Riassunto esame scienza delle costruzioni, Prof. Vestroni, libro consigliato Scienza delle costruzioni, Casini, Vasta

Deformazione

Per calcolare la deformazione del continuo, devo calcolare la nuova posizione di Q.

UQ = UP + dU(x), dove dU(x) = [du, dv, dw]^T

vUQ = vUP + ∂u/∂x dx + ∂u/∂y dy + ∂u/∂z dz vVQ = vVP + ∂v/∂x dx + ∂v/∂y dy + ∂v/∂z dz vWQ = vWP + ∂w/∂x dx + ∂w/∂y dy + ∂w/∂z dz

In forma matriciale ->

• vUQ
• vVQ
• vWQ

• vUP
• vVP
• vWP

• (∂u/∂x ∂u/∂y ∂u/∂z)
• (∂v/∂x ∂v/∂y ∂v/∂z)
• (∂w/∂x ∂w/∂y ∂w/∂z)

• dx
• dy
• dz

T = gradiente della funzione

UQ = UP + Tdx => UQ = UP + Edx + Ωdx

matrice simmetrica della deformazione pura

matrice antisimmetrica della rotazione rigida

E = 1/2 [T + T^T] =

(∂u/∂x    1/2 (∂u/∂y + ∂v/∂x)    1/2 (∂u/∂z + ∂w/∂x)) (1/2 (∂v/∂x + ∂u/∂y)    ∂v/∂y    1/2 (∂v/∂z + ∂w/∂y)) (1/2 (∂w/∂x + ∂u/∂z)    1/2 (∂w/∂y + ∂v/∂z)    ∂w/∂z)

I termini della deformazione si studiano col Eij e si interpreta: Gli elementi sulla diagonale principale, Exx, Eyy, Ezz sono le

Deformazione

Per conoscere la deformazione del continuo, devo conoscere la

nuova posizione di Q.

UQ = UP + dU(x), dove dU(x) = [du, dv, dw]^T

{

UQ = UP + _∂u/_∂x dx + _∂u/_∂y dy + _∂u/_∂z dz

VQ = UP + _∂v/_∂x dx + _∂v/_∂y dy + _∂v/_∂z dz

WQ = UP + _∂w/_∂x dx + _∂w/_∂y dy + _∂w/_∂z dz

}

In forma matriciale ->

{ UQ = { UP } + {

{ VQ = { VP } + [ _∂u/_{∂x ∂u}/_{∂y ∂u}/_∂z } { dx }

WQ = { WP } + _∂v/_{∂x ∂v}/_{∂y ∂v}/_∂z } { dy } ]

_∂w/_{∂x ∂w}/_{∂y ∂w}/_∂z } { dz }

}

T = gradiente della funzione

UQ = UP + Tdx =>

UQ = UP + Edx + ωdx

matrice simmetrica della deformazione più

rotazione rigida.

ε = 1/₂ (T + T^T) = [

1/2 (_∂u/_∂x 1/2 (_∂u/_∂y + _∂v/_∂x) 1/2 (_∂u/_∂z + _∂w/_∂x)

1/2 (_∂u/_∂y + _∂v/_∂x) 1/2 (_∂v/_∂y) 1/2 (_∂v/_∂z + _∂w/_∂y)

1/2 (_∂u/_∂z + _∂w/_∂x) 1/2 (_∂v/_∂z + _∂w/_∂y) _∂w/_∂z ]

teoremi della deformazione si studiano con Eij così a matriciona.

Gli ei sulla diagonale principale Exx, Eyy, Ezz sono le

Dilatazioni, ovvero variazioni ai lungo l'asse delle fibre poste secondo le direzioni x,y,z.

Gli elementi fuori dalla diagonale principali sono

Gli scorrimenti: ovvero scorrimenti angolari delle fibre ortogonali e disposte secondo le direzioni (x,y) (x,z) (y,z) prima della deformazione

ε = [  εxx  εxy  εxz  εxy  εyy  εyz  εzx  εzy  εzz  ]

ES. flusso angolo direzione dello spostamento

Ω = 1/2 [T-T'] = |0  1/2 (∂u/∂y - ∂v/∂x)  1/2 (∂u/∂z - ∂w/∂x)1/2 (∂v/∂x - ∂u/∂y)  0  1/2 (∂v/∂z - ∂w/∂y)1/2 (∂w/∂x - ∂u/∂z)  1/2 (∂w/∂y - ∂v/∂z)  0  ]

υx = -1/2 (∂v/∂z - ∂w/∂y)

υy = -1/2 (∂w/∂x - ∂u/∂z)

υz = -1/2 (∂u/∂y - ∂v/∂x)

=>  Ω = |0  -υz  υyυz  0  -υx-υy  υx  0  ]

ES. -Ωz moltiplica dy

dz si sposta sul piano y di raggio vettore coi componenti dx e dy

Relazione fra i componenti di spostamento e di deformazione

d=Edx

Per effetto della deformazione piena, Qx si porta nella posizione Qx'ed il segmento PQx subisce un allungamento unitario

_PQx'-_PQx------ PQx

PQx = dxPQx' = ^{{(1+E_xx)2 + E_xy2 + E}