = 0 |Ixy Ix - λ|

I_x = √(I_x + I_y / 2) ± √((I_x - I_y)² / 4 + I_xy²)

Gli assi principali baricentrici vengono definiti assi centrali di inerzia.

ELLISSE CENTRALE D'INERZIA

L'ellisse centrale d'inerzia è l'ellisse avente come chi: gli assi centrali di inerzia e come semiondi i raggi di inerzia.

β_x = √(I_x / A) β_y = √(I_y / A)

I_x = β_x² x A I_y = β_y² x A

x² / i_x² - y² / i_y² = 1

N=σ_zA

M_x=σ_zI_y

M_y=σ_xI_x

σ_z=N−M_xy+H_yx

A I_y I_x

Formula Trinomia

σ_z=N − N x_c − N y_c

A i_2x i_2y

J_z=λ

giacatura

d'inerzia

σ_z=N(1+x_c+y_c)

A i_2x i_2x

→impongo un asse su cui σ_z=0 → Asse Neutro

L’asse neutro e l’antipolare del punto o (centro di sollecitazione), quindi si trova sempre dalla parte opposta al rispetto al baricentro.

χ=1

P R

N(1+x_c+y_c=0 → -x_c + y_c=1

A i_2x i_2y i_2x i_2x

L'asse neutro interseca L'asse x e l’asse y per valori negativi, quindi calcolo al passaggio e si trova dalla altra parte.

• Cerchio al nucleo centrale d’inerzia =
• Asse neutro esterno allo sforzo seziona tutta tesa o tutta compressa.
• Cerchio al nucleo, e asse neutro interno allo sforzo seziona a taglio sua fargo una conpressione fuoriologica.

L’asse neutro e vicino a al antipolare dal baricentro è vicino al centro alla tavola del C, e muoto il baricentro