Riassunto esame Matematica Generale, prof. Ravera

Matematica Generale

moda elementare

moda descrittiva

Dicasi sottinsieme ogni elemento contenuto in B che in A

Due insiemi vuoti quando non contano nulla

formiamo un'unione operazioni di unione

Intersezione

Differenza

Saranno affrontati nel campo degli insiemi numerici:

N numeri naturali {0, 1, 2, 3, 4} rappresentati da retta

infinito discreto

è possibile la somma e la moltiplicazione NO DIFFERENZA

Z numeri interi {-2, -1, 0, 1, 2} rappresentati da retta

infinito discreto

è possibile la somma e la moltiplicazione e la differenza

Q numeri razionali Q= _n/^d, n e d ∈ Z, d ≠ 0

rapporto

infinito non discreto denso tra due e un infinito frazioni

è possibile somma divisione moltiplicazione e differenza

le forme decimali può essere limitato (1.5) o illimitato 1.833, 1.429473...

R numeri reali infinito e continuo (più che denso)

Disequazioni

aX²+ bx + c ≤ 0 x ≥ a > 0 (eliminiati I grado)

x < a < 0 cambia segno di coefficienti e verso

assocare numeri in cui la Y ha segno implicito

y ₁ = aX²+ bx+c

Δ < 0 - intervalli

Δ > 0

x≥0

a2-bx-x≤0

∆=b2-4ac

x=−b±√∆/2a

V x ∈ R

V x ∈ R

a2≤bx≤2a

3x2-5x≤0

3x≤5x≤2

• x₁=3/2

[³⁄₂, 2]

• oppure

[−4, ³⁄₂]

la soluzione è un intervallo: chiuso aperto

Definizioni relative agli insiemi numerici (maggiorante, minorante, minimi, massimi)

Se A ammette almeno un numero maggiorante e almeno un numero minorante, e se c’è almeno un numero reale interno ad A, si dice che A è limitato.

Se A ammette maggioranti e minoranti ma non ammette nessun numero finito reale interno, è detto limitato superiormente e inferiormente.

Sia A={1,x∈R|1⪯x⪯2}.

Se x⪰x_i allora x è un maggiorante.

[1,3] x ∈ R

[³⁄₂, 2]

Se a ammette maggioranti e minoranti ma non ammette un numero finito minore di ogni elemento a ∈ A, allora è detto limitato.

Non è detto che A prenda sempre la forma minorante e maggiorante. E.g. [−1, ⁵⁄₃] non ha maggiorante.

[−∞, −²⁄₃] non ha minorante.

E’ detto massimo a∈A→[max(a)] e un numero reale tolto che è maggiore di A∈A∈P.

A={−³⁄₂, 1, 2}

x ⪯3/2

E detto minimo a∈A = minore di A e A ∈ P

x2−5x−³⁄₂⪚3

minore e minimo.

{⁻³⁄₂, −³⁄₂}

non e massimo e −³⁄₃ non e minimo.

E’ detto estremo superiore detto un estremo inferiore:

+∞xnon ammette maggioranti

[⁻³⁄₂, 1]

w cronico superiore [in questo caso limitato]

E estremo inferiore detto

−∞xnon ammette minori se non denominati minoranti e A ammette minoranti

massimi diventa minimo minore di minorante e A ammette minoranti

Esercizio: Considera A

A=

x⩽3

B=

∆=25-24=1

x₀=5±√5+x^−

x⩾1 V x⩽3

x₁=3/2 x=6

De=B∴3x

x⩾1

S=4x3x

3x⩽2 e x⩾2

S sia 5⪚9

x⩽2 e x⩾2

I₁

x⩽4⩽4Vx⩽4⩾

I₂={2,3}

[2,3]

max was.

sup I₁=infinito

I=1⟶∞

[ ] estremo compresi

[ ] per estermi

[ ] estremo non compresi

La trigonometria

OP = 1 circonferenza trigonometrica

r MOV= n antiorario e -x associati

Misura di archi e angoli in radianti e gradi.

Il valore della misura in radianti è unico e l’arco di circonferenza

è lungo un’area pari al raggio della circonferenza trigonometrica.

Il grado è 1/360 dell'angolo giro e la corrispondenza tra gradi e radianti:

• 0° x= 360° x 2π
• θ= 180° rad x : π
• θ= 360° rad x
• α= 270° rad x
• 0°= 0 rad 0
• φ= 180° rad π
• ϕ= 360° rad 2π
• φ= 270° rad 3/2 π

Seno e coseno relative funzioni

sin x = PP’ (1) (considera OP’)

cos x = OP’ (x)

OP^2 = PP’^2 + OP’^2

dove

1 = (sin x)² + (cos x)²

SENO

• f: R → R
• c.e. o → R
• imm: [-1, +1]

COSENO

• f: R → R
• c.e. o → R
• imm: [-1, +1]

TANGENTE

tan x = PP [oppure] sin x / cos x

AT: PP = OP: OP’

tan x : sin x : cos x : 1 : cos x

tan x . cos x = sin x

tan x = sin x / cos x

• f: R → R
• y = tg x
• c.e. x ∈ R π/2 x /=- kπ
• insieme di numeri reali ℝ

E periodo per π

Div x ∈ Z

Entambe le funzioni vanno da - ∞ a +∞

Sono periodiche

un periodo OTT; è limitato poci

range dell’immaginazione: [-1, +1]

Δ OFT = OP’

Formula:

• OB.-. OP
• OB = o . OP
• OB = cosa . OP
• OB = OC . OP
• OB = OC - OP’

Dal grafico si deduciamo anche f(-x) = e^-x

perché se è stata necessario un dopo rilettamento

primo attorno a x, secondo pi attorno a x, sinistra

stante trasformazione numerica per la riscrescita dei valori ampli

x₁

attenzione non è la stima cosa

come unione di y

in questo caso si rispettata all‟intera funzione

È il simmetrico di f(x) rispetto a

quando f(x)

trasformazioni geometriche elementari

1) traslazione lungo l‟asse x

y=f(x) y=f(x+c) a∈ℝ verso destra e a>0 e

a sinistra punti a x>0

2) traslazione lungo l‟asse y

verso l‟alto e positivo verso il basso e negative

lim g(x)^b: lim g(x)^c: log f(x)^a

lim g(x)^-: log f(x)⁰⁺

F.I. 0:0 g(x):0 log f(x):0

f(x):0

lim g(x): log f(x)

permettono di rompere il calcolo dei limiti, i singoli limiti altrimenti apparentemente del formse interamente definito.

lim f(x) apparente

il continuo della funzione anche in punti specifici nel loro intervallo.

Una funzione f detta di R -> R tale che y _x = f(x)

continua in x_o se

lim_x->x0 f(x)^c

lim f(x)

x appare f(x_s), il comune

non deve essere uguale al valore che hanno in quel punto.

f: R -> R γ_x x² - 1, x + 1

[grafico]

xc 0,1

x_o = 1

lim_x->x0 f(x)^c è continua

f è continua negli intervalli I e f continua su

[grafico]

lim f(x) = f(x)^c a

appartenenti agli intervalli.

Definiamo f se continua in x_o deve accadere che f è

lim f(x) = lim f(x)^c limite detro e sinistra devono essere finiti.

uguali tra loro, e il valore comune è proprio quello assunto da f(x_o).

Continuum della funzione

anche a una tale definita non è oscillatorio in f(x_s), implica una continuità che viene spesso dimostrata in più.

Capacità della funzione continua nel punto

f, g, h con volume -> derivata piccola di differenza tra le due è stata

a e una funzione anche un continua.

Le funzioni elementari apparente una continua nel loro campo di indefinizione (i radicali

con quadrabili pilvere esponenziali, equazioni traigonometricsi, funzioni di punto e C E).

Non bisogna perdere in considerazione che una funzione definita da

un'altra funzione continua definita in un intervallo breve [a;b].

a, b E R

a, b E

TEOREMA DI WEIERSTRASS

f(x) continua in un intervallo [a;b] allora f

ammette almeno una volta il valore minimo e massimo

TEOREMA DEI VALORI INTERMEDI

f continua in [a;b] allora f assume almeno una volta tutti i valori compresi tra il valore minimo e il valore massimo