Matematica generale - Riassunto esame, prof. Baccarin

Capitolo 1 - Disequazioni

Capitolo 1 - Disequazioni

Def.: una disequazione è una disuguaglianza tra due espressioni contenenti una o più incognite

A(x) B(x)

≥

A(x) B(x)

≤

Le soluzioni di una disequazione sono date dal valore dell'incognita che rendono vera la disuguaglianza; due

disequazioni si dicono equivalenti se ammettono le stesse soluzioni.

Principi:

• A(x) > B(x) = A(x) + C(x) > B(x) + C(x) : aggiungendo o togliendo una costante ad entrambi i membri di

una disequazione si ottiene una disequazione equivalente a quella data.

• A(x) > B(x) = c [A(x)] > c [B(x)] se c > 0

A(x) > B(x) = c [A(x)] < c [B(x)] se c < 0: moltiplicando o dividendo per una costante entrambi i membri

di una disequazione si ottiene una disequazione equivalente a quella data se la costante è positiva, mentre

si ottiene una disequazione equivalente a quella data con verso rovesciato se la costante è negativa.

Le disequazioni si dividono in:

DISEQUAZIONI RAZIONALI INTERE DI PRIMO GRADO

Forma canonica: ax + b 0 ax + b 0 con a > 0

≥ ≤

3x - 12 > 0 -3x - 12 > 0

3x > 12 -3x > 12

x > 4 x < -4

DISEQUAZIONI RAZIONALI INTERE DI SECONDO GRADO

Forma canonica: ax² + bx + c 0 ax² + bx + c 0 con a > 0

≥ ≤

Per risolvere una disequazione di secondo grado si considera l'equazione ad essa associata e si ricavano le due

soluzioni x e x

±√

1 2

= = b² - 4ac

∆

Se > 0 abbiamo 2 soluzioni distinte x e x

∆ 1 2

Se = 0 abbiamo due soluzioni coincidenti (quindi un'unica soluzione x )

∆ 1

Se < 0 non abbiamo soluzioni e dobbiamo considerare il segno della disequazione e di a

∆

Tutti i casi:

• > 0, a > 0, segno della disequazione >: soluzioni esterne con estremi non compresi (x< x V x > x )

∆ 1 2

• > 0, a > 0, segno della disequazione soluzioni esterne con estremi compresi (x x V x x )

∆ ≥: ≤ ≥

1 2

• > 0, a > 0, segno della disequazione <: soluzioni interne con estremi non compresi (x < x < x )

∆ 1 2

• > 0, a > 0, segno della disequazione soluzioni interne con estremi compresi (x x x )

∆ ≤: ≤ ≤

1 2

ax² + bx + c > 0 per x < x V x > x

1 2

ax² + bx + c < 0 per x < x< x

1 2

ax² + bx + c = 0 per x = x ,x

1 2

• > 0, a < 0, segno della disequazione >: soluzioni interne con estremi non compresi (x < x < x )

∆ 1 2

• > 0, a < 0, segno della disequazione soluzioni interne con estremi compresi (x x x )

∆ ≥: ≤ ≤

1 2

• > 0, a < 0, segno della disequazione <: soluzioni esterne con estremi non compresi (x< x V x > x )

∆ 1 2

• V x x )

> 0, a < 0, segno della disequazione soluzioni esterne con estremi compresi (x x ≥

∆ ≤: ≤ 1 2

1 Capitolo 1 - Disequazioni

ax² + bx + c > 0 per x < x < x

1 2

ax² + bx + c < 0 per x < x V x < x

1 2

ax² + bx + c = 0 per x = x ,x

1 2

∀x ℝ

• = 0, a > 0, segno della disequazione > : con x x

∆ Є ≠

∀x ℝ 1

• = 0, a > 0, segno della disequazione :

∆ ≥ Є

• = 0, a > 0, segno della disequazione : x = x

∆ ≤ 1

• = 0, a > 0, segno della disequazione < : nessuna x

∆ Є ∀x ℝ

ax² + bx + c > 0 per Є ℝ

ax² + bx + c < 0 per nessuna x Є

ax² + bx + c = 0 per x = x 1

ℝ

• = 0, a < 0, segno della disequazione > : nessuna x

∆ Є

• = 0, a < 0, segno della disequazione : x = x

∆ ≥ ∀x ℝ

1

• = 0, a < 0, segno della disequazione :

∆ ≤ Є

∀x

• = 0, a < 0, segno della disequazione < : con x x

∆ Є ≠ 1 ℝ

ax² + bx + c > 0 per nessuna x Є

∀x ℝ

ax² + bx + c < 0 per Є

ax² + bx + c = 0 per x = x 1

ℝ

• < 0, a < 0, segno della disequazione > : nessuna x

∆ Є

∀x ℝ

• < 0, a < 0, segno della disequazione < :

∆ Є

∀x ℝ

• < 0, a > 0, segno della disequazione > :

∆ Є ℝ

• < 0, a > 0, segno della disequazione < : nessuna x

∆ Є

∀x ℝ

ax² + bx + c > 0 per Є ℝ

ax² + bx + c < 0 per nessuna x Є ℝ

ax² + bx + c = 0 per nessuna x Є

ℝ

ax² + bx + c > 0 nessuna x Є

∀x ℝ

ax² + bx + c < 0 per Є ℝ

ax² + bx + c = 0 per nessuna x Є

2 Capitolo 1 - Disequazioni

DISEQUAZIONI RAZIONALI FRATTE

Def.: Sono quelle in cui l'incognita compare a denominatore di una frazione.

Forma canonica: 0 0

≥ ≤

Per risolverla si pongono il numeratore e il denominatore o > a 0 (il denominatore sempre > 0 poiché una

≥

frazione con denominatore nullo non ha significato) e si devono innanzitutto scartare quei valori di x per cui la

disequazione non ha valore: B(x) 0.

≠

Dopodiché si studia il segno di numeratore e denominatore attraverso la "regola

" regola dei segni":

segni

> 0

2 4 0

3 0 3

N: 2 4 0 2

D: " 3 # 2 3 4.

Allo stesso modo si risolve una disequazione del tipo

SISTEMI DI DISEQUAZIONI

Def.: Insieme di due o più disequazioni che devono essere verificate simultaneamente.

3 0 3

² 3 10 " 0 2 " " 5

2 " " 5

A differenza delle disequazioni fratte, per i sistemi di disequazioni non si utilizza la "regola dei segni" ma si

prende la parte comune, ovvero la parte di soluzioni in cui entrambe le disequazioni in questione sono verifica-

verific

te (dove ci sono sempre linee continue, come nel grafico).

DISEQUAZIONI CON VALORE ASSOLUTO

Def.: sono quelle disequazioni contenenti il valore assoluto di una o

più espressioni.

|| () * 0 |+

| = + ∀: + * 0

= () " 0 + ∀: + " 0 ∀

La funzione con valore assoluto segue il grafico qui a fianco ed è positiva

∈

Esempio: |x + 4| < 1

4 () 4 * 0 ./0120 () * 4 4

- 4 () 4 " 0 ./0120 () " 4

|x + 4| =

4 è il valore che divide i due intervalli in corrispondenza dei quali la disequazione cambia segno; si può, quin-

qui

di, formare due sistemi:

* 4 " 4

4 4

3 3

4 " 1 4 " 1

3 Capitolo 1 - Disequazioni

* 4 " 4

4 4

3 3

" 3 5

4 6 " 3 5 " " 4

- 5 < x < - 3

DISEQUAZIONI IRRAZIONALI

Def.: disequazioni nelle quali l'incognita compare sotto il segno di radice

78

Se B(x)

≥

A(x) 0 A(x) [B(x)]

[B(x)]²

≥ ≥

B(x) < 0 B(x) 0

≥

Innanzitutto è necessario porre A(x) 0 che è la condizione necessa-

≥

ria per l'esistenza della radice, poi se B(x) < 0 la disequazione è veri-

ver

ficata poiché una quantità negativa è sempre minore di una quantità

positiva o nulla (il che ci porta al primo sistema).

Inoltre, se B(x) 0 è possibile elevare entrambi i membri alle secon-

seco

≥

da (il che ci porta al secondo sistema).

78

Se invece B(x)

≤

A(x) 0

≥

B(x) 0

≥

A(x) [B(x)]²

≤

Innanzitutto A(x) deve essere 0 (condizione di esistenza della radice)

radice e anche B(x) deve essere 0 perché la

≥ ≥

radice è sicuramente positiva o nulla e per essere soddisfatta anche il secondo membro deve essere 0.

≥

√

Data la disequazione x - 3:

≥

x 0 x (x - 3)²

≥ ≥

x - 3 < 0 x - 3 0

≥

x 0 x x² + 9 - 6x

≥ ≥

x < 3 x 3

≥

x² - 7x + 9 0

≤

9±√:; 9

9± √= 9√= 9√= 9√ =

x = = = x

≤ ≤

9√= 9√=

Soluzione I sistema: 0 x < 3 Soluzione II sistema: 3 x <

≤ ≤ 9√=

Unendo le due soluzioni si ottiene la soluzione della disequazione di partenza: 0 x

≤ ≤

3

√3

Data la disequazione x + 3

3:

≤

3 3 * 0 4

3 * 0

<

3 3 6 3

x 1

≥ 4 Capitolo 1 - Disequazioni

x - 3

≥

3x - 3 x² + 9 + 6x

≤

x² + 3x + 12 0

≥

±√:> ∀ ∈

=

x = sempre verificata per

Il grafico delle soluzioni è pertanto:

x 1

≥

DISEQUAZIONI LOGARITMICHE

Def.: il logaritmo in base a di b (log b) è l'esponente da elevare alla base per avere il suo argomento.

a

c 3

log b = c a = b log 8 = 3 2 = 8

a 2

b 3

log a = b log 2 = 3

a 2

log b log 3 =

a = b 2 8

a 2

I logaritmi godono di alcune proprietà:

?@A ∀ 0,

(i) 1 = 0 a 1

≠

?@A ?@A ?@A ∙

(ii) + y = x y

CDE

?@A ?@A F

CDE G

(iii) - y = F

?@A ?@A

G

(iv) = y x

CDE I

?@A H

CDE J

(v) b = a, c 1, a, b, c > 0

≠

H

Def.: le disequazioni logaritmiche sono quelle disequazioni nelle quali l'incognita compare nell'argomento di

un logaritmo.

La funzione logaritmica segue il seguente grafico:

Se a > 1 all'aumentare della x anche la y aumenta.

lim log =

→ ∞ ∞

Per x che tende a 0, invece, la y diminuisce.

lim log =

→ T U ∞

Se 0 < a < 1 all'aumentare della x la y diminuisce.

lim log =

→ ∞ ∞

Per x che tende a 0, invece, la y aumenta.

lim log =

→ T U ∞

?@A

K x < - 4

=

?@A ?@A L M

K K

x <

?@A ?@A

K K 4

x < 2

?@A ?@A

K K

x < 16

x > 16

Si cambia il segno perché 0 < a < 1

?@A > 3

?@A ?@A 2

>

x > 8

Non si cambia il segno perché a > 1

5 Capitolo 1 - Disequazioni

DISEQUAZIONI ESPONENZIALI

Le potenze godono di alcune proprietà:

V ∙ V V

W X WX

(i) =

Y V WX

Z

(ii) =

V V V

W X W∙X X∙W

(iii) = =

∙ [ a ∙ b

V W W W

=

(iv) Y

Y

(v)

Def.: sono quelle disequazioni nelle quali l'incognita compare ad esponente di una certa espressione.

V V 0, ∈

Forma canonica:

La funzione esponenziale segue il seguente grafico:

Se a > 1 all'aumentare di x anche y aumenta.

lim V =

→ ∞ ∞ 0

Per x che tende a -∞,

, y si avvicina sempre di più a .

lim V = 0

→ ∞ 0

Se 0 < a < 1 all'aumentare di x, y tende a .

lim V = 0

→ ∞

=

L M < 16

= =

L M L M

<

4

Si cambia il segno perché 0 < a < 1

4 4

=

+ - 1 < 0

4 ∙ 4 4

+ - 1 < 0

4

Se poniamo z = la disequazione diventa una semplice disequazione di secondo grado:

4_ _ 1 < 0

=±√=9

_= > =

=√=9 =√=9

> >

z

< <

=√=9 = √=9

4

> >

< < =√=9

>

La prima parte è sempre verificata in quanto è una quantità negativa e una quantità negativa è sempre

minore di una quantità positiva. Per la seconda parte invece applichiamo il logaritmo ad entrambi i membri:

1 √17

" log 8

2 3

= =

>

log 2 log 3

= =

>

1 log 2 1 log 3

>

log 2 log 2 log 3 log 3

>

log 2 log 3 log 2 log 3

>

log 2 log 3 log 2 log 3

log 2 log 3

>

log 2 log 3

6 Capitolo 2 - Insiemi e logica

Capitolo 2 - Insiemi e logica

Def.: un insieme è una classe di elementi individuati in base ad una determinata specificazione.

, 2,

, , … 4, 6, 8, 10

Essi possono essere classificati in tre modi:

, 5

1. elencando i suoi elementi: A = oppure B =

2. indicando una proprietà caratterizzante: A = B =

3. diagrammi di Venn

Solitamente gli insiemi si indicano con lettere maiuscole (A, B, C, ...) mentre gli elementi di un insieme si in-

∈ ,

dicano con lettere minuscole (a, b, c, ...).

∉ A.

Per dire che un elemento appartiene ad un insieme si scrive mentre per dire che un elemento non appar-

∅.

tiene ad un insieme si scrive

In ogni insieme, inoltre, esiste sempre l'insieme vuoto che si indica con il simbolo

Proprietà degli insiemi:

• ⊆

due insiemi si dicono uguali (A = B) se hanno gli stessi elementi

0, 0,

1, 2 1, 2

• ⊆

relazione di inclusione: A B (A è sottoinsieme di B) quando ogni elemento di

⊂

A è anche elemento di B A = B = A B

• relazione di inclusione in senso stretto: A B (A è sottoinsieme proprio di B)

quando ogni elemento di A è anche elemento di B ma esiste almeno un elemento

0, 0,

1, 2 1, 2, 3

di B che non è elemento di A

A = B =

#(A).

Def.: Si definisce insieme delle parti di A l'insieme costituito da tutti i possibili sottoinsiemi di A (si indica

1, 1, 2, 3, 1, 1, 2, 1,

2, 3 #() 2, 3, 3, 2, 3'

&∅,

con

2 (

Ad esempio, dato A = si ha che = che è formato da

= 8 elementi.

OPERAZIONI TRA INSIEMI ∩

• INTERSEZIONE: si scrive A B ed è l'insieme di tutti gli elementi

*:

∩ * ∈ , - * ∈ .

che appartengono sia ad A che a B.

A B =

∩ ∅

Se A B = allora si dice che A e B sono disgiunti, ovvero non han-

no elementi in comune. ⊆

∩

⊆ ∩

Teorema: Si ha A B = A se e solo se A B.

∩ ⊆ ∈ ∩ ∈

Dim. "Se": Sia A B, vogliamo dimostrare che A B = A

∩ ⊆

Consideriamo A B A: questa inclusione è vera poiché se x A B, per definizione, x sia ad A

⊆ ∩ ∈ ⊆ ∈

che a B, quindi A B A.

⊆ ∩

Consideriamo A A B: sia x A, poiché per ipotesi A B allora x anche a B, perciò vale l'in-

∩ ⊆ ∈ ∈

clusione A A B

∈ ∩ ∈ ∩ ∈

"Solo se": Sia A B = A, vogliamo dimostrare che A B, ovvero che x A e x B.

Sia x A, allora (dato che A B = A) x A B; quindi x B.

∪

• UNIONE: si scrive A B ed è l'insieme di tutti gli elementi che appar-

*:

∪ * ∈ , 01123- * ∈ .

tengono sia ad A che a B.

0, 0,

1, 2 1, 2, 3, 4

A B = 0,

∪ 1, 2, 3, 4

Ad esempio, dati A = e B =

A B =

Si può notare che possono esserci elementi che appartengono sia ad A

⊆ ∪ ⊆ ∪ ∩ ⊆ ∪

che a B (a meno che questi non siano disgiunti).

A A B e B A B da cui consegue A B A B.

• DIFFERENZA: si scrive A \ B ed è l'insieme degli elementi di A che

*: * ∈ , - * ∉ .

non appartengono a B ⊆

A \ B = ∅

Se A e B sono disgiunti allora A \ B = A e B \ A = B; inoltre se A B

allora A \ B =

7 Capitolo 2 - Insiemi e logica

4

• INSIEME COMPLEMENTARE: si indica con ed è l'insieme di tutti

*:

, * ∈ 6, * ∉ ,

5

gli elementi che non appartengono ad A.

=

Per insieme S si intende l'insieme spazio, ovvero l'insieme generale di ri-

( )

4 4

ferimento o insieme universale.

( )

∪ = 8

4

= A

( )

∩ = ∅

4

PROPRIETA' DELLE OPERAZIONI TRA INSIEMI

∪ =

∩ =

• idempotenza: ∪ 9 = 9 ∪

∩9 =9∩

• commutativa: (9 (

∪ ∪ :) = ∪ 9) ∪ :

(9 (

∩ ∩ :) = ∩ 9) ∩ :

• associativa: (9 (

∩ ∪ :) = ∩ 9) ∪ ( ∩ :)

• distributiva:

(9 (

∩ ∪ :) ⊆ ∩ 9) ∪ ( ∩ :)

Dim. Bisogna considerare le due diverse inclusioni:

(9

∩ ∪ :)

1. ( (9 (

∩ 9) ∪ ( ∩ :) ∩ ∪ :) ⊆ ∩ 9) ∪ ( ∩

Se x significa che x A e x B oppure x C, ovvero x A e x B oppure x

Є Є Є Є Є Є

:)

A e x C; di conseguenza x quindi

Є Є Є

( (9

∩ 9) ∪ ( ∩ :) ⊆ ∩ ∪ :)

(9

( ∩ 9) ∪ ( ∩ :) ⊆ ∩ ∪ :)

( ∩ 9) ∪ ( ∩ :) ∩

2. (9 ( (9

∪ :), ∩ 9) ∪ ( ∩ :) ⊆ ∩ ∪ :)

Se x allora x A e x B oppure x A e x C, ovvero x

Є Є Є Є Є Є

quindi

(9 (

∪ ∩ :) = ∪ 9) ∩ ( ∪ :)

( ∪ 9) = ∩ 9

; ; ;

• leggi di De Morgan:

( ∪ 9) ⊆ ∩ 9

; ; ;

Dim. Come sempre bisogna considerare separatamente le due distinte inclusioni:

( ∪ 9)

; ;

1. 9 ∩ 9

; ; ;

Se x allora x non appartiene ne ad A ne a B, ovvero x appartiene sia ad che a

Є

∩ 9 ⊆ ( ∪ 9)

; ; ;

; quindi x Є

∩ 9

; ;

2. ( ∪ 9) ;

Se x allora x non appartiene ne ad A ne a B e, di conseguenza, nemmeno alla loro

Є

unione, quindi x Є

( ∩ 9) = ∪ 9

; ; ;

PRODOTTO CARTESIANO TRA DUE INSIEMI

×

Dati due insiemi A e B si dice prodotto cartesiano di A B l'insieme delle coppie ordinate (a, b): a A e b

Є Є

1, 2, 3

B 3, 4, 5

A = (1, (1, (1, (2, (2, (2, (3, (3,

3), 4), 5), 3), 4), 5), 3), 4), (3, 5)

B =

A x B =

=

Se A B allora A x B B x A

≠ ≠

Se A = B allora A x B = A x A = ℝ ℝ.

Ad esempio, i punti del piano cartesiano sono elementi di x

8 C