Riassunto esame Microeconomia, parte Teoria dei Giochi

Teoria dei giochi

Introduzione

Vi sono due o più imprese che devono decidere una strategia di quantità, cioè quanto produrre. Il profitto di ciascuna impresa dipende da quanto essa decide di produrre, ma anche da quanto producono le altre in quanto il prezzo di mercato è determinato dalla quantità complessiva offerta sul mercato.

Poniamoci dal punto di vista dell’impresa A. Per decidere quanto produrre, l’impresa A deve saper prevedere quanto produrranno le altre imprese. Inoltre, l’impresa A sa che le altre imprese, per decidere quanto produrre, devono saper prevedere quanto produce l’impresa A stessa. Il problema dell’impresa A, per essere risolto, richiede di sapere come le altre imprese risolvono il loro problema. Allo stesso tempo, il problema delle altre imprese, per essere risolto, richiede di sapere come l’impresa A risolve il suo problema.

Vi è un evidente circolo vizioso che sembra escludere la possibilità di trovare una soluzione al problema decisionale dell’impresa A. La teoria dei giochi propone una soluzione a questo tipo di problemi.

Problemi di scelta interdipendenti

La teoria dei giochi è la teoria della scelta razionale in un contesto di interdipendenza strategica, o contesto strategico.

Contesto strategico

È una situazione di scelta caratterizzata dai seguenti elementi:

• Vi sono due o più soggetti chiamati a compiere una scelta.
• Il beneficio che ogni soggetto trae dalla propria scelta dipende anche dalla scelta degli altri.
• Tutti i soggetti coinvolti sono consapevoli dell'interdipendenza delle scelte.

Esempio

Campagna pubblicitaria

Due imprese, A e B, vendono prodotti concorrenti. Ogni impresa può decidere se promuovere il proprio prodotto, finanziando una campagna pubblicitaria, oppure non promuovere il prodotto.

Descrizione dei giochi strategici

Gli elementi che definiscono un gioco sono:

• I giocatori
• Le strategie di ciascun giocatore
• I payoff di ciascun giocatore

1. Giocatori

Per semplicità consideriamo soltanto i giochi con 2 giocatori.

2. Strategie

Ogni giocatore deve scegliere una strategia. Una strategia è costituita da un’azione o una mossa, oppure da una combinazione di mosse.

s Strategia del giocatore i → o i

S Insieme di strategie del giocatore i → o i

(s₁, s₂) Profilo di strategie dei due giocatori → o S₁ × S₂ Insieme dei profili di strategie → o

3. Payoff

Al termine del gioco ogni giocatore riceve un payoff. I payoff in genere sono premi monetari, ma possono essere anche livelli di utilità. I payoff di un giocatore non dipendono soltanto dalla strategia da lui scelta, ma anche dalla strategia scelta dall’altro giocatore.

v (s₁, s₂) Payoff del giocatore i quando il profilo di strategie giocato è (s₁, s₂) → o iv : S₁ × S₂ → R Funzione dei payoff del giocatore i → o i

Classi di giochi

Prenderemo in esame due classi di giochi:

• Giochi a mosse simultanee o giochi a uno stadio: I giocatori scelgono le loro strategie simultaneamente, o anche in momenti diversi del tempo ma senza sapere cosa ha scelto l’avversario. Esempio: Aste con offerte in busta sigillata.
• Giochi a mosse sequenziali o giochi a più stadi: I giocatori scelgono le loro azioni avendo informazione sulle scelte degli altri giocatori nelle fasi precedenti del gioco. Esempio: Asta ascendente con offerte pubbliche.

Giochi a mosse simultanee

La descrizione di un gioco a mosse simultanee richiede che siano indicati:

• Gli insiemi di strategie dei due giocatori, cioè: S₁, S₂
• Le funzioni dei payoff dei due giocatori, cioè: v₁ (s₁, s₂), v₂ (s₁, s₂)

Solitamente queste informazioni sono contenute nella matrice del gioco.

La matrice contiene tutti gli elementi che descrivono un gioco. Gli insiemi di strategie dei due giocatori sono rispettivamente:

• S₁ = {a, b}
• S₂ = {l, m}

Quindi l’insieme dei profili di strategie è:

S₁ × S₂ = {(a, l), (a, m), (b, l), (b, m)}

La funzione dei payoff del giocatore 1 è:

• v₁ (a, l) = 1
• v₁ (a, m) = 3
• v₁ (b, l) = 4
• v₁ (b, m) = 1

La funzione dei payoff del giocatore 2 è:

• v₂ (a, l) = 1
• v₂ (a, m) = 2
• v₂ (b, l) = 3
• v₂ (b, m) = 4

Esempio

Le strategie sono:

• S₁ = b, c
• S₂ = m, n

Le funzioni dei payoff dei giocatori sono:

• v₁ (b, m) = 6
• v₁ (b, n) = 1
• v₁ (c, m) = 4
• v₁ (c, n) = 2
• v₂ (b, m) = 2
• v₂ (b, n) = 4
• v₂ (c, m) = 6
• v₂ (c, n) = 2

Giochi a informazione completa

Conoscenza comune significa, non solo, che tutti i giocatori conoscono la matrice del gioco, ma anche che:

• Ogni giocatore sa che l’altro conosce la matrice del gioco
• Ogni giocatore sa che l’altro sa che lui conosce la matrice del gioco
• Ogni giocatore sa che l’altro sa che lui sa che l’altro conosce la matrice del gioco e così via

Un gioco con informazione incompleta è, ad esempio, un gioco in cui un giocatore non conosce i payoff dell’altro. Studiamo soltanto i giochi con informazione completa.

Razionalità

Qual è la soluzione del gioco? Cioè, qual è il profilo di strategie che verrà giocato dai due giocatori se si comportano in modo razionale? L’obiettivo di ogni giocatore razionale è massimizzare il proprio payoff.

Un giocatore razionale:

• Formula una previsione sulla strategia adottata dall’avversario
• Sceglie una strategia che massimizza il proprio payoff, data la previsione sulla scelta dell’avversario

Esempio

Se il giocatore 2 prevede che il giocatore 1 scelga la strategia b, il giocatore 2 giocherà la strategia m, perché così riceverà un payoff di 4, mentre giocando l otterrebbe soltanto 3. Quindi, la strategia m è una risposta ottima alla strategia b.

Data una previsione sulla scelta dell’avversario, un giocatore razionale sceglie una strategia di risposta ottima. Ad esempio, studiamo il comportamento del giocatore 1:

• Se il giocatore 1 prevede che il giocatore 2 scelga la strategia m, il giocatore 1 giocherà la strategia a, perché a è una risposta ottima a m.
• Se, invece, il giocatore 1 prevede che il giocatore 2 scelga la strategia l, il giocatore 1 giocherà la strategia b, perché b è una risposta ottima a l.

Tuttavia, se non sappiamo cosa sceglie il giocatore 2, non siamo in grado di dire se il giocatore 1 giocherà la strategia a o la strategia b. Per alcuni tipi di giochi è possibile ricavare la soluzione senza che i giocatori facciano previsioni sulle strategie degli avversari.

Esempio

Campagna pubblicitaria

Due imprese, A e B, vendono prodotti concorrenti. Ogni impresa può decidere se promuovere il proprio prodotto, finanziando una campagna pubblicitaria, oppure non promuovere il prodotto.

La strategia Pubblicità di A è una risposta ottima a Pubblicità di B, ma è anche una risposta ottima a No pubblicità di B. La strategia Pubblicità è una strategia dominante per l’impresa A, cioè è una risposta ottima a qualsiasi strategia dell’impresa B.

Strategia dominante

Un giocatore razionale sceglie una strategia dominante qualunque cosa faccia l’avversario.

Esempio

L’impresa A giocherà Pubblicità. La strategia Pubblicità è una strategia dominante anche per l’impresa B. L’impresa B giocherà Pubblicità. In questo caso abbiamo ricavato la soluzione del gioco, che è il profilo di strategie: (Pubblicità, Pubblicità).

Previsioni razionali

Non sempre entrambi i giocatori hanno strategie dominanti. Per trovare la soluzione di un gioco occorre sviluppare la razionalità anche con riferimento alle previsioni che fanno i giocatori.

Assunzione: La razionalità è “conoscenza comune”, cioè ogni giocatore sa che anche gli altri giocatori sono razionali, sa che tutti sanno che lui è razionale, e così via.

Esempio

Il giocatore 1 non ha una strategia dominante. Il giocatore 2 ha una strategia dominante che è n. Il giocatore 1, quindi, è in grado di prevedere cosa farà il giocatore 2 e di scegliere la sua risposta ottima che è c. La soluzione del gioco è (c, n).

Strategia dominata

Spesso, nessun giocatore ha strategie dominanti. Qual è in tali casi una previsione razionale? Vi sono alcuni giochi in cui un giocatore, pur non potendo dire cosa farà l’avversario, è in grado di prevedere razionalmente quale strategia non giocherà l’altro giocatore. Una strategia dominata non è mai una strategia di risposta ottima. Non è razionale prevedere che l’avversario giochi una strategia dominata.

Esempio

La strategia s₂ = m è dominata perché la strategia s'₂ = l permette di ottenere un payoff più alto, qualunque cosa faccia il giocatore 1. Tuttavia, l non è una strategia dominante.

Una strategia dominata non può mai essere una strategia di risposta ottima. Infatti:

• Se 2 pensa che 1 giochi la strategia a, lui giocherà la strategia l.
• Se 2 pensa che 1 giochi la strategia b, lui giocherà la strategia n.

Un giocatore razionale non giocherà mai una strategia dominata, perché una strategia dominata non è mai una risposta ottima. Inoltre, un giocatore razionale sa che il suo avversario non giocherà mai una strategia dominata. Inoltre, un giocatore razionale sa che il suo avversario sa che lui non giocherà mai una strategia dominata, e così via.

È conoscenza comune che nessun giocatore giocherà una strategia dominata. Se applichiamo questo principio al gioco precedente, allora possiamo eliminare dal gioco la strategia m, cioè possiamo cancellare la seconda colonna della matrice del gioco.

Se analizziamo il nuovo gioco osserviamo che il giocatore 1 ha una strategia dominata, cioè la strategia a. Applicando lo stesso principio di razionalità, tutti sanno che il giocatore 1 non giocherà mai la strategia a. Possiamo quindi eliminare la prima riga della matrice del gioco.

Il gioco si riduce alla scelta del giocatore 2, che giocherà la strategia n. La soluzione del gioco è il profilo di strategie (s*₁, s*₂) = (b, n). Abbiamo ottenuto la soluzione del gioco in base al criterio della dominanza iterata.

Esempio

Gioco 1

La strategia l del giocatore 2 è dominata. Applichiamo il criterio della dominanza iterata e cancelliamo la prima colonna.

La soluzione del gioco in base al criterio della dominanza iterata è dato dal profilo di strategie (s*₁, s*₂) = (a, m). Non tutti i giochi presentano strategie dominanti o strategie dominate per qualche giocatore.

Gioco 2

Per trovare una soluzione anche a questi giochi occorre sviluppare ulteriormente le implicazioni della razionalità.

Razionalità

Un giocatore razionale prevede che il suo avversario scelga una risposta ottima alla propria risposta ottima. In caso contrario, il giocatore agirebbe come se pensasse che l’avversario non sia razionale.

Esempio

Si consideri il gioco sopra dal punto di vista del giocatore 1. Supponiamo che il giocatore 1 preveda Destra e giochi Alto. Alto è una risposta ottima, ma Destra non è una risposta ottima. Prevedendo Destra, il giocatore 1 sta pensando che 2 non è razionale (o che sbaglia previsione). Quindi, prevedere Destra per giocare Alto non è un comportamento razionale per il giocatore 1.

Situa

Per illustrare in modo più semplice la scelta di un giocatore razionale si introduce la nozione di situazione ammissibile (o profilo di risposta ottima). Un giocatore razionale formula una previsione e sceglie una strategia. Il suo comportamento può essere considerato come la scelta di un profilo di strategie. Per ricavare i profili di strategie che sceglie un giocatore razionale si consideri la nozione di:

Esempio

Il profilo (s₁, s₂) = (Alto, Sinistra) è una situazione ammissibile per il giocatore 1? SI

v₁ (Alto, Sinistra) = 2 > 0 = v₁ (Basso, Sinistra)

Il profilo (s₁, s₂) = (Alto, Destra) è una situazione ammissibile per il giocatore 2? NO

v₂ (Alto, Destra) = 1 < 4 = v₂ (Alto, Sinistra)

Destra non è una risposta ottima ad Alto. Ai: insieme delle situazioni ammissibili del giocatore i. Con riferimento al Gioco 2 gli insiemi delle situazioni ammissibili sono:

• A₁ = {(Alto, Sinistra), (Alto, Destra), (Basso, Destra)}
• A₂ = {(Alto, Sinistra), (Basso, Destra)}

Gli insiemi delle situazioni ammissibili sono ‘conoscenza comune’. Quindi ogni giocatore conosce sia il proprio insieme, A_i, sia quello dell’avversario, A_j, sa che l’avversario conosce gli insiemi informativi di entrambi, e così via.

Seguiamo il ragionamento di un giocatore razionale:

• In primo luogo, individua gli esiti in cui egli gioca una risposta ottima.
• In secondo luogo, valuta gli esiti in cui il suo avversario gioca una risposta ottima.
• Infine si concentra sugli esiti in cui entrambi giocano una risposta ottima.