Riassunto esame Metodi matematici, Prof. Fanton Clara, libro consigliato Matematica generale, Dolci

ESERCITAZIONI

1) Scrivere l’equazione della retta passante per i punti: A(-1,2) e B(3,-1) ,

calcolarne il coefficiente angolare e rappresentarla graficamente.

La retta cercata ha equazione 3x+4y-5=0 Il coeff. angolare = -3/4 è negativo in

quanto l’angolo formato dalla retta con l’asse delle x è maggiore di 90°

2) Dimostrare che i punti sotto indicati sono i vertici di un

parallelogramma. A(5,5) B(9,2) C(4,-3) D(0,0)

Per dire che un quadrilatero è un parallelogramma bisogna dimostrare che ha i lati a

due a due paralleli. Per l’esercizio quindi, applicando la formula della retta per due

punti, si devono trovare le equazioni di tutte e quattro le rette per i vertici dati. Retta

per AB : equazione finale y= -3/4x + 35/4. Retta per BC : equazione finale y= x-7.

LEZIONE 10 – LE CONICHE, CERCHIO, ELLISSE

Lo studio delle curve piane chiamate coniche, e cioè le ellissi, le parabole e le iperboli,

risale all'antichità. Un’analisi pressoché completa delle proprietà di tali curve è redatta

dall'altro grande matematico greco, dopo Euclide e Archimede: Apollonio di Perga

(circa 262-190 a. C.)

Nella sua opera ‘Sezioni coniche’ Apollonio definisce le coniche come le curve ottenute

dall'intersezione di un cono circolare retto infinito con un piano non passante per il

vertice; le diverse inclinazioni del piano generano le diverse coniche. Da ciò deriva il

nome con il quale normalmente si individuano. Con un piano perpendicolare alla retta

asse del cono si ottengono delle circonferenze Negli altri casi: ellissi, parabole o

iperboli, come si vedrà meglio in seguito e come da disegno seguente.

LA CIRCONFERENZA

EQUAZIONE DELLA CIRCONFERENZA

Svolgendo i calcoli nell’equazione precedente si ottiene la forma più usuale della

equazione della circonferenza:

Attenzione: I coefficienti dei termini in X2 E Y2 e devono sempre essere uguali, ma

questa non è una condizione sufficiente affinchè l’equazione rappresenti una

circonferenza (che si indica con il simbolo). Lo è se e solo se (condizione necessaria)

cioè se il raggio è positivo.

Ricordiamo quanto si era detto per una retta. Essa è univocamente determinata da

due punti dal punto di vista geometrico o da due ‘informazioni ‘ indipendenti dal punto

di vista algebrico ( es. un punto ed il parallelismo ad un’altra retta) Analogamente la

circonferenza è univocamente determinata da 3 punti dal punto di vista

geometrico o da 3 condizioni algebriche ( es. le coordinate del centro e di due suoi

punti, il passaggio per due punti e la tangenza ad una retta data …..).

RETTA E CIRCONFERENZA COMPLANARI

L’ELLISSE

L'ellisse è il luogo geometrico dei punti del piano per cui è costante la somma delle

distanze da due punti fissi detti fuochi. La sue equazione è

Si immagini di avere un pezzo di spago (la distanza fissa) alle cui estremità sono

attaccati due pioli (i fuochi). Se si conficcano i pioli nel terreno e con un chiodo si tiene

ben tesa la corda, facendo scorrere il chiodo in tutte le posizioni che può assumere

esso traccerà esattamente una ellisse. Si evince facilmente che la circonferenza è

un caso particolare di ellisse nel quale i due fuochi distano zero, cioè sono

sovrapposti.

L’ECCENTRICITA’

indica la forma più o meno schiacciata dell’ellisse. Dalla sua formula

è facile dedurre che l’eccentricità è zero quando a=b cioè i due fuochi cadono in uno

stesso punto. Al diminuire della distanza tra i 2 fuochi l’ellisse diventa sempre più

‘tondeggiante’, quindi, come si è già anticipato, per a=b l’eccentricità è zero e

l’ellissi diventa una circonferenza.

ESERCITAZIONI

1.Data l’equazione x2+y2-8x+6y=0 definire se corrisponde ad una

circonferenza ed in tal caso determinarne centro e raggio.

2.Determinare l’equazione della circonferenza di centro C(2,-1) e raggio r=3

3. Stabilire se il punto A(1,-2) è interno o esterno alla circonferenza:

x2+y2=1

Il punto A è esterno alla circonferenza data se sostituendo le sue coordinate

nell’equazione della circonferenza otteniamo un valore maggiore del raggio 1. Se fosse

esattamente =1 il punto starebbe sulla circonferenza. Se fosse minore di 1 il punto

sarebbe interno. Nel nostro caso risulta 1+4>1 e dunque A è esterno alla

circonferenza.

4. Determina le misure degli assi dell’ellisse di equazione

L’equazione rappresenta un’ellisse con centro nell’origine degli assi e li

interseca rispettivamente : asse ascisse A e A’(±6,0) e delle ordinate B e B’(0,±3).

Quindi gli assi hanno lunghezza pari a 2·6 = 12 e 2·3 = 6 L’eccentricità

Quindi l’asse maggiore è sull’asse delle ascisse.

LEZIONE 11 – LE CONICHE, PARABOLA E IPERBOLE

LA PARABOLA

La retta passante per il fuoco e perpendicolare alla direttrice si chiama asse della

parabola. L’asse della parabola è un asse di simmetria e interseca la parabola nel

vertice. La concavità della parabola dipende dal parametro a, coefficiente del termine

in x2. Se a > 0 la parabola è rivolta verso l’alto Se a < 0 la parabola è rivolta

verso il basso.

Le caratteristiche della parabola variano a secondo che l’equazione sia, nel secondo

membro

Anche nell'equazione della parabola (come in quella della circonferenza) sono presenti

tre coefficienti a, b e c. Per poterli determinare occorrono tre condizioni: Alcune

possibili condizioni sono le seguenti: • le coordinate del vertice e del fuoco; • la

parabola passa per tre punti non allineati; • la parabola passa per due punti e si

conosce l’equazione dell’asse • la parabola passa per un punto e sono note le

coordinate del vertice o del fuoco

Il numero di soluzioni di questa equazione dipendono dal suo ∆ ed analogamente la

rappresentazione grafica della parabola in oggetto avrà tre diverse posizioni rispetto

all’asse delle ascisse a secondo del ∆ Si ricordano le soluzioni dell’equazione di II^

grado (auspicando che questo richiamo non serva!!)

Sia a maggiore di zero, cioè si abbiano parabole con concavità verso l’alto. Se ∆> 0 (∆

= b² - 4 ac positivo) La corrispondente funzione y = ax2 + bx + c è una parabola che

interseca l’asse delle x nei 2 punti che hanno per coordinate le 2 soluzioni distinte

dell’equazione ax2 + bx + c=0

Se ∆= 0 (∆ = b² - 4 ac uguale a zero) La corrispondente funzione y= ax2 + bx + c è

una parabola tangente all’asse delle x nell’unico punto che ha per coordinata la

soluzione dell’equazione. ax2 + bx + c=0. Più precisamente è un punto doppio, cioè

un punto in cui due punti coincidono.

Se ∆< 0 (∆ = b² - 4 ac negativo) La corrispondente funzione y = ax2 + bx + c è una

parabola che non interseca mai l’asse delle x , non avendo mai soluzioni (reali) la

corrispondente equazione. ax2 + bx + c=0.

Quindi le soluzioni dell’equazione di secondo grado y = ax2 + bx + c non sono altro

che le intersezioni della corrispondente parabola di equazione ax2 + bx + c=0 con

l’asse delle ascisse.

Sinora abbiamo esaminato parabole con asse di simmetria l’asse delle ordinate o una

retta ad esso parallela. Analoghe proprietà valgono per le parabole con asse parallello

all’asse delle ascisse. La loro equazione è x = ax2 + bx + c

L’IPERBOLE

L’iperbole è' il luogo dei punti del piano per cui è costante la differenza delle distanze

da due punti fissi detti fuochi. La equazione generale dell’iperbole equilatera è y=k/x

L'equazione generale della iperbole si specializza e si semplifica in alcuni casi

particolari. Quando è riferita al centro degli assi cartesiani e con i fuochi sull'asse delle

ascisse l’equazione diventa:

APPROFONDIMENTI

ESERCITAZIONI

1.Scrivere l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse y che ha

vertice in V(1,2) e passa per il punto A(2,1).

Si considera l'equazione generale di una parabola con asse parallelo all'asse y: y = x2

+ bx + c Si impongono le condizioni date. Si noti che la conoscenza delle coordinate

del vertice equivale a due condizioni. Si impostano quindi le 3 ‘informazioni’ date in un

unico sistema ove le 3 incognite sono a,b,c.

Ma la soluzione a = 0 non è accettabile, dal momento che l'equazione generale di

una parabola non rappresenta una parabola se a = 0. Pertanto, la parabola cercata

ha equazione: y = - x2 + 2x + 1

2.Determinare l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse y e

passante per i punti A(2,−4), B(−1, 2), C(3,−2).

3. Rappresentare graficamente la parabola di equazione determinando i

punti di intersezione sull’asse delle ascisse y = x² - 2x + 4

Intersecando la parabola con l’asse delle ascisse, si ottiene una equazione di 2^ grado

con Delta <0 quindi senza soluzioni reali. La parabola quindi è sempre positiva e non

interseca mai l’asse delle ascisse.

LEZIONE 12 – FUNZIONI RXR

FUNZIONI REALE DI VARIABILE REALE

La funzione, anche detta applicazione, è una legge definita dalle seguenti condizioni

: • Esiste un insieme non vuoto detto dominio della funzione. • Esiste un insieme non

vuoto detto codominio della funzione • Esiste una relazione che ad ogni elemento

del domino associa uno ed un solo elemento del codominio (attenzione, non è

detto il viceversa).

Abbiamo già visto numerosi esempi di funzione in RxR nei precedenti cenni di

geometri analitica. ad esempio y=3x+1 (equazione di una retta). La relazione dice che

ad ogni valore di x scelto in R-dominio- dobbiamo associare un valore y ( che varia in

questo caso pure in R codominio) ottenuto moltiplicando per 3 il valore di x ed

aggiungendo una unita. Se x = 5 → f(x)= f(5) = 15 + 1 = 16 Questo vale per tutti e

soli i punti che stanno sulla curva descritta dalla funzione precedente.

Per ora tratteremo funzioni RXR cioè funzioni reali di una variabile reale. f: R → R. Più

avanti verranno presentate funzioni , cioè funzioni reali di due variabili reali : z=f(x,y) f

R2 → R. Esistono ovviamente anche funzioni per le quali il numero di variabili

indipendenti, sempre reali, è maggiore di due f Rn → R.

Nella figura sono schematizzate due funzioni; entrambe sono univoche nel senso che

alla variabile indipendente x corrisponde un’unica variabile dipendente; la prima poi è

biunivoca, perché non solo ad x corrisponde una ed una sola y, ma vale anche il

viceve