Riassunto esame Modelli per gli investimenti finanziari, prof. Torricelli, libro consigliato Opzioni, futures e altri derivati, John C. Hull

S, F S F S F

È sicuramente un minimo, perché la varianza della posizione è funzione convessa (concava verso l’alto). Il

rapporto di copertura ottimale dipende dal cross hedging. ϱ = 1.

Se non c’è stato il bisogno di fare cross hedging, allora il coefficiente di correlazione, S, F

Variazione dei prezzi spot e futures: regressione lineare

Varianza della posizione dell’hedger e rapporto di copertura

Varianza della posizione Rapporto di copertura,

h

Il numero ottimale di contratti futures

Il numero ottimale N* dei contratti futures per coprire un’esposizione, senza TAILING ADJUSTMENT è:

N* = [h* Q ] / [Q ]

A F

 Q = dimensione della posizione da proteggere

A

 Q = dimensione di un contratto futures

F

Il numero ottimale N* dei contratti futures per coprire un’esposizione, con TAILING ADJUSTMENT è:

N* = [h* V ] / [V ]

A F

 V = valore della posizione da coprire

A

 V = valore dell’attività sottostante il futures, ossia il prodotto tra Q e F

F F 0

TAILING ADJUSTMENT: Affinamento della copertura. Questo risultato suggerisce di modificare giorno dopo

giorno la posizione sui futures via via che V e V cambiano. In pratica, le variazione giornaliere di N* sono

A F

molto piccole e possono essere ignorate.

ESEMPIO:

Una società tra 1 mese dovrà acquistare 2'000'000 di galloni di combustibile da petrolio e si copre comprando

futures sul combustibile da riscaldamento.

In base ai dati storici mensili:

 σ = deviazione standard del prezzo futures 0,0313$

F

 σ = deviazione standard del prezzo spot 0,0263$

S

 ϱ = correlazione tra i due prezzi 0,928

Il rapporto di copertura ottimale è

h* = 0,9284 * (0,0263$ / 0,0313$) = 0,7777 = 77,77%

Non copro il 100% perché i due prezzi non hanno una correlazione perfetta e la deviazione standard dello spot

è inferiore a quella del futures. Per il 100% è necessario che ϱ = 1 e che le due deviazioni siano uguali. Per

coprirmi sto usando un contratto futures con una volatilità maggiore del contratto spot.

La dimensione dei contratti futures sul combustibile da riscaldamento, al NYMEX, è 42'000 galloni.

Il numero ottimale di contratti, senza TAILING ADJUSTMENT è: 0,7777 * (2'000'000 / 42'000) = 37,03

I prezzi spot e futures del combustibile da riscaldamento sono rispettivamente 1,94$ e 1,99$ per gallone.

V = 1,94$ * 2'000'000 = 3'880'000$

A

V = 1,99$ * 42'000 = 83’580$

F

Il numero ottimale di contratti, con TAILING ADJUSTMENT, è: 0,7777 * (3'880'000 / 83'580) = 36,10

FUTURES SU INDICI AZIONARI

Gli indici azionari misurano la variazione di valore di ipotetici portafogli di azioni. Il peso di ogni azione è pari

alla quota del valore del portafoglio che risulta investita nel titolo.

Anche se la composizione dell'ipotetico un portafoglio azionario resta invariata, non restano invariati i pesi

assegnati ai singoli titoli.

Alcuni indici sono costruiti formando ipotetici portafogli nei quali è presente una quantità unitaria di ciascun

titolo. In tal caso i pesi assegnati ai titoli sono proporzionali ai loro prezzi di mercato e gli indici vengono

aggiustati in occasione dei frazionamenti.

Altri indici sono costruiti in modo che i pesi siano proporzionali alla capitalizzazione di borsa

(Prezzo del titolo * Numero delle azioni in circolazione)

In questo caso, gli indici si aggiustano automaticamente in occasione dei frazionamenti, delle assegnazioni

gratuite e delle emissioni a pagamento.

COPERTURA DI PORTAFOGLI AZIONARI

DA RICORDARE: il pricing delle azioni e la determinazione di una misura di rischio delle azioni

La misura di rischio di una azione è il β, ovvero il coefficiente del CAPM.

L’obiettivo di copertura di portafoglio è quello di annullare il rischio di mercato, β = 0.

Il numero ottimale di index futures, futures che ha come sottostante il rischio di mercato, necessario per

coprire un portafoglio azionario è: N* = β * (V / V )

A F

V è il valore del portafoglio di coprire

A

V = Q * F è il valore dell’attività sottostante il futures

F F 0

I futures possono anche essere utilizzati per modificare il β del portafoglio.

Ragioni della copertura di un portafoglio

Perché l’hedger si prende il disturbo di ricorrere ai futures?

Operazione di copertura può essere giustificata se l’hedger ritiene di aver scelto bene i titoli in portafoglio.

L’hedger potrebbe essere molto incerto circa la performance dell'intero mercato ma fiducioso sul fatto che i

titoli in portafoglio si comportano meglio del mercato.

L’hedger ha in mente di mantenere il portafoglio per un lungo periodo di tempo e desidera avere una

protezione a breve termine in una situazione di mercato incerta. La strategia alternativa di vendere il

portafoglio e ricomprarlo successivamente potrebbe comportare costi di transazione eccessivamente alti.

Modificare il beta

Talvolta i futures vengono usati per portare il beta di un portafoglio un valore diverso da zero.

Per cambiare il β del portafoglio occorre:

- Vendere (β – β*) * (V / V ) contratti quando β > β*

A F

- Comprare (β* - β) * (V / V ) contratti quando β < β*

A F

Bloccare i benefici dello stock-picking

Selezione di titoli che battono il mercato, stock-picking.

Non sappiamo cosa farà il mercato nei prossimi mesi, ma riteniamo che il nostro portafoglio farà meglio del

mercato. Cosa dovremmo fare?

Dovremmo vendere futures scritti su un indice azionario. Se il nostro portafoglio farà meglio di un portafoglio,

ben diversificato, con lo stesso beta, allora l'operazione comporterà un profitto.

STACK AND ROLL

La fine del periodo di copertura è successiva alla scadenza dei futures disponibili.

L’hedger deve allora rinnovare le operazioni di copertura, ossia chiudere un futures e aprirne un altro con

scadenza più lontana nel tempo. La copertura può essere rinnovata più volte. Questa strategia è nota con il

nome di accumula e rinnova, stack and roll.

Di solito, le società utilizzano i futures a un mese, che sono i più liquidi, per coprire le proprie esposizioni.

Quando impostano la copertura, accumulano i contratti necessari e poi, un mese dopo, li rinnovano.

Il caso Metallgesellschaft, una copertura finita male

A volte la necessità di rinnovare l'operazione di copertura può comportare problemi di liquidità. Questa

possibilità è illustrata drammaticamente dalle operazioni svolte dalla Metallgesellschaft. Essa aveva venduto un

enorme volume di contratti, con scadenze tra i 5 e i 10 anni, per la fornitura di combustibile da riscaldamento e

di benzina.

Per coprire la sua esposizione, aveva poi assunto una posizione lunga su futures a breve termine, da rinnovare

alla scadenza.

Il prezzo del petrolio scese e ci furono richieste di integrazione dei margini sulla posizione in futures. I dirigenti

sostennero che gli esborsi a breve termine erano compensati dagli introiti che si sarebbero realizzati sui

contratti a lungo termine.

La società chiuse tutte le posizioni di copertura e, d'accordo con i clienti, abbandonò i contratti di fornitura e

che aveva negoziato. CAPM

Il CAPM fornisce un’equazione fondamentale: la security Market Line (SML).

Modello di equilibrio domanda‐offerta mercato dei capitali. Questa equazione definisce infatti che il mercato

dei capitali è in equilibrio quando domanda = offerta.

Definizione di equilibrio in economia come in fisica, è infatti una situazione di quiete.

OBIETTIVO: Modello per la determinazione del rendimento (o prezzo) di attività rischiose quali le azioni.

Dimostrabile essere un modello di equilibrio tra domanda ed offerta di titoli rischiosi:

- Domanda di ogni titolo rischioso i

Dati i rendimenti è determinata dagli investitori tramite la teoria del Portafoglio ottimo Media‐Varianza.

Essa è basata sulla teoria dell’utilità attesa e portafoglio ottimo di Markowitz.

- Offerta di titoli rischiosi

Si suppone data. Le aziende, quando fanno un aumento di capitale è per necessità. Quindi l’offerta di

azioni la prendo per data, non mi pongo il problema di andare ad incidere su essa.

- Eccesso di domanda per ogni titolo

È uguale a 0. Corrisponde a dire che la domanda è uguale all’offerta.

Quando descrivo un oggetto utilizzo la varianza e il valore atteso. La distribuzione è Gaussiana.

Varianza e valore atteso bastano a descriverla perché è simmetrica.

Una distribuzione Long Normale è invece asimmetrica, quindi occorre la media, la varianza e l’indice di

asimmetria.

Il modello CAPM suppone che i rendimenti delle azioni siano normali. Il fatto che i rendimenti siano normali è

alla base infatti del modello.

Per descrivere le singole azioni, utilizziamo un piano cartesiano dove le due dimensioni sono media e varianza.

PORTAFOGLI EFFICIENTI

Vengono descritti in un piano media-varianza:

- ASSE X: Deviazione standard del rendimento

- ASSE Y: Valore atteso del rendimento

A parità di deviazione standard, che misura il rischio, valuto efficiente chi mi permette di ottenere il

rendimento maggiore.

A parità di rendimento atteso, valuto efficiente chi ha un rischio, una deviazione standard, minore.

Quindi, un portafoglio è efficiente se:

- A parità di rischio, massimizza il rendimento

- A parità di rendimento, minimizza il rischio

Frontiera efficiente

È la curva che rappresenta i portafogli efficienti, ovvero la relazione tra rischio e rendimento di questi

portafogli.

Quando combino titoli tutti rischiosi, la combinazione non è lineare.

Quando tutti i titoli sono rischiosa, la frontiera efficiente è rappresentata da una curva, che indica la relazione

rischio-rendimento tra portafogli efficienti. La concavità della curva, fa capire che per un incremento marginale

(di 1) del rischio, anche il rendimento cresce ma in misura minore. La relazione è comunque crescente ma non

uno a uno.

Se si vuole aumentare il rendimento di un’azione, bisognerà prendere anche una direzione di incremento del

rischio. La duration descrive questo andamento.

RISK FREE: Il rischio, cioè la deviazione standard è zero, ma il portafoglio rende il minimo possibile.

La combinazione di due portafogli, uno risk free e uno efficiente, è rappresentabile con una retta che li unisce. Si

parla di combinazione lineare.

A parità di risk free, conviene più la combinazione con M rispetto a quella di A perché si trova su una retta più

alta.

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