Riassunto esame Matematica generale, Prof. Chiarolla Maria, libro consigliato Forme quadratiche, Stefano Dottori

D’ora in avanti, senza particolari

ATTENZIONE - 1

) ( )

( , = , ( ) .

1 2 1 2

avvisi, useremo sempre la matrice simmetrica. 2

Nel nostro caso, la matrice associata è

5 −4

Osservazione - Qualunque forma quadratica ( )

0 5

assume il valore 0 in corrispondenza del vettore e la matrice simmetrica ad essa corrispondente è

nullo (in questo le forme quadratiche somigliano 5 −2

=( ) .

alle trasformazioni lineari). −2 5

Per portare la forma quadratica in forma canonica

Nota bene - In genere, per ogni i, j si può scrivere 12 22

)

( , = +

1 2

+ +

+ = + è sufficiente determinare un cambiamento di base

2 2 (cioè determinare una nuova base) rispetto alla

e da tale formula deriva la possibilità di esprimere quale la forma quadratica sia rappresentata da una

la forma quadratica con una matrice simmetrica. .

matrice diagonale

La matrice della forma quadratica è - per 3

definizione - simmetrica e il teorema spettrale ci

garantisce che è diagonalizzabile.

La forma diagonale della matrice ci fornirà la ).

( ,

forma canonica della forma quadratica 1 2

Si tratta, quindi, di applicare l’algoritmo della

4

diagonalizzazione .

3 Teorema spettrale riferito alle matrici - Ogni 2) Si calcolano gli autovettori associati agli autovalori.

matrice simmetrica reale è simile ad una matrice 3) Si ricavano le molteplicità algebriche e geometriche

diagonale tramite una matrice ortogonale. degli autovalori della matrice.

Come conseguenza del teorema, per ogni matrice 4) Se la matrice non è diagonalizzabile ci fermiamo, se,

invece, è diagonalizzabile, si scrive la matrice i cui

simmetrica esistono una matrice ortogonale (cioè

⊥

= ) elementi diagonali sono gli autovalori della matrice,

tale che ed una matrice diagonale per cui

⊥ −1

= = scrivendo ciascun autovalore tante volte quante sono

⊥ ⊥

⊥ indicate dalla corrispondente molteplicità algebrica.

In particolare, gli autovalori di una matrice simmetrica −1

= ,

5) Se si vuole, si verifica la relazione

sono tutti reali.

4 Algoritmo della diagonalizzazione .

1) Si calcolano gli autovalori della matrice

Forme quadratiche 3

−1

−

Nota - Tutto il processo della diagonalizzazione e, quindi, l’altro autovettore è: ( ) = ( ) e,

1

può evitarsi in quanto la matrice diagonale è −1

si ha l’unico autovettore

costituita solo dagli autovalori della matrice = 1 ( )

ponendo che

1

simmetrica, rappresenta la base relativa all’autovalore = 7.

2

.

Calcoliamo gli autovalori di Si ha: Ricordando che l’autospazio relativo ad un certo

5− −2 2

(5

det( − ) = = − ) − 4 .

| | autovalore è dato da tutti gli autovettori trovati per

−2 5 − quel certo autovalore ai quali bisogna unire anche

risolviamo l’equazione:

Uguagliamo a zero e un’origine:

2

(5 − ) − 4 = 0 {0̅}.

{Tutti

() = gli autovettori di } ∪

2 2

25 − 10 + − 4 = − 10 + 21 = 0 Nel nostro caso:

= 5 ± √25 − 21 = 5 ± =

√4

1,2 1 {0̅}

)

( = (3) = ( ), ∀ℎ ∈ ℝ} ∪ ,

{ℎ

=3 1

1 1

=5±2={ .

= 7 −1

2 {0̅}

)

( = (7) = ( ), ∀ ∈ ℝ} ∪ .

{

2

Entrambi gli autovalori hanno molteplicità 1

(3) (7)

= = 1

algebrica e, quindi, la

Dimensioni degli autospazi - Ricordiamo dalla

molteplicità geometrica è necessariamente pure 1 teoria che sussiste la relazione:

(ricorda che la molteplicità geometrica di un ( ) )),

≝ dim((

autovalore è sempre minore o uguale alla

molteplicità algebrica e non può essere nulla!). cioè la dimensione di un autospazio è uguale alla

sua molteplicità geometrica.

Calcoliamo gli autovettori. Sempre dalla teoria, sappiamo che la molteplicità

= 3

Per si ha: geometrica non può essere mai nulla e deve

1 2 −2

5 − 3 −2 essere sempre minore o uguale alla molteplicità

( )=( ),

−2 2

−2 5 − 3 algebrica (per lo stesso autovalore).

da cui discende l’equazione = 1

Quindi, in virtù di quanto detto, per la

1

2 −2 0

1

( ) ( ) = ( ) molteplicità geometrica è 1, essendo 1 anche la

−2 2 0

2 corrispondente molteplicità algebrica ed anche per

da cui il sistema = 5 la molteplicità geometrica è 1, essendo 1

2 − 2 = 0 2

1 2 ,

{ anche la corrispondente molteplicità algebrica.

−2 + 2 = 0

1 2 Riassumendo:

dove vediamo che le due equazioni sono dim(( = 3)) = 1,

identiche. Parametrizziamo il sistema ponendo, 1

= ℎ.

per esempio, Si ha: dim(( = 7)) = 1 .

2 2

2 − 2 = 0 → − = 0 → = ℎ

1 2 1 2 1

1

ℎ

( ) = ℎ ( )

e, quindi, il primo autovettore è: e, Ci chiediamo, ora, se i due autovettori che

1

ℎ abbiamo trovato possono rappresentare una base

1

si ha l’unico

ℎ = 1 ( )

ponendo autovettore che 2

ℝ

per , cioè se i due vettori sono indipendenti.

1

la base relativa all’autovalore = 3. Deve aversi il determinante formato dai due

rappresenta 1

= 7 vettori (colonna non nullo). Vediamo!

Per si ha:

2 1 −1

−2 −2

5 − 7 −2 = 1 + 1 = 2 ≠ 0.

| |

( )=( ), 1 1

−2 −2

−2 5 − 7

da cui discende l’equazione

−2 −2 0 I due vettori sono linearmente indipendenti e

1

( )( ) = ( )

2

−2 −2 0 ℝ

costituiscono una base per lo spazio .

2

da cui il sistema Vogliamo sapere se questo sistema di vettori è

−2 − 2 = 0

1 2 ortogonale, cioè se i due vettori sono tra loro

,

{ −2 − 2 = 0 perpendicolari. Se lo sono, il loro prodotto scalare

1 2

e vediamo che le due equazioni sono identiche. (prodotto interno) deve essere nullo.

Parametrizziamo il sistema ponendo, per esempio, 1 −1

( ) ∙ ( ) = −1 + 1 = 0.

= . Si ha: 1 1

2

2 − 2 = 0 → + = 0 → = − I due vettori costituiscono un sistema ortogonale.

1 2 1 2 1

dove è la matrice assegnata e è la matrice avente

per colonne gli autovettori associati agli autovalori

.

della matrice

Forme quadratiche 4

Per avere il sistema ortonormale, rispetto al Quarto passo - Se indichiamo con e le

1 2

quale sarà riferita la forma canonica della nuove coordinate da assegnare alla quadratica in

quadratica assegnata, dobbiamo normalizzare i forma canonica, sappiamo che deve valere la

1 −1 relazione:

= ( ) e = ( ).

due vettori: 1 2

1 1 1

( ) ( )

, = , ∙ ∙ ( ) ,

can 1 2 1 2

Si ha: 2

essendo la matrice diagonale la cui diagonale

2 2

√1

‖ ‖ = + 1 = + 1 = ,

√1 √2

1 principale è costituita dagli autovalori messi

2 2

‖ ‖ √(−1)

= + 1 = + 1 = ,

√1 √2

2 nell’ordine con il quale li abbiamo trovati. Quindi:

e, quindi:

1 0 1

( ) ( )

, = , ∙ ( ) ∙ ( ) =

1 1 can 1 2 1 2

1 0 5

) ̂

( = = = ( ), 2

1 1

‖ ‖ 1 ∙ 1 + ∙ 0

√2 1

1 1

1 2

1 =( ) ∙ ( ) = ( ) ∙ ( ) =

1

5

∙ 0 + ∙ 5

−1

2 2 2

2

1 2

) ̂

( = = = ( ).

2 2 12 22

= + 5 .

‖ ‖ 1

√2

2 Concludendo, la forma quadratica canonica è:

Abbiamo così un sistema di vettori ortonormale. 12 22

( )

, = + 5 .

can 1 2

Ricordando che la matrice diagonale ha nella Ciò che non è richiesto dal testo, ma che faremo a

diagonale principale gli autovalori e gli altri titolo di esercizio e per fare una maggiore pratica

termini sono tutti nulli: 3 0 nel trattare tali argomenti è quanto segue.

=( ),

0 7

si ha, in conclusione, la forma canonica della Autovettori - Ad ogni autovalore, corrispondono

forma quadratica data è: uno o più autovettori.

3 0 = 1,

Per si ha:

(,

(, ) = ) ( )( ) = 1

0 7 3 − 1 −2 2 −2

= ( )=( )

3 + 0 =1

2 2 −2 3 − 1 −2 2

1

( ) ( ) = 3 + 7 .

0 + 7 a cui corrisponde il sistema: =

2 − 2 = 0 − =0

→ →

{ { {

=

−2 + 2 = 0 − + = 0

parametrizziamo il sistema ponendo, per esempio,

Quindi l’autovettore relativo

= ℎ → = ℎ.

all’autovalore = 1 è:

1

ESERCIZIO - Ridurre a forma canonica la 1

ℎ

( ) = ℎ( ) .

quadratica: 1

ℎ

2 2

(, ) = 3 − 4 + 3 . = 5,

Per si ha:

2

–

Soluzione Risolviamo seguendo i seguenti −2 −2

3 − 5 −2

= ( )=( )

=1

passi. −2 −2

−2 3 − 5

1

a cui corrisponde il sistema:

Primo passo: scriviamo la matrice simmetrica = −

−2 − 2 = 0 +=0

.

associata alla forma quadratica → →

{ { {

= −

−2 − 2 = 0 +=0

3 −4 3 −2

=( ) →=( ).

0 3 −2 3 parametrizziamo il sistema ponendo, per esempio,

Quindi l’autovettore relativo

Ricorda che = → = −.

3 −2 all’autovalore = 5 &eg