Riassunto esame Teoria dei Giochi e delle Decisioni, prof. Bertini e Gambarelli, libro consigliato "Strategie: introduzione alla Teoria dei Giochi e delle Decisioni", Bertini, Gambarelli, Stach

GIOCHI IN FORMA NORMALE A SOMMA VARIABILE

Giochi in cui la somma dei pagamenti assegnati a tutti i giocatori da ogni possibile strategia non è nulla né anche costante (per questo motivo nella matrice dobbiamo scrivere i pagamenti di entrambi i giocatori). (+ vedi fogli esercizi e descrivi, punto per punto, come si risolve un gioco a somma variabile)

EQUILIBRIO DI NASH

Insieme di strategie adottate da tutti i giocatori per cui ogni giocatore non migliora il suo pagamento se la abbandona lui solo, mentre gli altri mantengono la loro.

DOMINANZA DI STRATEGIE/MOSSE

Una mossa ne domina un'altra se porta a dei pagamenti non inferiori all'altra in tutti i casi e in almeno un caso porta ad un pagamento maggiore.

MAX-MIN

Criterio decisionale pessimistico, che sceglie l'alternativa con il più alto valore fra i più bassi pagamenti possibili.

PUNTO DI SELLA

Coppia di strategie tali che il valore corrispondente al minimo pagamento per la

prima,coincide con il valore corrispondente al massimo pagamento per la seconda strategia.

5 SOLUZIONE COMPETITIVA CLASSICA DI NASH = è la coppia di pagamenti corrispondenti alle strategie competitive di Nash in un gioco bimatriciale. Risolvo con le formule dirette se vi sono due sole mosse per ogni giocatore, altrimenti con la P.L.

6 SOLUZIONE COOPERATIVA CLASSICA DI NASH (NTU) = è la soluzione ottenuta mediante tangenza tra la regione ammissibile e il fascio di iperboli equilatere riferite agli assi traslati con origine nella soluzione competitiva classica, posizionate nel primo quadrante.

7 FRONTIERA PARETO-OTTIMALE = è una frontiera tale per cui, in ciascuno dei suoi punti, un miglioramento del pagamento per un giocatore implica necessariamente un peggioramento per l'altro.

8 REGIONE AMMISSIBILE = insieme delle soluzioni ottenibili congiuntamente dai giocatori mediante strategie pure o miste.

9 SOLUZIONE COOPERATIVA CLASSICA DI NASH (TU) = è la

soluzione ottenuta mediante tangenza tra il fascio di iperboli riferite agli assi traslati con origine nella soluzione competitiva classica e la retta a -45 gradi rispetto all'asse x passante per il punto dell'insieme dei pagamenti avente massima la somma s delle coordinate. Quindi i due giocatori si accordano di utilizzare le strategie che massimizzano la somma totale dei pagamenti. In seguito il giocatore che viene avvantaggiato da quelle strategie compensa l'altro trasferendogli parte dell'utilità, fino a raggiungere la soluzione cooperativa TU.

1. SOLUZIONE COMPETITIVA CON MINACCIA DI NASH = è la coppia di pagamenti corrispondenti alle strategie che sono soluzione del gioco a somma zero ottenuto sostituendo ad ogni elemento della bimatrice la differenza delle sue componenti.
2. SOLUZIONE COOPERATIVA CON MINACCIA (NTU) = è la soluzione ottenuta mediante tangenza tra la regione ammissibile e il fascio di iperboli equilatere riferite agli assi.

traslati con origine nella soluzione competitiva con minaccia, posizionate nel primo quadrante.

Si tratta di una cooperazione forzata in cui ogni giocatore minaccia che, se l'altro non collaborerà, lui non userà la sua strategia prudenziale di maxmin, ma cercherà di danneggiare l'altro.

12 SOLUZIONE COOPERATIVA CON MINACCIA (TU) = è la soluzione ottenuta mediante tangenza tra il fascio di iperboli riferite agli assi traslati con origine nella soluzione competitiva con minaccia e la retta a -45 gradi rispetto all'asse x passante per il punto dell'insieme dei pagamenti avente massima la somma s delle coordinate.

Si tratta di una cooperazione forzata in cui ogni giocatore minaccia che, se l'altro non collaborerà, lui non userà la sua strategia prudenziale di maxmin, ma cercherà di danneggiare l'altro.

I due giocatori si accordano di utilizzare le strategie che massimizzano la somma totale dei pagamenti. In seguito

Il giocatore che viene avvantaggiato da quelle strategie compensa l'altro trasferendogli parte dell'utilità, fino a raggiungere la soluzione cooperativa con minaccia TU.

GIOCHI IN FORMA ESTESA

INFORMAZIONE PERFETTA = un gioco è a informazione perfetta se ogni giocatore, in ogni fase del gioco, conosce le precedenti scelte strategiche di tutti gli altri giocatori.

INFORMAZIONE IMPERFETTA = un gioco è a informazione imperfetta se uno o più giocatori, in una certa fase del gioco, non conosce le precedenti scelte strategiche degli altri giocatori.

INFORMAZIONE COMPLETA = un gioco è a informazione completa se ogni giocatore conosce le regole del gioco, le preferenze e i pagamenti di tutti i giocatori per ogni possibile risultato.

INFORMAZIONE INCOMPLETA = un gioco è a informazione incompleta se uno o più giocatori non conoscono le regole del gioco, le preferenze e i pagamenti di tutti i giocatori per ogni possibile risultato. Per questo il decisore

può possibile risultato. assegnare delle probabilità ai diversi tipi di gioco in cui è coinvolto.

RICORDO IMPERFETTO = un gioco è a ricordo imperfetto se un giocatore dimentica la mossa che lui ha effettuato in precedenza (gioco a ricordo imperfetto è anche a info imperfetta, non viceversa) (+ vedi fogli esercizi e descrivi, punto per punto, come si risolve un gioco in forma estesa)

4 GIOCHI IN FORMA CARATTERISTICA

Un gioco cooperativo è espresso in forma caratteristica v se ad ogni COALIZIONE S (= sottoinsieme dell'insieme N dei giocatori) è associato un numero reale v(S) (la vincita), con la convenzione che alla coalizione vuota è ∅ associata una vincita nulla: v(∅)=0. (+ vedi fogli esercizi e descrivi, punto per punto, come si risolve un gioco in forma caratteristica)

*1 SUPERADDITIVITÀ = è una possibile proprietà della funzione caratteristica, secondo cui la vincita dell'unione di ogni coppia di

coalizioni disgiunte è alla somma delle vincite di tali coalizioni.

SUBADDITIVITÀ = è una possibile proprietà della funzione caratteristica, secondo cui la vincita dell'unione di ogni coppia di coalizioni disgiunte è alla somma delle vincite di tali coalizioni.

ADDITIVITÀ = è una possibile proprietà della funzione caratteristica, secondo cui la vincita dell'unione di ogni coppia di coalizioni disgiunte è alla somma delle vincite di tali coalizioni.

GIOCO ESSENZIALE = gioco cooperativo in cui esiste almeno una coppia di coalizioni disgiunte che trae vantaggio dalla fusione.

GIOCO INESSENZIALE = gioco cooperativo in cui nessuna coalizione ha incentivo a fondersi con un'altra.

*2 IMPUTAZIONE = in un gioco cooperativo a n persone, un'imputazione è un vettore n-dimensionale in grado di soddisfare la razionalità individuale (cioè ad ogni giocatore non può essere dato meno di

Quanto otterrebbe giocando da solo) e la razionalità di gruppo/efficienza (cioè l'intera vincita del gruppo va suddivisa tra i suoi membri) e rappresenta una possibile ripartizione della vincita della coalizione globale.

I due principali concetti di soluzione basati sulla dominanza sono:

NUCLEO/CORE (Gillies)= insieme (eventualmente vuoto) delle imputazioni non dominate nessuna imputazione di un insieme stabile è dominata da un'altra di tale insieme. E per ogni imputazione non appartenente all'insieme stabile, ne esiste almeno una di tale insieme che la domina.

Visto che il nucleo e gli insiemi stabili non garantiscono esistenza e unicità della soluzione, si è reso necessario trovare una strada alternativa non basata sulle dominanze, cioè quella dei valori.

VALORE = vettore dei pagamenti attesi da tutti i giocatori, secondo un modello assiomatico e/o di contrattazione.

VALORE DI NASH = assegna ad ogni giocatore la sua vincita individuale, + un valore costante K. Non è però una soluzione soddisfacente perché ignora le vincite delle coalizioni che potrebbero essere determinanti.

VALORE DI SHAPLEY = assegna ad ogni giocatore una vincita che somma i contributi marginali, moltiplicati ciascuno per il rispettivo coefficiente di normalizzazione.

VALORE DI BANZHAF = assegna ad ogni giocatore una vincita che moltiplica il totale dei contributi marginali di ciascun giocatore per la vincita della coalizione globale diviso il totale dei contributi marginali.

SHAPLEY BANZHAF

Entrambi si basano sul CONTRIBUTO MARGINALE = dato dall'i-esimo giocatore alla coalizione S. Si tratta delle differenza fra la vincita v(S) e la vincita di S privata dell'i-esimo giocatore.

PERMUTAZIONI = la correzione del contributo STRUTTURA marginale dato a ciascun giocatore tiene conto COMBINAZIONI = contrario dell'ordine in cui i giocatori si sono

aggiuntia) efficienza l'intera vincita del gruppo va suddivisa tra i suoi membri b) uomo di paglia se un giocatore non dà alcun contributo a nessuna coalizione, non gli va assegnato nulla a) efficienza c) anonimato l'assegnazione del valore non deve dipendere dal modo in cui sono stati numerati i giocatori d) concordanza con il contributo d) additività se due giochi separati con gli stessi giocatori vengono fusi in un unico gioco, il valore assegnato a ciascun giocatore nel gioco unificato deve essere la somma dei valori assegnati a quel giocatore nei giochi componenti a) è imputazione per i giochi superadditivi a) è imputazione per i giochi PROPRIOETÀ b) appartiene al nucleo in tutti i giochi convessi superadditivi c) monotonicità APPLICAZIONI Adatto per previsioni Legge*6 NUCLEO = insieme delle soluzioni che minimizzano il massimo rimpianto di tutte le possibili.

coalizioni.

ASSIOMA il vettore dei pagamenti è non vuoto, compatto e convesso.→

5* GIOCO SEMPLICE = gioco la cui funzione caratteristica può assumere solo i valori 1 (coalizione vincente) e 0(coalizione perdente)

GIOCATORE CRUCIALE = in un gioco semplice, un giocatore è cruciale per una certa coalizione, se tale coalizione è vincente con lui e perdente senza di lui.

INDICI DI POTERE = i “valori” nei giochi semplici vengono chiamati indici di potere.

* GIOCO DI MAGGIORANZA PONDERATA = gioco semplice la cui funzione caratteristica è definita dai pesi dei giocatori e da una quota di maggioranza q. Ogni coalizione è vincente se la somma dei pesi dei suoi membri è non inferiore a q; altrimenti è perdente.

6TEORIA DELLE DECISIONITEORIA DELLE DECISIONI = scienza dei modelli matematici dei processi decisionali↓

DECIDERE = scegliere tra alternative che comportano conseguenze diverse.

ELEMENTI DEL PROBLEMA DI

DECISIONE↓DECISORE