Matematica generale - Riassunto esame, prof. Baccarin

INDIPENDENZA E DIPENDENZA LINEARI

D , D , … , D ℝ Ž , Ž , … , Ž ℝ ℝ

j j

n = i n = i

Ž D , Ž , … , Ž D

Dati m vettori e m numeri reali il vettore di :

Є Є

n n =w i i D , D , … , D

ˆ n = i

i

si chiama generica combinazione lineare dei vettori .

— Ž D

“ “

“”n }

ℝ = , } , … , }

j n = j

Def.: Dato un insieme di vettori in si dice che A è linearmente indipendente se la

Ž } , Ž } , … , Ž }

sua generica combinazione lineare è uguale a 0:

n n = = i i

Ž , Ž , … , Ž = 0

n = i

e ciò può accadere solo se = 0

j

Detto in termini di sommatoria risulta:

— Ž } = 0

Š Š

Š”n Ž = 0 ∀c = 1, 2, … ,

Š 1 0

solo se }

} = } = ℝ , }

˜ ™ ˜ ™

n = = n =

0 1

Ž 0

Ad esempio, dati e si ha A = e la generica combinazione lineare è:

Ž } Ž } Ž Ž } }

˜ ™ ˜ ™

n

n = n =

Ž 0

n = n =

=

+ = = se e solo se = = 0 quindi e sono linearmente indipendenti.

1 2 0

} = } = ℝ Ž Ž Ž } Ž } } }

˜

˜ ™ ˜ ™ ™

n = = n = n =

2 4 0

n = n =

Mentre dati e si ha che se = 2 e = - 1 allora + = quindi e

non sono linearmente indipendenti. }

ℝ = , } , … , }

j n = j Ž , Ž , … , Ž

Def.: Dato un insieme di vettori in si dice che A è linearmente dipendente se non è

n = i

Ž } , Ž } , … , Ž }

linearmente indipendente, ovvero esiste almeno un insieme di numeri reali non tutti nulli per cui

n n = = i i = 0 ℝ 

STRUTTURA EUCLIDEA DI ℝ 

Le proprietà di addizione e di moltiplicazione scalare caratterizzano la struttura lineare di ma il prodotto

interno tra vettori ne caratterizza la struttura euclidea.

|D| ℝ:

Innanzitutto introduciamo il concetto di valore assoluto:

D  D ≥ 0

con x Є H

|D| = f −D  D < 0

|D| ∀x ℝ

Esso gode delle seguenti proprietà:

|D| = 0

• 0

≥ Є

|Dk| |D| |k|

∙ ∀x ℝ

• se e solo se x = 0

|D |D| |k|

+ k| + ∀x ℝ

• = Є

|D| < − < D <

• ≤ Є

• D Є ℝ

↔

Def.: dato un vettore si chiama norma di x (‖D‖) la radice del prodotto interno di x per sé stesso ed è

‖D‖ ∙ D) œD + D + D + … + D

œ(D

data da: n= == (= j=

= = =

17 Capitolo 2 - Insiemi e logica

‖D‖ |D|

√D

Quando n = 1 la norma si riduce al valore assoluto, infatti:

=

= =

‖D‖ œD + D

Per n = 2 si ha:

n= ==

= DD

n

(D) = (D ) + (D )

= = =

Applicando il Teorema di Pitagora al triangolo si ottiene:

n =

(D) = D + D

n= ==

=

da cui: œD

D = + D

e infine: n= == =‖D‖

Cioè la norma di x rappresenta la lunghezza del segmento che unisce il

punto x con l'origine (vettore).

Nel caso n = 3 è lo stesso, infatti: w

ž Ÿ

‡

w ˆ

w ‰

x =

Nel caso n 4 non si ha più la rappresentazione grafica, ma la norma esiste.

≥

‖D‖

La norma gode delle seguenti proprietà:

‖D‖

• 0

≥ ‖D‖

‖ŽD‖ |Ž| ∙

• = 0 se e solo se x = 0

‖D ‖D‖ ‖k‖

+ k‖

• =

• = + (disuguaglianza triangolare)

Un vettore di norma 1 si chiama versore, ad esempio:

√‰

v ℝ

¡ =

ˆ

‡

x = Є

ˆ

Infatti: = =

¢r

‖D‖ ¢

s + r s +

( n ( n √1

√

= = £ £

= = = = 1

∙ D

n

In generale, dato x 0, il vettore:

≠

‖w‖

v = è un versore ad esempio dato:

 ‘

(£

‖D‖ ‖D‖

+ 4 = 5 g 1)

√3 √25

x = la norma è:

= =

= = (non è un versore perché

‰

e si ha: ¡

∙  ‘

n (£ ¤

¥

m

v = = ¤

La norma di v è:

= =

¢r

‖D‖ ¢

s + r s

( £ =m

m m =m

= = = 1 (quindi x non è un versore ma v lo è).

n o o

I vettori:

ℝ

¡ ¡ ¡

o n o

n = j j

… … …

o o n

= = = sono detti versori fondamentali di .

In generale, un vettore x può essere espresso come:

n o o o

o n o o

D ¦ § D ¦ § D ¦ § D ¦ § D D D

n = j

o o n o

n = ( j n = j

… … … …

+ + + .... + = + + ... +

o o o n

ovvero come combinazione lineare dei versori fondamentali con pesi (o coefficienti) dati dalle componenti

del vettore stesso.

18 Capitolo 2 - Insiemi e logica

D∙k =0

Def.: due vettori x e y si dicono ortogonali (o perpendicolari) se:

⊥ k k ⊥ D

e si scrive x oppure

n o

o

Ad esempio, i versori fondamentali sono a due a due ortogonali, infatti, dati:

ž Ÿ ž Ÿ ž Ÿ

n = (

o o

n

o o n

= = =

∙ ∙ 0 + 0 ∙ 1 + 0 ∙ 0 = 0

n =

si ha:

∙ ∙ 0 + 0 ∙ 0 + 0 ∙ 1 = 0

n ( = 1

∙ ∙ 0 + 1 ∙ 0 + 0 ∙ 1 = 0

= ( = 1

= 0 ‖D ‖D‖ ‖k‖

ℝ ⊥ k + k‖

j = = =

Prop.: Dati x, y , se x allora = +

Є (D (D

‖D + k‖ ∙ D) + ∙ k) + ∙ k) + (k ∙ k)

=

Dim.: si ha

(D ‖D ‖D‖ ‖k‖

(D

∙ k) + ∙ k) ⊥ k + k‖ = = =

= (x + y)(x + y) = (x

ma = 0 perché x quindi = +

Š ℝ

&D '

“ j

“”n

Def.: Un insieme di vettori si dice ortogonale se i suoi vettori sono a due a due ortogonali.

Є

Ad esempio l'insieme dei versori fondamentali è ortogonale.

Def.: Un insieme di vettori ortogonale i cui elementi hanno anche norma unitaria si dice ortonormale. Ad e-

sempio l'insieme dei versori fondamentali è ortonormale.

Un altro esempio è il seguente:

n v= o

D ž Ÿ D ž Ÿ D ž Ÿ

n n vn

n = (

n n n

= = =

‖D ‖ ‖D ‖ ‖D ‖

√3 √6 √2

n = (

= = =

I vettori sono ortogonali a due a due, infatti:

D ∙ D 1 ∙ −2 + 1 ∙ 1 + 1 ∙ 1 = 0

n =

D ∙ D 1 ∙ 0 + 1 ∙ −1 + 1 ∙ 1 = 0

=

n (

D ∙ D −2 ∙ 0 + 1 ∙ −1 + 1 ∙ 1 = 0

=

= ( =

Tuttavia non hanno norma unitaria, quindi si può normalizzare ogni vettore (dividendolo per la norma) otte-

nendo: ‡

√‰

n ª ¬

D ž Ÿ ∙ n ‡

n

n √‰

√(

n ‡

= = © «

√‰ ˆ

v √‰

v= ª ¬

D ž Ÿ∙ n ‡

n

= è

­

n √ ‡

= = © «

è

o

o ‡

D ž Ÿ ∙ ¦ §

n

vn è

( =

n √ ‡

= = è

che hanno norma unitaria e sono a due a due ortogonali, quindi il loro insieme è ortonormale.

Š

&D '

“ “”n

Def.: in generale, dati k vettori a due a due ortogonali, l'insieme costituito dai vettori

Š

Š ∙ D

&} ' f p

n

“ “

“”n ‖w‖ “”n

= è ortonormale.

19 Capitolo 2 - Insiemi e logica

ℝ 

STRUTTURA TOPOLOGICA DI

ℝ

Def.: Dati x, y x < y si chiama distanza (euclidea) la lunghezza del segmento compreso tra x e y, cioè:

D − k  D ≥ k

Є kH

|D |k

− k| − D| ¯ k − D  D <

d(x,y) = = =

Nel caso n = 1 si ha ad esempio:

|5 |3

− 3| − 5|

d(3,5) = = = 2

r s r s

Nel caso n = 2, dati:

w °

‡ ‡

w °

ˆ ˆ

x = y = − k ) + (D − k )

œ(D

Applicando il Teorema di Pitagora al triangolo indicato in figura si ha:

= =

n n = =

ℝ = d(x,y) = ‖D − k‖

e, quindi, in la distanza tra x e y è data dalla norma della loro differenza, ovvero:

ℝ j

d(x,y) =

e in generale tale formula vale anche per x, y .

Є

‖D ‖D‖

− 0‖

Si ha anche: d(x,0) = =

ovvero la norma di un vettore è anche la sua distanza dall'origine.

La distanza gode delle seguenti proprietà:

• d(x,y) 0

≥

• =

d(x,y) 0 se e solo se x = y

• d(x,y) = d(y,x)

• distanza triangolare: d(x,y) d(x,z)+ d(z,y)

≤

GLI INTORNI D ℝ ± > 0, 9 (D ),

j

o ² o

D ±,

Def.: si definisce intorno sferico di centro e di raggio e si indica con l'insieme dei

Є

o D

(D ) )

9 = Є ℝ : ~(D, D < ±

j

punti che distano da meno di ovvero:

² o o

D

(D ) )

9 = Є ℝ: ~(D, D < ±

Nel caso n = 1 si ha: ² o o

(D ) |D |

9 = D Є ³: − D < ±

² o o

(D )

9 = D Є ³: −± < D − D < ±

² o o (* )

(* )

ℝ D ± . = − ´, * + ´

o ´ µ µ µ

ovvero in l'intorno di centro e di raggio è l'intervallo aperto

D

(D ) )

9 = Є ℝ : ~(D, D < ±

=

Nel caso n = 2 si ha: ² o o

(D ) ¢(D ) (D )

9 = Є ℝ : − D + − D < ±·

¶D no =o

= = =

² o n = ovvero l'insieme dei punti appartenenti al cerchio di

, D ) ±

no =o

centro (D e raggio esclusa la circonferenza.

− ±, D ± > 0 D ±,

o o o

(D )

9

²v

Def.: L'intervallo (D ] con viene detto intorno sinistro di e raggio indicato con

o

+ ±, D ± > 0 D ±,

o o o

(D )

9

²„

L'intervallo [D ) con viene detto intorno destro di e raggio indicato con

o

PUNTI INTERNI, ESTERNI E DI FRONTIERA (D)

⊆ ℝ 9 ⊆

j ¸

Def.: Dato un insieme A il punto x A si dice punto interno di A se esiste A.

Є

Quindi, un punto x A è un punto interno di A se è contenuto in A con tutto il suo intorno, per

Є

quanto piccolo questo possa essere. ⊆ ℝ j

(D)

9 ⊆ .

4

Def.: Allo stesso modo, dato un insieme A il punto x A si dice punto esterno di A

Є

¸

se esiste

20 Capitolo 2 - Insiemi e logica

⊆ ℝ j (D)

¹A) ∀9

Def.: Dato un insieme A il punto x A si dice punto di frontiera di A (e si indica con

Є ¸

(D)

9 ∩ g ∅

se non è né interno né esterno, ovvero se verifica:

¸

PUNTI DI ACCUMULAZIONE E ISOLATI (D)