Riassunto esame Matematica Generale, prof. De Sanctis

Matematica generale

Vettori

Definiamo vettore di dimensione n, con n appartenente ai numeri naturali e diverso da zero, una enupla ordinata di numeri reali: X=(x₁, x₂, ..., x_m). Gli stessi elementi, detti componenti del vettore, appartengono all'insieme dei numeri reali.

Gli elementi contenuti nel vettore stabiliscono la dimensione. Nel caso di: x=(x₁, x₂) la dimensione è 2.

Viene definita somma di due vettori il vettore di dimensione x+y=(x₁+y₁, x₂+y₂, ...), costituito dalla somma degli elementi sia del vettore x che del vettore y. Tale operazione possiede le seguenti proprietà:

• Commutativa: x+y=y+x per ogni x,y appartenenti ad ℝ
• Associativa: (x+y)+z=x+(y+z)
• Se 0 è il vettore con componenti tutte nulle, detto vettore nullo, risulta: x+0=x per ogni x appartenente ad ℝ
• Se –x è il vettore ottenuto da x cambiando il segno dei componenti del vettore si ha: x+(-x)=0 per ogni x appartenente ad ℝ

Se c e n appartengono ad ℝ, cx è il vettore di dimensione n ottenuto moltiplicando ogni componente di x per c: cx=(cx₁, cx₂, ...).

Si definisce combinazione lineare dei vettori, il vettore costituito dai coefficienti c₁, c₂, ... moltiplicati per gli elementi del vettore.

Dipendenza lineare

Si definisce dipendenza lineare se k vettori, x₁, x₂, ..., x_k appartenenti ad ℝ sono linearmente dipendenti se uno di essi può essere espresso come combinazione lineare degli altri. Sono dipendenti se sono l'uno multiplo dell'altro, 2x₁ = c₁x₁ per qualche c₁ appartenente ad ℝ. In caso contrario, si definiscono linearmente indipendenti.

Matrici

Blocchi di vettori distribuiti per righe (m) e colonne (n) vengono definiti matrici. Per brevità la si indica con A=[a_rs] intendendo a_rs l'elemento generico della matrice che occupa l'erresima riga e l'essesima colonna.

Prodotto tra matrici

Definiamo prodotto tra matrici, il prodotto tra la matrice A=[a_rs] di ordine mxn e B=[b_rs] di ordine mxn, dove la matrice prodotto sarà costituita dalla somma dei prodotti degli elementi dell'r-esima riga della matrice A per gli elementi della t-esima colonna B.

Per il prodotto tra matrici non vale la proprietà commutativa ma la:

• Associativa: (AB)C=A(BC)
• Distributiva rispetto all'addizione: A(B+C)=AB+AC; (B+C)A=BA+CA; c(AB)=(cA)B=A(cB) per ogni c appartenente ad ℝ
• Se O è la matrice con elementi tutti nulli si ha: AO=O; OA=O

Matrice trasposta

Chiamiamo matrice trasposta di una matrice A di ordine mxn la matrice di ordine nxm ottenuta da A scambiando nell'ordine le righe con le colonne e la denotiamo con A^T. Risulta: (AB)^T = B^TA^T. La matrice trasposta si ottiene scambiando le righe con le colonne della stessa matrice. Vale a dire la prima colonna diventa la prima riga, per esempio:

1  0  1  0
-1  2  -1 
0  3  0  3

Matrici quadrate

Le matrici che possiedono un ugual numero di righe e colonne vengono definite quadrate. Definiamo complemento algebrico di una matrice il numero A_rs=(-1)^r+s M_rs, dove M_rs è il determinante della matrice di ordine n ottenuto sopprimendo l'erresima riga e l'essesima colonna.

Esempio:

1  0
-1  2

1 1 A =  il complemento algebrico è -10

Determinante di una matrice quadrata

Definiamo determinante di una matrice quadrata la somma dei prodotti degli elementi della prima riga per i rispettivi complementi algebrici. La regola di Sarrus vale solo nel caso delle matrici di ordine 3x3.

Matrice aggiunta

Esempio:

(x1  x2)
(-1)1+1 (-1)1+2
(-1)2+1 (-1)2+2

(-1)  -2 
1    1
x2  x1
-1   -1
(-1)1

Nota: la "x" in questo caso è indicata come il segno di moltiplicazione! Il termine (-1) nella posizione prima riga prima colonna è elevato alla (1+1) [prima riga prima colonna], nella prima riga seconda colonna è elevato alla (1+2) [prima riga seconda colonna], nella seconda riga prima colonna è elevato a (2+1) [seconda riga prima colonna] e nell'ultima posizione è elevato a (2+2) [seconda riga seconda colonna]. Il (-1) è fisso ma dev'essere elevato alla posizione dell'elemento che andiamo a cancellare! Esempio: nella posizione 1+1 cancelliamo la riga e la colonna di cui l'(1) fa parte. Il restante, tenendo sempre questo caso, è -1 quindi nella prima posizione il (-1) fisso dovrà essere elevato alla prima riga e prima colonna, poiché abbiamo cancellato l'1 presente nella matrice, e moltiplicato per l'elemento -1 perché è l'elemento che rimane nella matrice.

Per il calcolo dell'inversa basterà inserire il determinante come denominatore agli elementi della matrice aggiunta e verrà indicata con A^-1.

Minore di ordine K

Definiamo minore di ordine K, di A il determinante di una sottomatrice quadrata di ordine k estraibile da A. Il rango è: se il determinante della matrice è uguale a zero, dobbiamo prendere la sottomatrice nel caso di una matrice 3x3, la sottomatrice sarà una 2x2 e se il suo determinante sarà diverso da zero diremo che il rango è uguale a 2, in caso contrario prenderemo una 1x1 e in quel caso il rango sarà uguale a 1. In terminologia diremo che il rango è l'ordine massimo dei suoi minori non nulli e lo identifichiamo con r(A).

Sistemi lineari

Chiamiamo matrice completa di A la matrice ottenuta accostando la colonna dei termini noti. Essa è denotata con [A;b].

Dal teorema di Rouché-Capelli il sistema lineare Ax=b ammette soluzioni se e solo se r(A)=r(A;b), il rango della matrice A è uguale al rango della matrice completa!

Un sistema lineare di n equazioni in n incognite, ammette un unico vettore soluzione se e solo se il determinante...