Riassunto esame Elementi di matematica, Prof. Nardelli Carla, libro consigliato Manuale modulare di metodi matematici , Elisabetta allevi e claudio birolini

Insiemi numerici

Definizioni e simboli

N = {0, 1, 2, 3, ...}

Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Q = {^m⁄_n | m, n ∈ Z; n ≠ 0}

I numeri discreti come 2 sono distantissimi tra di loro: -2, -1, 0, 1, 2, 3 sono punti isolati.

I numeri razionali sono densi → più vicini nell'insieme dei numeri reali.

IR razionali = non si possono scrivere in frazione (es. √3, √5, ...), complementari dei razionali.

A⁄A = 1

¹⁄₀ = impossibile

⁰⁄₁ = 0

⁰⁄₀ = indeterminato

Operazioni in Q

Sommare e moltiplicare.

Proprietà commutativa

a + b = b + a

a · b = b · a

Proprietà associativa

a + (b + c) = (a + b) + c

a · (b · c) = (a · b) · c

Elementi neutri

a + 0 = 0 + a = a

a · 1 = 1 · a = a

Proprietà distributiva

a · (b + c) = a · b + a · c

Rispetto a:

1. Opposto (-a)
2. 0 positivo = 0
3. Reciproco (a^-1)

Legge di annullamento del prodotto

a · b = 0 ↔ a = 0 ∨ b = 0

Proprietà d'invarianza della frazione

a · b ⁺⁄_a = d ↔ b - c

a · b ^-⁄_a = b ⁄ c, c ≠ 0; a ≠ 0

Principio di tricotomia

∀ a, b ∈ R vale 1 ↔ a 1 x > 0 → le x non può essere negativo.

Simboli degli insiemi

• IR = (-∞; +∞)
• IR₀ = {X ∈ IR | X ≠ 0}
• N₀ = Tutto l'anno e 0
• Z₀ =
• C₀ =
• IR₊ = (a; +∞)

Log = log₁₀

log = si usa per scrivere l_n (base e)

l-log = Logaritmo in base 10

Proprietà dei logaritmi

1. log_a(x·y) = log_ax + log_ay
2. log_a(^x⁄_y) = log_ax - log_ay
3. log_a(x^m) = m log_ax

log_aa = 1

log_a1 = 0

Intervalli

Intervalli limitati

• [a; b] = {X ∈ IR | a ≤ X ≤ b}
• [a; b[ = {X ∈ IR | a ≤ X < b}
• (a; b) = {X ∈ IR | a < X < b}

→ INTERVALLO CHIUSO

→ NE APERTO NE CHIUSO

→ APERTO

Intervalli illimitati

• [a; +∞) → CHIUSO E ILLIMITATO
• (-∞; b] → CHIUSO E ILLIMITATO
• (-∞; b) → APERTO E ILLIMITATO

Esercizi

• ● ^log₂2⁄_log28 = 2² = 2
• ● B = {X ∈ ER | x ≤ π3}
• ● C = {X ∈ N | X ≤ 3 }