Riassunto esame Microeconomia, parte Incertezza

SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA

Gli agenti economici operano in contesti decisionali caratterizzati da incertezza:

- Compiono scelte rischiose, cioè con esiti incerti

 Investire i propri risparmi

 Intraprendere un’attività economica

- Fronteggiano situazioni rischiose

 Danni all’abitazione

 Incendio

 Riduzione della ricchezza

 Rapine o furti

Gli agenti economici si comportano in modo vario

- Riducono o eliminano i rischi a cui sono esposti: ASSICURAZIONE

- Assumono nuovi rischi: INVESTONO IN ATTIVITÀ

- Si assicurano e investono

Ci proponiamo di studiare il comportamento economico in presenza di incertezza e rischio

Sviluppiamo un apparato formale per descrivere e rappresentare

- Scelte e situazioni rischiose

- Preferenze e l’atteggiamento nei confronti del rischio

Applichiamo la teoria dell’utilità attesa all’analisi delle

- Scelte assicurative

- Scelte di investimento finanziario

Studiamo alcuni principi e strumenti per la gestione del rischio

- Diversificazione

- Condivisione del rischio – cartolarizzazione

- Acquisizione di informazioni

LOTTERIA

Una scelta rischiosa è una decisione che ha un esito incerto.

Ogni esito (che può essere un guadagno o una perdita) è determinato dal verificarsi di una particolare

combinazione di eventi, cioè uno stato del mondo.

In genere ad ogni stato è possibile associare una probabilità.

Una situazione rischiosa è rappresentabile come una lotteria, cioè come una lista di ‘premi o vincite’ e delle

relative probabilità.

Una lotteria è definita da tre elementi essenziali:

1. Gli stati possibili (o stati del mondo)

L’insieme degli stati è una ‘partizione’ degli eventi

 L’insieme è esaustivo, descrive tutte le possibilità che si possono verificare

 Non vi sono sovrapposizioni, il verificarsi di uno stato esclude il verificarsi di un altro.

2. Le probabilità di ogni stato

La probabilità di uno stato è una misura della verosimiglianza che questo accada.

 Se un evento non può accadere, la sua probabilità è zero

 Se un evento accade sicuramente, la sua probabilità è uno.

 Se potrebbe accadere, ma non per certo, allora la sua probabilità è fra zero e uno

La probabilità di tutti gli stati somma a uno

3. Gli esiti associati a ogni possibile stato

Gli esiti di una lotteria possono essere di varia natura, ad esempio livelli di benessere, panieri di

consumo o valori monetari.

Solitamente, gli esiti di una lotteria sono costituiti da valori monetari e sono chiamati payoff, vincite o

premi. Ci limitiamo allo studio di lotterie monetarie.

Una lotteria con n stati del mondo si rappresenta formalmente come una lista di payoff con associate le relative

probabilità X = (x1, x2, ... , xn ; π1, π2, ... , πn)

Dove:

- xi : vincita o premio nello stato i

- πi : probabilità che si verifichi lo stato i

Una lotteria certa è una lotteria che garantisce una stessa vincita in ogni stato ed `e indicata con X = x,

dove x è la vincita certa.

VALORE ATTESO

Gli individui valutano le scelte rischiose sulla base delle vincite che si attendono di ricevere.

QUANTFICAZIONE DEL RISCHIO

Gli individui valutano le scelte rischiose anche sulla base del rischio che esse comportano.

Una misura del rischio di una lotteria è data dalla variabilità dei suoi payoff.

Una misura della variabilità è la varianza.

Un misura della variabilità espressa nelle unità di misura dei payoff è data dalla deviazione standard, cioè la

radice quadrata della varianza.

Varianza

Una misura della variabilità è la varianza. Un misura della variabilità espressa nelle unità di misura dei payoff è

data dalla deviazione standard, cioè la radice quadrata della varianza.

PREFERENZE

Date 2 lotterie X e Y, l’espressione X Y significa che la lotteria X è preferita almeno quanto la lotteria Y

≿

- Indifferenza: X Y se X Y e Y X

∼ ≿ ≿

- Preferenze stretta: X Y se X Y e non è vero che Y X

≻ ≿ ≿

Le preferenze soddisfano le seguenti proprietà:

- Completezza: l’individuo è in grado di ordinare qualunque coppia di lotterie, cioè per ogni coppia X e Y

si ha X Y e/o Y X

≿ ≿

- Transitività: se X Y e Y Z allora X Z

≿ ≿ ≿

Esempio su offerte di impiego se C A e se A B allora C B.

≿ ≿ ≿

- Non sazietà: una vincita garantita più alta è preferita ad una più bassa, cioè se X = x e Y = y e x ≥ y allora

X Y

≿

Retta del valore atteso costante

La retta a 45 gradi è detta la retta della certezza.

Sia B = (b1, b2) una lotteria e πb1 + (1−π) b2 il suo valore atteso.

Tutte le lotterie X = (x1, x2) che hanno lo stesso valore atteso di B soddisfano l’equazione

πx1 + (1−π)x2 = valore atteso

Curve di indifferenza

Le preferenze sono rappresentate mediante le curve di indifferenza

AVVERSIONE AL RISCHIO

Classifichiamo le preferenze in base all’attitudine al rischio.

Gli individui possono essere:

1. Avversi al rischio

2. Propensi al rischio

3. Neutrali al rischio

Si noti che la pendenza della curva di indifferenza nel punto di intersezione con la retta della certezza è pari alla

pendenza della retta del valore atteso costante.

Equivalente certo

Per un individuo avverso, sostenere il rischio è costoso. Vediamo come si misura il costo del rischio.

Premio per il rischio

Per un individuo avverso al rischio, la lotteria vale meno del suo valore atteso.

Un individuo avverso è disposto a rinunciare ad una parte del valore atteso pur di evitare il rischio.

Il premio per il rischio di una lotteria indica la massima disponibilità a pagare per evitare il rischio

Il premio per il rischio di una lotteria varia da individuo a individuo.

È una misura individuale del costo del rischio legato ad una lotteria.

PROPENSIONE AL RISCHIO

NEUTRALITÀ AL RISCHIO

ESERCIZI

Esercizio 1

Il titolare di un bar, che è un individuo neutrale al rischio, ha investito 50 per aprire il locale.

In caso di insuccesso conta di incassare 30, mentre in caso di successo dell’iniziativa conta di incassare 80.

Dato che ha deciso di aprire il locale, qual è la minima probabilità che assegna al caso di successo?

Esercizio 2

Si supponga che per un individuo la vincita attesa di una lotteria è maggiore della vincita equivalente.

Si mostri che questo individuo è avverso al rischio.

Esercizio 3

Si supponga che un individuo sia indifferente tra le lotterie

- X = (100,20;1/2)

- Y = 55.

Qual è il premio per il rischio della lotteria X e qual è l’atteggiamento nei confronti del rischio dell’individuo?

Esercizio 4

Si supponga che un individuo sia indifferente tra le lotterie

- X = (90,0;1/2)

- Y = 50.

Qual è il premio per il rischio della lotteria X e qual è l’atteggiamento nei confronti del rischio dell’individuo?

Esercizio 5

Un lavoratore avverso al rischio ha un impiego che gli garantisce un reddito certo pari a 100.

Il datore di lavoro gli fa una proposta alternativa di lavoro, che prevede uno stipendio variabile, pari a 60 nello

stato sfavorevole e a 140 in quello favorevole.

I due stati sono equiprobabili.

1. Quali sono le lotterie a disposizione del lavoratore e qual è la sua decisione?

2. Supponiamo che il lavoratore dica che è disposto ad accettare l’offerta solo se lo stipendio in caso di

insuccesso è almeno pari a 80. Qual è il premio per il rischio che il lavoratore attribuisce a quest’ultima

proposta?

ASSICURAZIONE

Vi sono vari tipi di eventi a cui è associata una perdita finanziaria.

Esempio: furto o rapina, incendio, malattia.

In alcuni di questi casi, gli individui possono eliminare o ridurre il rischio a cui sono esposti stipulando un

contratto assicurativo o polizza con una compagnia assicurativa che si impegna a risarcire la perdita.

Vediamo a quali condizioni ed in che misura un individuo avverso al rischio è disposto ad assicurarsi.

Situazione rischiosa: si può verificare un sinistro che provoca una perdita di ricchezza.

- W: ricchezza iniziale

- d: perdita (o danno) derivante dal sinistro

- π: probabilità dell’evento favorevole (stato 1)

- (1−π): probabilità del sinistro (stato 2)

La situazione rischiosa corrisponde alla lotteria X = (x1, x2)

- X1 = w

- X2 = w −d

Il valore atteso è πw + (1−π) (w −d) = w −(1−π) d

Cioè la ricchezza iniziale w meno la perdita attesa (1−π) d

Il contratto assicurativo

Il più semplice contratto assicurativo, o polizza, prevede:

- Una copertura, q

Risarcimento pagato dalla compagnia all’assicurato nel caso in cui si verifichi la perdita d

- Un premio assicurativo, p

Somma pagata dall’assicurato alla compagnia

Dal punto di vista dell’assicurato, la polizza q, p comporta le variazioni nette della ricchezza date dalla lotteria

Z = (−p, q−p)

La lotteria finale in caso di acquisto della polizza è Y = X + Z

Vediamo quali sono i principali tipi di contratto.

1. Contratto completo

La polizza completa d, p corrisponde alla lotteria Z = (−p, d −p)

Se l’individuo acquista la polizza ha a disposizione la lotteria Y = X + Z, cioè la lotteria Y = (y1, y2)

L’assicurato non sostiene alcun rischio e ha una ricchezza certa pari a w –p

2. Contratto a copertura parziale

Se la polizza prevede una copertura inferiore alla perdita, ciò se q < d, il contratto è a copertura parziale.

La polizza q, p corrisponde alla lotteria Z = (−p, q−p)

Se l’individuo acquista la polizza partecipa alla lotteria Y = X + Z, cioè alla lotteria Y = (y1, y2)

Con una polizza parziale l’assicurato sostiene una parte del rischio

3. Contratto equo

Calcoliamo il valore atteso di un contratto assicurativo Z = (−p, q−p)

E(Z) = π(−p) + (1−π)(q−p) = (1−π)q−p

4. Contratto sfavorevole

Il contratto è sfavorevole se E(Z) < 0, cioè se p > (1−π) q

Quindi il premio è maggiore del risarcimento atteso.

Esercizio 6

Avete appena acquistato un’auto nuova, spendendo 20.000 euro, e volete assicurare l’auto contro il furto e

l’incendio. La probabilità che si verifichi il sinistro è 5/1000.

Qual è il premio equo per una polizza che copre interamente la perdita?

Esercizio 7

Si consideri un in