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Funzioni quadratiche
f(x) = ax2 + bx + c
a, b, c \(\in \mathbb{R}\)a ≠ 0
Cosa è il grafico di una funzione?
Insieme delle coppie con x che varia nel dominio della funzione:
- G = { (x, f(x)) } , x \(\in \mathbb{R}\)
Gli elementi caratteristici di una funzione quadratica sono:
- Vertice xv = - b / 2a
- Ordinata del vertice: f(xv) = - Δ / 4a
Intercetta sull'asse x:
y = ax2 + bx + cy = 0 (asse dove x)
Intercetta sull'asse y:
y = ax2 + bx + cx = 0 (asse dove y)
Esempio:
f(x) = x2 + x - 2
- a = 1
- b = 1
- c = -2
- xv = -1/2
- yv = 9/4
- C(0, -2)
y = x2 + x - 2
x2 + x - 2 = 0
√ = 3x1,2 = [-1 ± √3] / 2
⇒ coordinare f(-2) = 4 - 1 - 2= 1
=> COORDINATE
- C (0, -2)
- N(1, 0)
(-1, 0)
Risolo -> R.
Es: 1,9 da 100 km.
- p = 80 -> 9 - 0,90
- p = 100 -> 9 - 1,00
q = 9 - 1/2 p + 120.
p = 0 e p = 280 per trovare 280 > 0.
R - 9p - D (-1/2 p + 120 p).
p=x R=y y = -1/2 x + 120 x.
y = 0 -> x = 0 ->
(0 ; 0)
(380 ; 0)
x = 0 -> y = 0.
Il peso massimo è 140.
Il ricavo massimo annullo è 9800.
Es 10 pag 242
C(x) = -x2 + 25
y = -x2 + 25
V (0 ; 25) C (5 ; 0) B (-5 ; 0)
Δ (-1 ; 0) (25 ; 0) B (x = 5)
0, -25 5, 0 0, x = 0
y(x) = -x2 + 25 = 0
y = 25 y = 5 x = 5
Es. 25 pag 242
g = -600x + 1,200 p = -20 R. = gx
persocalsogikin
C = 30x + 0,510P. lut.
Dom. 1: Quale R possiamo avere tenendo tenia di accesso
C(x) = 30x + 0,5 (-600x + 1,200)
CC = 30 - 600x + 600 = 600x + 600
Dom. 2: Ricavare il profilo inversto aue future dt e la quantità di
accesso per ottenere il massimo profitto
P. - R - C
- -600x + 1,200x - (-200x + 620)
- -600x + 1,200x + 200x - 620
- -600x + 1,400x - 620
xvu = 1,600/300 = +7 = 1,25€
Pmax(y) = -600 (1,25)2 + 1,200 (3,125) - 620 = 500€
Es. 32 pag 244
p = 10 q = 300
p = 15 q = 250
q = m.p + b
300 = 10m + b
250 = 15m + b
b = -2,000
q = -10p + 400 g = -10p + 400
R = p • q - 0 R = (-10p + 1,000)p - 0 -10p2 + 1,000p
50 = -5.m
mu = -10
b = 600
...
Esercitare quale valore è addetto di più
- f = 5Gt-60
- f = 97, 2, 1, 200
- f = 97, 1
- f = 70
- f = 10
Esercitare il valore come si accolla perfettamente sotto fattori la questa deve totersa questa esprimibile da teore.
Passo 2: usare il suffisso moderno per predire lo stato del 2008 e corrisponde (per pericigue con la cita deve totersa.
F (3) = 97, 2; 1, 20 è 418 poco sostanzialmente rispetto alla tabella.
Limiti e continuità
y = f(x), x ϵ R
lim f(x) = lx -> a
Esempio numerico
f(x) = x/1 + x2
quindi: lim x->0 1/1 + x2 = 0,5
lim f(x) = lx -> ±0
f(x) = 1/x4
Rapporto grafico e rapporto di limite
f(x) -> 2x -> 0+ : f(x) = 2x -> 0- : f(x) = -2
Il limite non esiste perché due valori sono diversi
x -> ±∞ : f(x) = 0
Applichiamo il modello esponenziale
Anno 1990 3 4
Frazione 0 1992 55 20
Pazienti 80
1° Balzo 1990-1992 90-27
ΔP = P(2) - P(0) = 80-27 = 28,5
Δt = 2-0
3° Balzo 1992-1992 1.37
ΔP = P(3) - P(2) = 55-32 = 14,5
Δt = 3-1
5° Balzo 1992-1994 -0.2; 2
ΔP = P(4) - P(2) = 20-80 = -30
Δt = 2
quindi nel 1° balzo vi è un aumento di 28,5 milioni
nel 2° balzo vi è una perdita media di 50 milioni
Riepilogo
- Limite
Def di funzione continua: ƒ è continua in x=a se
- a ∈ E e dominio di ƒ
- ƒ(x) = Lim ƒ(x)
Funzione continua destra: ƒ è una sola positiva. Due estremità al x, un valore del dominio, si trova la coincidenza è unica yr
Funzione continua aperta: Siamo quindi una funzione invalidata. Due o funzione continua per continua, non si deve autocalcolare
Funzione punto III, cui cambio di legge, j continuità
es. Funzione definita a tratti
Esercizi di matematica
- Lim x2 - 4
per isolare ricerco il numeratore
- Lim (2x-4)
ricovero si numeratore fattorica e raccolta e risoluzione
- per 2 intuizioni.
- Lim numerose quando solo è invertita
con gradi maggiore
quando voglio della conversione
Formula della retta
Δx e tasso istante di variazione
h (łan) < ƒ(0)
ΔthLa Derivata (o Tasso di Variazione Istantaneo)
f’(a)=limh→0 (f(a+h)-f(a))/h
F’(X): è la funzione derivata o derivata prima.
- Derivata di una potenza: f(x)=xn → f’(x)=n⋅xn-1
- Derivata di un prodotto di una costante per una potenza: f(x)=k⋅xn → f’(x)=k⋅n⋅xn-1
Esercizio
- f(x)=√x
- f(x)=x1/2
- f’(x)=1/2⋅x-1/2 = 1/2√x
- Derivata di una somma: f(x)=g(x)+d(x) → f’(x) = g’(x)+d’(x)
- Derivata di x = 1
- Derivata di una costante = 0
Esercizio
Calcolare l'eq. della retta tangente in (-2, 16) al grafico di f(x)=x4 (pag. 305)
- y-f(-2)=f’(-2)(x+2)
- f(-2)=16
- f’(x) = 4x3
- f’(-2)=-32
- f(-2)=-32(x+2)
y = 32x - 96
Es. 54 pag 335
f(x) = x/x2 + 1 x = 1 f(1) = 1/12 + 1 y - f(x1) = f'(x1)(x - x1) y - 1/2 = 0(x - 1) yg = 1/2
f'(x) = d(x/x2 + 1) = 1(2x(x2 + 1) - x2 - x/(x2 + 1)2 = -x2 + x/(x2 + 1)2f'(1) = -12 + 1/(12 + 1)2 = 0
Es. al tapposo con prof
Es. 55 pag 335
f(x) = sqrt(1 + x-1/2) . ( - u = x-1/2' f '(x) = 1/2 (1 - x)-1/2 . (-2x) = 1/sqrt(1+x) . f '(x) = -x/sqrt(1+x)
Es. 19 pag 335
f(x) = 1/(x2)2 f `(x) = -3(x+1)-2 . 6x = -3/(x +1)2 = -6x/(x +1)3
Es 57 pag 326
q = -4p/3 p: prezzo per cubico in euro
- usa stimabile anche valore di p derivato di R`(60). R(p): p = - 4/3p + 30p
- Trovo p = 60 - 6 = p + 80 = 4/3 p = 15€
R'(p) = - 2 4/3 p + 80 = -2/3 p + 80
15 + 80 = 20 + 80 = 108 una di p = 15
b) utilizzo q per troare dp/dp q =60
per padre R a q di p - 0 q = -1/3 p + 80 2/3 p - 80 = p - 60 = 3/4 q
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