Riassunto esame Elementi di matematica, Prof. Nardelli Carla, libro consigliato Manuale modulare di metodi matematici , Elisabetta allevi e claudio birolini

INSIEMI NUMERICI

(LEZIONE 1 - 8.10.2022)

N = {0, 1, 2, 3, ...}

Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

discreti 4 e 2 sono distanziatissimi tra di loro

punti isolati

razionali: sono densi = + vicini nell'insieme dei numeri reali

irrazionali: non si possono scrivere in frazione ( √3; √5; ... ) (complementari dei razionali)

A / A = 1

1 / 0 = impossibile

0 / 1 = 0

0 / 0 = indeterminato

OPERAZIONI IN Q

• somma
• moltiplicazione

PROPRIETÀ COMMUTATIVA

a + b = b + a   a ∙ b = b ∙ a

PROPRIETÀ ASSOCIATIVA

a + (b + c) = (a + b) + c   a ∙ (b ∙ c) = (a ∙ b) ∙ c

ELEMENTI NEUTRI

a + 0 = 0 + a = a   a ∙ 1 = 1 ∙ a = a

PROPRIETÀ DISTRIBUTIVA

a ∙ (b + c) = a ∙ b + a ∙ c   rispetto a +

1. opposto (-a)   a + (-a) = 0
2. reciproco (a⁻¹)   a ∙ a⁻¹ = 1 ∙ a⁻¹

LEGGE DI ANNULLAMENTO DEL

a ∙ b = 0 ↔ a = 0 ∨ b = 0

PROPRIETÀ INVARIANZA DELLA =

a - b = a + c (a - c) (b - c)

a / b = (a ∙ c) / (b ∙ c)   b ≠ 0 ; c ≠ 0

PRINCIPIO DI TRICOTOMIA:

∀a, b ∈ R uno e uno solo: a < b ∨ a = b ∨ a > b

LEGGI DI SEMPLIFICAZIONE:

a ∙ b = c ⇔ ∃x, x ∙ c = b ∙ c ⇔ a = 0

a = 0 ⇔ a ∙ b = c ∙ b ; c ≠ 0

NOTAZIONI

a¹ = 1 a ≠ 0

a⁰ = 1 a ≠ 0

0⁰ = impos.

a^m aⁿ = a^m+n

(a^m)ⁿ = a^m·n

a^m : aⁿ = a^m-n

|a| = a se a ≥ 0

|a| = -a se a < 0

|3| = 3

|0| = 0

|-5| = 5

|a| = |-a|

y = |x|

punto angoloso

punto di non derivabilità

potenze ed esponenziali

y = x^m potenza

y = a^x esponenziale

se la base: 0 < a < 1

a > 1

Se a = 0 non è esponenziale ma saranno due rette

y = 1^x = 1

Logaritmi

y = log_ax

0 < a ≠ 1

a > 1

x > 0

lo 0 non può essere negativo

(1) Esempio:

B = { x | x₁ ∈ ℝ, -1 < x₁ < 1, -1/2 < x₂ < 3 }

intorno chiuso e limitato

• p.i.: interno
• p.e.: esterno
• p. f.: frontiera
• p. accumulazione

(2)

A = { x ∈ ℝ | 1 < x < 3 }

x² < 4

x + 2

-2 < x < 2

INF = -2 = MIN

SUP = 2 = MAX

• p.I = 2 < x < 2
• p.E = x < -2 ∪ x > 2
• p.F = ∅ | x = 2
• p.TS
• p.Acc. = TUTTO (-2 < x < 2)

(3)

B = { [ x₁, x₂ ] ∈ ℝ² | 2 ≤ x ≤ 4 ∩ 0 < x₂ < 3 }

[2, 2] → frontiera

(4) Esercizio

A = { [ x₁, x₂ ] ∈ ℝ² | x₁² + x₂² ≥ 3 }

Intorno chiuso e illimitato

3) ^g(x) / _g(cx)

0 < k < 1 contrazione dilatazione

5) ^g(x) / _g(-x)

Simmetria asse y

7) ^g(x) / _g(|x|)

Un tratto di esponenziale

9) ^g(x) / _fg(x)

>1 diliazione contrazione

6) ^g(x) / _-g(x)

Simmetria asse x

8) ^g(x) / _g(x)1

Le parti negative sono rese positive dal modulo

Esercizi

• h(x)=|x| - a
• y=|x|

2) y=|x| - a

e ribalta

3) y=|x| - a

2 p. angolosi in e D

4 p. angolosi in -a e a

y=ln x

ln(x+a) traslazione o simmetria

y=lnx+1

traslazione y elevato a 1

Teorema del Confronto o dei 2 Carabinieri

Ipotesi:

• f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) ∀ x ∈ I con x₀ ∈ I
• x₀ punto di accumulazione per I
• ∀ x ∈ I\{x₀} g(x) = r(x)∙q(x)
• ∀ x ∈ I con x ≠ x₀ si ha: f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) e g(x) ≤ q(x) extreme

• lim f(x) = e₁
• lim g(x) = e
• lim h(x) = e₂ -> Per le 2 funzioni tendono ad e quindi anche la funzione intermedia deve tendere ad e
• ∀ g
• f -> 8₀
• 8
• Test:
• f(x)
• 0 → 1^li
• V
• a

≠

Calcolo dei Limiti

lim_x→x₀ g(x) = e₁ lim_x→x₀ s(x) = e₂-operations of the functions of the limitse₁ + e₁, e₁ - e₂, e₁ = e₂ pt. x ±env

⇒ Forme indeterminate

• [/] [∞/∞] [∞ * 0] [^∞] ∞^∞ - ∞ ]

Non Indeterminate:

• 1/0 = ∞
• 1/∞ = 0
• 0/∞ = 0
• ∞/0 = ∞

Forme indeterminate P (x p' ondee)

Esempi:

• lim_x→3 (x + 3) = 9 - 3 = 12
• lim_{x→ -∞} (2 - x - 3) = 0 + 3 = 0
• lim_x→∞ (2^y log_ex) = 2∙1 + 0 = 0

Quando il Lim non esiste?

• lim_{x→- ∞} 1/X = ∞ω pen exists but divides ovviamos ≤ ∞ OK Che al
• H

lim_x→3 1/X = - ∞

• 1 + I / -1

✎ se i due sottomini emissermi sono uguali dunque il limite ma siccome trodiorimini Vegas il limite non esiste

Es.: lim_x→∞ 1/0

• per
• x
• -∞

Lezione 1 - 8/11/2023

Successione

Dominio ℕ

f: ℕ ➝ ℝ

• m ➝ f(m) = a_m

Il carattere della successione è dato dal:

• lim_{n ➝ ∞} a_n

1) se ∃ finito la successione

2) se ∃ ∞ allora la successione è divergente

a_m ∀ m lim_{n ➝ ∞} m = ∞

3) se la successione è indeterminata

a_n = (-1)ⁿ lim_{n ➝ ∞} (-1)ⁿ = {1 se n pari, -1 se n dispari}

Es. Also p. 157

Funzioni Continue

lim_{x ➝ x0} f(x) = ℓ

• x ∈ ℝ ℓ < ℝ
• 1) x₀ ∈ X punto di accumulazione di D
• f è continua in x₀ se f_- lim_{x ➝ x0} f(x) = f(x₀)
• 2) x₀ ∈ X isolato
• f è continua in x₀ (non si può porre ∃ lim con p. isolato)

Esercizio (da fare in ogni esercizio)

1. lim_{x ➝ x0} f(x)
2. lim_{x ➝ x0} f(x)
3. f(x₀)

f(x) = k ➝ g è continua

f(x) = a^x a > 1 ➝ (continua 0 < a < 1)

f(x) = log_a x a > 0, a < 1 ➝ continua

f(x) = sin x + cos x ➝ continua

lim_{x ➝ 0⁺} g( x) = 1

lim_{x ➝ 0⁻} g( x) = -1