vuoi
o PayPal
tutte le volte che vuoi
Proprietà dei limiti :
1)unicità del limite. Se il limite di una successione esiste, esso è unico.
2)Permanenza del segno, se a ≥0 per ogni n appartenente ai numeri naturali ela
n
successione ammette limite A allora a =A ≥0.
n
3)Criterio del confronto
{a },{ b } e{ c } a ≤b ≤c
Date tre successioni se
n n n n n n
a lim c A
=
n=¿ n
n→∞
lim ¿
n→∞ lim b n
Allora anche il = A.
n →∞
Una successione viene definita monotona (cioè crescente o decrescente) converge nel
lim a A
=
n
senso che il appartenente ad R oppure diverge nel senso che il limite è
n →∞
uguale a ±∞ ciò non può accadere che il limite non esista.
5)FUNZIONE
Definiamo funzione reale di una variabile reale una legge che associa ad ogni
elemento di un sottoinsieme X di R un solo elemento di R denotato con f(x) e chiamato
immagine di x mediante f. Dove la variabile x viene detta variabile indipendente,
mentre f(x) variabile dipendente.
Il grafico di una funzione è il sottoinsieme del piano costituito dai punti rappresentanti
da (x,f(x)) al variare di x in X.
Una funzione si dice superiormente limitata se esiste k appartenente ad R tale che si
verifichi: f(x)≤k per ogni x appartenente ad X
Viene definito massimo (o minimo ) assoluto se il numero f(x )=M o f(x )=m.
0 0
Consideriamo la funzione in X R e g:Y R. Se f(X)c Y resta definita hR mediante :
h(x)=g(f(x)). Essa si chiama funzione composta di g e f e si indica con gof che si legge
g composto f.
La funzione viene definita invertibile se per ogni y appartenente a f(X) esiste un unico
x appartenente ad X per cui f(x))=y. In questo caso è possibile tornare indietro senza
-1
ambiguità, cioè resta definita una funzione che indichiamo con f e ha come dominio
-1
f(X). f associa ad ogni y appartenente a f(X) l’unico x appartenente ad x per cui
-1 -1
f(x)=y, in formula f (y)=x con f(x)=y. f si definisce funzione inversa di f.
6)LIMITI
Un punto c si dice di accumulazione per l’insieme A se in ogni intorno di c vi è almeno
un punto A diverso da c.
Siano f:X R e x un punto di accumulazione per X . Si dice che il limite per x che tende
0
a x della funzione f è il numero l e si scrive:
0 lim f (x) =l
x → x 0
Se, preso comunque V, è possibile determinare un intorno u di x tale che per ogni x
0
appartenente ad U in X, si abbia f(x) appartenente a V.
U è composto da tutti gli elementi che compresi tra x -epsilon e x +epsilon.
0 0
Continuità
Si dice che una funzione f è continua in x se
0
- Esiste il limite di f x che tende a x 0
- Tale limite è proprio il valore della funzione in x ’0
Definiamo una funzione continua in un punto quando in quel punto coincide con il suo
limite, mentre si definisce continua in un intervallo quando è continua in ogni punto
dell’intervallo.
Teorema degli zeri
Se f(a) e f(b)<0 cioè i valori della funzione f agli estremi dell’intervallo sono di segno
opposto, allora f ha almeno uno zero in ]a,b[= x appartenente ad R con x compreso tra
a e b ossia esiste almeno un punto z nell’intervallo tale che la funzione assume un
valore pari a 0.
Teorema dei valor intermedi
Se f(a)< f(b) e λ allora esiste almeno un punto z nell’intervallo tale chef(z)= λ assume
tutti i valori compresi tra la f(a) e f(b).
Teorema di Weierstrass
Se f è continua in un intervallo chiuso e limitato[a.b] allora ammette sia il massimo sia
il minimo cioè esistono x ,x appartenenti ad [a,b]per cui:
1 2 m=f(x )≤ f(x)≤ f(x )=M
1 2
Notiamo che mentre il valore massimo e il valore minimo sono univi i punti di massimo
e minimo assoluti possono essere molti.
7)DERIVABILITA’
Siano f:]a,b[ R e x appartenente all’intervallo. Si chiama rapporto incrementale di f,
0
relativo al punto di x il rapporto indicato con
0
f x x
( )−f ( )
Δ f 0
=
Δx x−x 0
Esso rappresenta il tasso medio di variazione di f relativo ad un intorno di x .
0
f x
( )−f (x )
0
lim x−x
x → x 0
0
In questo caso tale limite si chiama derivata di f in x e si indica con f’(x ).
0 0
La derivata rappresenta il tasso di variazione puntuale di f in x .
0
Punto di massimo (o minimo)
Siano f:]a,b[ R e x appartenente ad ]a,b[. Diremo che x è un punto di
0 0
massimo(minimo) relativo per f se esiste un intorno U di x tale che f(x)≤f(x ) per ogni
0 0
x appartenente ad U.
Se la prima derivata diversa da zero è di ordine pari ed è positiva avremo un minimo,
se e' negativa un massimo;
Teorema di Fermat
Sia x appartenente ad ]a,b[ un punto di massimo relativo in cui f è derivabile allora
0
f’(x )=0 (si dice che x è un punto stazionario).
0 0
Preso un intervallo chiuso ]a,b[ si dice punto di massimo relativo i valori assunti da x 0
nell’intervallo.
Teorema di Rolle
Se f è continua in ]a,b[ e derivabile in ]a,b[ con f(a)=f(b) allora esiste z appartenente
all’intervallo tale che f’(z)=0.
Teorema di Lagrange(o valor medio)
Sia f continua in ]a,b[ e derivabile nell’intervallo allora esisterà uno z nell’intervallo
tale che f b a
( )−f ( )
f’(z) = b−a
Primo test di riconoscimento dei punti stazionari
Sia f una funzione derivabile su ]a,b[ un punto stazionario cioè f’(x )=0. Se in un
0
intorno sinistro di x risulta f’(x)≥0 e in un intorno destro di x risulta f’(x)≤0 allora x è
0 0 0
di massimo relativo.
Teorema di De Hopital
Siano f e g definite in un intorno U di x tali che i limiti di f(x) e g(x) siano uguali a 0 o
0
infinito, siano f e g derivabili in U con la derivata prima di g diversa da 0 per ogni x
diverso da x , allora esisterà il limite di xx del rapporto delle derivate di f(x) e
0 0
g(x),quindi si concluderà che il limite del rapporto delle due funzioni con xx sarà
0
uguale al rapporto delle derivate delle due funzioni .
Infinitesimi e infiniti ∞
Dati f e g con limite di x-->x f(x) = lim di xx di g(x)=0 (o ). Consideriamo il
0 0
f x)
(
lim g (x)
x → x 0
Se tale limite è 0 diremo che f è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a
g per x che tende x 0.
(g invece verrà definito come infinito di ordine superiore rispetto ad f).
∞
Se tale limite è diremo che g è un infinitesimo di ordine superiore
rispetto a f per x che tende a x .
0
∞
(se tale limite è diremo che f è un infinito di ordine superiore rispetto a
g) l≠ 0
Se tale limite è diremo che f e g sono dello stesso ordine di
infinitesimo
Se tale limite non esiste diremo che gli infinitesimi non sono confrontabili.
Formula di Taylor
Sia f:]a,b[ R derivabile n volte in x appartenente all’intervallo allora il seguente
0
polinomio detto polinomio di Taylor di grado n relativo al centro x 0
È l’unico polinomio di grado n tale che
R (x) =f(x)-P (x) è un infinitesimo di ordine superiore
Cioè tale che l’errore n n
n
rispetto a (x-x ) per x che tende a x .
0 0
Secondo test di riconoscimento dei punti stazionari
Sia f una funzione derivabile due volte in x appartenente all’intervallo ]a,b[ con
0
f’(x)=0, ser risulta f’’(x)>0 sia ha che x è un punto di minimo relativo.
0
Convessità( o concavità)
I contenuto in R si dice un intervallo se x e x appartengono all’intervallo e inoltre per
1 2
ogni t appartenente all’intervallo [0,1] risulta tx +(1-t)x appartenenti ad I, cioè[x ,x ]
1 2 1 2
è contenuto in I.
La f è concava se la derivata prima se è maggiore di zero, mentre è concava se è
minore di zero.
Se la prima derivata diversa da zero è di ordine dispari ed è positiva avremo un flesso
ascendente, se e' negativa un flesso discendente.
X appartenente ad I viene detto punto di flesso per f se la funzione cambia concavità ,
0
cioè da concava diventa convessa o viceversa.
Se x è un punto di flesso per f allora dev’essere f’’(x )=0.
0 0
8)INTEGRALI
Il calcolo integrale è nato dall’esigenza di calcolare l’area di regioni del piano dai
contorni curvilinei.
Il problema delle aree è uno dei tre grandi problemi che ci sono stati tramandati dagli
antichi:
si tratta del problema della quadratura del cerchio o meglio della rettificazione della
circonferenza: trovare il lato di un quadrato che abbia la stessa area di un cerchio
dato.
in pratica si tratta di trovare l'area di una regione di piano compresa all'interno di una
curva;
Data:
y=f(x) [a,b]
1) F è limitata superiormente e inferiormente quando esiste l,L appartenente ad R
tale che la l <f(x)<L
2)f(x)≥0 per ogni x appartenente all’intervallo [a,b]
(Gli altri due problemi erano
• Trisezione di un angolo: dividere un angolo in tre parti uguali
• Duplicazione del cubo: trovare il lato di un cubo tale che il suo volume sia doppio del volume di un
cubo dato)
Vogliamo trovare l'area del trapezoide.
Dividiamo la base ab e la suddividiamo in sotto intervalli, dove
x =a mentre x =b considerando tanti rettangoli, aventi come
0 n
base questi intervalli e come altezza il minimo della funzione in
questi intervalli.
In questo intervallo a,b troviamo punti come x ,x ,x ,…x , x
1 2 3 i-1 i.
In un sotto intervallo sarà sicuramente presente un numero che, fisseremo e,
chiameremo t .
i
Ho indicato solamente i primi rettangoli e l'ultimo, ma tu devi considerarli anche in
mezzo.
L'area di tutti i rettangoli sarà minore dell'area del trapezoide
Però se prendo intervalli più corti la somma delle aree dei rettangoli si avvicina sempre
di più all'area del trapezoide.
(Ricordiamo che l’ x - x rappresenta l’ampiezza dell’intervallo. Mentre indichiamo
i-1 i
l’altezza con f(t ) )
i .
t 1
f ¿ ) (x – x )
n i i -1
∑ ¿
i=1
Questa somma dipende da tutti gli intervalli compresi tra [a,b](dal numero di
intervallini)
t è il numero nell’intervallo( x , x )
i i – 1 i
t i b
∫
f f x dx
( )
(¿¿)(x −x )=
i i−1 a
n
Se esiste ed è finito ∑ ¿
i=1
lim &iq
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
