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Numerosi studi hanno cercato di mettere in evidenza come alcuni uccelli potrebbero utilizzare

il concetto di numero nella loro esistenza quotidiana. È il caso, ad esempio, delle folaghe che

secondo una ricerca utilizzerebbero il concetto di numero per decidere o meno di deporre un

ulteriore uovo, effettuando una sorte di confronto tra le uova deposte e il numero di uova di

altri uccelli parassiti. Uno dei primi ricercatori ad accorgersi delle capacità numeriche degli

uccelli fu lo zoologo tedesco Otto Koehler. In un esperimento addestrò un corvo a riconoscere

il numero di punti presenti su un cartoncino, uguale a quello posto su una scatola contente del

cibo. La ricercatrice Irene Pepperberg addestrò invece, un pappagallo a ripetere il numero

degli oggetti che gli venivano mostrati, compito che prevedeva non solo la capacità di

distinguere e di discriminare le numerosità ma anche di associare la risposta vocale a ciascun

numero. Inoltre, molte specie di uccelli mostrano di possedere capacità numeriche

semplicemente attraverso il conteggio di quante volte ripetono una certa nota nel loro canto,

Infatti, i canti degli uccelli contengono sequenze stereotipate.

Numerosi studi si sono interessati alle capacità discriminatorie dei delfini. Nell’esperimento di

Kilian e colleghi un delfino (Tursiops truncates) veniva sottoposto a discriminare tra un insieme

di cinque oggetti e un insieme di due. I delfini, erano in grado di individuare l’insieme più

numeroso anche di fronte a configurazioni nuove su cui non erano stati addestrati,

dimostrando in tal modo come alla base delle loro scelte vi fosse l’esclusivo affidamento a

competenze numeriche. Qualche anno dopo, lo stesso gruppo di ricerca si propose di indagare

se ci fosse una particolare specializzazione emisferica nell’elaborazione dell’informazione

numerica. Si chiedeva ai delfini di effettuare una discriminazione tra 2 elementi vs 5. I risultati

mostrarono che l’animale era in grado di effettuare la discriminazione 2 vs 5 sia con l’occhio

destro che col sinistro ma, viceversa, avevano mostrato una asimmetria nel secondo compito 3

vs 4 con una prestazione migliore quando gli stimoli venivano analizzati con l’occhio destro. Da

ciò si concluse che vi è una specializzazione dell’emisfero sinistro. Si è mostrato infine, come i

delfini siano capaci di eseguire dei giudizi di ordinalità (si addestrarono dei delfini, tramite un

rinforzo alimentare, a scegliere di volta in volta la minore quantità tra due stimoli).

Ulteriori studi, da parte di Claudia Uller e colleghi sono stati condotti sulle salamandre dal

dorso rosso, cosa che risulta sorprendente visto la lontananza di questa specie nella catena

evolutiva. In questo esperimento, le salamandre venivano inserite all’interno di un corridoio

alle cui estremità si trovavano due contenitori contenenti una diversa quantità di stimoli di

natura alimentare, in questo caso moscerini della frutta. Gli autori hanno osservato che le

salamandre si avvicinavano verso la numerosità maggiore quando vi erano posti ad es. tre

moscerini invece che due. Ma è probabile, che uno o più moscerini si muovino, quindi la

probabilità che il movimento di un moscerino su tre attiri la salamandra è maggiore rispetto al

gruppo composto da solo due moscerini.

Inoltre, secondo alcuni autori non è corretto parlare di cognizione numerica se la

rappresentazione numerica in questione non può essere addizionata, sottratta o quanto meno

ordinata. Allo stato attuale la maggior parte dei ricercatori hanno concentrato i loro studi su

questo aspetto concentrandosi sulle capacità numeriche dei primati non umani.

1.4 Scimmie matematiche

In un famoso esperimento Brannon e Terrace valutarono le abilità di due scimmie di ordinare

coppie di numeri, presentati su un monitor, compresi tra 1 a 9. Inizialmente le scimmie

imparavano a toccare sul monitor gli insiemi presentati: dal più piccolo al più grande, da 1 a 4

unità. Successivamente, nella seconda fase dell’esperimento, alle scimmie venivano presentate

nuovi insiemi. I risultati hanno messo in evidenzia che le scimmie, riuscendo a generalizzare

queste operazioni a partire dalle prime prove, sono ugualmente capaci di ordinare le nuove

immagini, da quelle che ne contengono di meno a quella che ne contiene di più, sanno quindi,

rappresentarsi la numerosità degli stimoli. Tuttavia, gli stessi Brannon e Terrace hanno notato

che, se viene dato alle scimmie il compito di ordinare le immagini in ordine discendente,

l’animale non è più capace di generalizzare la sua conoscenza. Inoltre, nonostante un lungo e

intenso addestramento, la scimmia non imparava mai a rispondere all’ordine arbitrario (ad

esempio 4-1-3-2). Gli autori hanno avanzato due possibili spiegazioni di questo fenomeno: o

l’ordine crescente è presente negli animali in maniera troppo forte per poter essere inibito;

oppure la difficoltà deriva dalla necessità di identificare ciascuno numero prima di poter

rispondere. Infatti, per ordinare le immagini nell’ordine crescente, non è necessario sapere che

l’uno contiene 1 elemento, l’altro 2 e così via. Al contrario, per ordinare le immagini nell’ordine

4-1-3-2, bisogna che l’animale sappia identificare la cardinalità di ciascun elemento.

Recentemente Jordan e Brannon hanno addestrato dei macachi rhesus a “puntare” sul monitor

l’insieme di oggetti che più si avvicinava alla numerosità di un campione di riferimento. Si è

notato come i macachi riescano a risolvere questo tipo di compiti ma, tuttavia, variabili come

tempo e accuratezza risentono fortemente della legge della “proporzionalità” (il livello di

confusione tra due numeri, misurata dalla percentuale di risposte corrette nei compiti di

confronto, dipende unicamente dal quoziente tra i due stessi numeri. Più il quoziente è vicino

ad 1, maggiore sarà la possibilità che i due numeri vengano confusi. La legge, presuppone

anche l’importanza del formato: quando si stabilisce la distanza fra due numeri, il loro

quoziente è tanto più vicino ad 1 quanto più i numeri sono grandi). Essa, viene spesso confusa

con la legge di Weber (la distanza che separa uno stimolo da un altro stimolo più vicino, dal

quale però può essere distinto, è proporzionale al valore dello stimolo di riferimento).

Alla base di tutti i giudizi di numerosità esistono, quindi, due principi che sembrano riscontrare

un ruolo importante tanto negli animali quanto nei bambini e negli adulti:

1. Principio della “distanza numerica”, la discriminazione tra due grandezze numeriche

migliora all’aumentare della distanza tra i due gruppi. Pertanto, è più facile distinguere

due elementi da cinque elementi piuttosto che quattro elementi da cinque elementi.

2. Principio “del formato” o della “magnitudo”, a parità di distanza fra due numeri, la

discriminazione fra questi peggiora all’aumentare degli stessi. Risulta ad esempio, più

difficile individuare quale insieme sia più numeroso tra dieci, undici unità, piuttosto che

tra due, tre unità, questo nonostante la distanza fra il primo e il secondo gruppo sia

sempre pari a 1.

Per quanto riguarda invece, l’abilità additiva delle scimmie uno dei primi esperimenti fu

condotto dai primatologi Woodruff e Premack: si mostrava come uno scimpanzé fosse

capace di risolvere differenti problemi, gettando le basi di quella che sarà

successivamente chiamata “Teoria della Mente”. Nell’esperimento, due scimpanzé

dovevano scegliere tra due oggetti quello fisicamente identico ad un terzo. Dopo

questa prima fase, ai soggetti veniva mostrato un bicchiere riempito a metà con un

liquido blu e veniva loro chiesto di decidere tra due possibili alternative, vale a dire, o

metà mela o un quarto di mela. Gli scimpanzé nella maggioranza dei casi sceglievano

metà mela, basando la loro scelta sulla corrispondenza concettuale di metà bicchiere e

metà mela, mostrando in tal modo che essi sapevano riconoscere il concetto di frazione

numerica. Una ricerca più recente su tutte e quattro le specie di scimmie

antropomorfe ha infine dimostrato che queste sono in grado di scegliere l’insieme più

numeroso, sia attraverso dei test di scelta spontanea simultanea (quando si presentano

parallelamente due gruppi), sia nei test in cui gli stimoli vengono presentati

sequenzialmente.

Di contro a questo tipo di metodologia sovente, si fa uso di un paradigma di ricerca

ideato nella ricerca cognitiva sui bambini in età pre-verbale, cioè il cosiddetto principio

di “violazione dell’aspettativa”. Jonathan Flombam e colleghi hanno utilizzato questa

procedura per indagare la capacità di calcolo spontaneo nei macachi rhesus: gli autori

mostrano agli animali una scatola dove vengono aggiunti successivamente uno dopo

l’altro dei limoni. Durante il test, il contenuto della scatola è coperto da uno schermo

che viene abbassato solo in un secondo momento, rivelando il risultato della somma

attesa o al contrario un altro risultato inesatto. In questo test le scimmie guardano con

maggiore attenzione verso la scatola se il risultato differisce “sufficientemente” dalla

somma attesa.

Da molti punti di vista allora, le capacità numeriche delle scimmie possono sembrare

simili a quelle umane differiscono da esse per la mancanza nelle scimmie di un sistema

di numerazione. A partire da queste considerazioni alcuni autori, si sono posti

l’ambizioso progetto di insegnare agli scimpanzé la notazione simbolica. Ad esempio,

uno scimpanzé di nome Sheda era stato addestrato ad accoppiare delle numerosità con

numeri arabi. Nella prima fase dell’esperimento gli autori mostravano a Sheda delle

arance, il compito dell’animale era quello di associare le arance alla cifra

corrispondente. Nella seconda fase, Sheda non trovò più le arance bensì delle cifre

arabe, riuscì ugualmente a fornire le risposte esatte.

In conclusione, le ricerche sembrano mettere in discussione l’idea secondo la quale il

sistema rappresentativo alla base delle competenze numeriche è esclusivamente

umano. Tuttavia, per quanto tutti questi risultati possano apparire sorprendenti non

possiamo affermare che scimpanzé, delfini, topi etc.. abbiano le stesse capacità

numeriche degli umani, poiché tali risultati dipendono da un processo lungo e

complicato che richiede anni di addestramento.

2.L’innato senso del numero

2.1 L’abilità di calcolo dei bambini

Le strategie di calcolo di cui finora abbiamo parlato costituiscono quelle che in psicologia cognitiva

si chiamano “abilità procedurali” cioè sequenze d’azioni utilizzate per risolvere alcuni problemi. Al

contrario, si intende per “conoscenza concettuale” la comprensione dei principi che governano

un particolare dominio d’attività. Alcuni autori sostengono che l’aritmetica costituisca un

“dominio” privilegiato le cui competenze sono state favorite dall’evoluzione. Questa concezione

ha, tuttavia, i suoi detrattori che privilegiano l’ipotesi della “frequenza d’esposizione” secondo la

quale, alcune competenze si sviluppano precocemente perché è l’ambiente a fornire numerose

opportunità d’osservazione e imitazione. Quindi, tale ipotesi sostiene che le abilità procedurali si

siano sviluppate prima delle conoscenze concettuali. Per lungo tempo, si è sostenuto che il

bambino nascesse vergine di tutte le conoscenze sul mondo, in particolar modo le competenze

matematiche essendo quest’ultime molto complesse. L’approccio storico più rilevante secondo

questa prospettiva è stato quello proposto da Jean Piget. La tesi di Piaget è, infatti, che

l’acquisizione del concetto di numero si sviluppa per tappe successive al consolidarsi delle

strutture logiche. Lo sviluppo cognitivo del neonato o dell’adolescenze è costituito da una

successione di stadi:

 Lo stadio senso-motorio (0-2 anni), in cui il neonato interpreta il mondo che lo circonda

sulla base dei suoi sensi e delle sue azioni.

 Lo stadio di preparazione (2-7 anni) che costituisce lo stadio pre-operatorio del pensiero

intuitivo (il ragionamento è guidato dall’intuizione percettiva).

 Lo stadio delle operazioni concrete (8-11 anni) in cui il bambino è capace di annullare

l’effetto di un’azione concreta.

 Lo stadio delle operazioni formali (a partire dai 12 anni) in cui il ragionamento logico

sostituisce il ragionamento basato sugli oggetti concreti come accadeva negli stadi

precedenti.

In sintesi, il bambino acquisisce una reale rappresentazione del numero nel momento in cui è in

grado di superare lo scoglio della conservazione della quantità e questo avviene, secondo Piget, a

partire da 7-8 anni (stadio operatorio concreto).

Diversamente, altri studiosi avanzano l’ipotesi dell’esistenza di una certa predisposizione dei

bambini al concetto di “quantità” sin dalla loro nascita anche se è possibile rintracciare due diversi

punti di vista teorici: la teoria dei principi-prima (afferma che i principi alla base delle capacità

numeriche sono innati e dunque presenti nel bambino ancora prima che questo abbia una

qualunque esperienza concreta) e la teoria dei principi-dopo (i principi sono progressivamente

astratti da una pratica ripetute di procedure acquisite per imitazione).

Secondo questo modello, i bambini avrebbero pertanto una conoscenza implicita dei principi di

enumerazione, simile a quella implicita della grammatica di una lingua (Chomsky). Gallistel e

Gelman evidenziano, inoltre, un secondo parallelismo tra le conoscenze linguistiche e quelle

matematiche: nello stesso modo in cui la grammatica permette di produrre un’infinità di frasi

nuove, la conoscenza dei principi permetterebbe di generare le strategie di enumerazione

adattandole ai diversi compiti. La riuscita di un compito non implica del resto l’utilizzo della parola;

quindi, la competenza per le enumerazioni non è linguistica ed è proprio per questo motivo che

essa è accessibile agli animali e ai bambini.

2.2 La discriminazione delle quantità

Anche gli esseri umani, sono dotati di un sistema omologo a quello degli animali per rappresentare

le quantità. Tuttavia, l’uomo possiede diverse capacità aritmetiche che sorpassano di molto le

conoscenze rudimentali degli animali. Nell’esperimento di Starkey e Cooper, venivano mostrati a

bambini di 4 mesi, un certo numero di volte e in successione, immagini contenenti 2-3 puntini.

Quando la numerosità dell’immagine cambiava, i bambini rivolgevano, per un tempo

significativamente maggiore, la loro attenzione verso lo stimolo. Analoghi esperimenti vennero

sottoposti a bambini nati da alcuni giorni ottenendo i medesimi risultati. Quindi, questi esperimenti

vorrebbero dimostrare che, ancora prima dell’uso del linguaggio e del conteggio, si sviluppa nel

bambino la consapevolezza della numerosità. Tuttavia, negli esperimenti sopra citati mancano

alcuni test di controllo sui parametri non numerici. Infatti, in un ulteriore esperimento si notò come

i bambini mostravano un maggior interesse quando la quantità di materia cambiava (ma la

numerosità restava la stessa), ed erano, al contrario, indifferenti quando a cambiare era la

numerosità. Tuttavia, tre anni dopo il suo primo esperimento Starkey introdusse una variante: dei

bambini di sette mesi guardavano con maggior interesse l’immagine contenente tanti oggetti

quanto il numero di suoni che avevano sentito nella sequenza uditiva (stimolo uditivo, sequenze di

due o tre suoni di tamburo). La rappresentazione della quantità era quindi, amodale ovvero comune

alla visione a all’udito. Inoltre, così come avevamo notato negli animali, sarà in quoziente tra i due

numeri a predire se le numerosità vengono distinte o meno. In condizioni sperimentali, i bambini di

sei mesi distinguono 16 punti da 32 ma confondono 16 punti da 24 (sono capaci di distinguere le

numerosità più grandi solo se il loro quoziente è sufficientemente grande). Un cambiamento

importante avviene nel passaggio dai sei ai nove mesi (periodo in cui comincia anche la competenza

linguistica).

2.3 Operazioni aritmetiche

Ci si può domandare se i bambini siano capaci d’effettuare operazioni aritmetiche con le

numerosità e se siano in grado di ordinarle. La dimostrazione più eloquente è stata intrapresa

dalla ricercatrice americana Karen Wynn. In un esperimento, bambini di 5 mesi d’età

osservavano un teatrino per pupazzi. Inizialmente, il teatrino era vuoto e la ricercatrice vi

posizionava un pupazzo, dopodiché veniva fatto salire lo schermo e introdotto un secondo

pupazzo. A questo punto, lo scherzo veniva riabbassato e si mostravano ai bambini due pupazzi. La

sequenza veniva ripetuta parecchie volte ma in alcuni casi i pupazzi mostrati ai bambini

rappresentavano dei risultati impossibili (ad es. 1+1=3), in questi casi i bambini fissavano la scena

per un tempo maggiore. Wynn ottenne gli stessi risultati anche per quanto riguarda le capacità di

sottrazione. A seguito di questo esperimento furono avanzate tre teorie:

1. La prima teoria, proposta dalla stessa Wynn, avanza la tesi di una rappresentazione

astratta della numerosità secondo cui i bambini rappresentano ciascuna quantità

realizzando su queste delle operazioni mentali.

2. La seconda teoria, proposta da Alan Leslie e colleghi, si ispira alla teoria degli

“indicatori attenzionali” secondo la quale si individua un oggetto grazie appunto ad un

indicatore che ci permette di seguire gli spostamenti degli oggetti. Pertanto i bambini

possiedono una sorte di fisica innata che ha come compito la permanenza degli oggetti:

essi infatti, seguono gli oggetti e adattano la loro attenzione quando dei nuovi oggetti

vengono aggiunti o ritirati.

3. La terza teoria, proposta da Cohen e Marks i quali hanno interpretato i dati di Wynn

come il risultato di un processo di “basso profilo”, vale a dire come la prova della

preferenza mostrata dai bambini per gli stimoli che vengono presentai per ultimi (i

bambini guardavano per più tempo il risultato “1” nella condizione “1+1=2 vs 1” non

perché erano sopresi ma semplicemente perché avevano visto una figura all’inizio della

prova).

Tuttavia, nonostante le numerose critiche, l’ipotesi di Wynn ha ricevuto numerose conferme

sperimentali, che hanno mostrato la presenza nei bambini di un sistema in grado di rappresentare

la numerosità non solo con i numeri piccoli ma anche con numerosità più grandi. In un

esperimento, dei bambini di cinque mesi venivano sottoposti ad un test di addizione e sottrazione

approssimativa con numerosità 5+5 e 10-5. Venivano presentati ancora una volta dietro uno

schermo, degli oggetti che cambiavano continuamente formato. Una volta nascosti gli oggetti

dietro lo schermo, gli autori aggiungevano a questo primo gruppo altri oggetti (condizione di

addizione), oppure nascondevano alcuni di questi (condizione di sottrazione). Una volta abbassato

lo schermo si notò come i bambini guardavano con attenzione quando il risultato presentato non

era corretto. Una conferma delle

competenze di riconoscimento delle numerosità e delle abilità nel conteggio già nel primo anno di

vita è altresì dimostrato da un esperimento di Elizabeth Brannon che, utilizzando il paradigma di

abituazione, dimostra che a partire dagli undici mesi i bambini possiedono in concetto di ordinalità

(sono in grado di differenziare tra una sequenza di numerosità crescente e una decrescente).

2.4 Il sistema approssimativo e quello esatto

Dahaene ha proposto un modello in cui si postula la presenza di due diversi sistemi di

rappresentazione numerica: il sistema approssimativo-analogico che permette un conteggio

approssimativo, non esatto. Esso è cultura e linguaggio indipendente ed è reso possibile da un

organo del nostro cervello preposto alla percezione e alla rappresentazione delle quantità

numeriche, le cui caratteristiche lo collegano alle facoltà proto-aritmetiche presenti nei neonati e

negli animali. Il sistema esatto-simbolico, dipende dalla cultura e dall’apprendimento di simboli e

regole quindi strettamente legato al linguaggio e pertanto tipico degli esseri umani adulti. L’ipotesi

di Dahaene è che gli esseri umani siano provvisti di un “senso matematico” che essi condividono

con altre specie animali e che questo istinto sia l’espressione del funzionamento di un “organo

mentale”, un insieme di circuiti cerebrali, che funziona come accumulatore, vale a dire una sorta

di contatore approssimativo che ci permette di percepire, memorizzare e confrontare grandezze

numeriche. Consideriamo, a tal proposito, la metafora del serbatoio d’acqua: ciascuna quantità

che deve essere contata deve essere immaginata come una quantità d’acqua che viene aggiunta in

un serbatoio; segnando il livello dell’acqua sarà possibile confrontare raccolte di diverse

dimensioni. L’accumulatore opererebbe quindi registrando eventi: una goccia d’acqua per ogni

evento. Tuttavia, poiché tale sistema non riesce a rappresentare il livello esatto di impulsi, il

funzionamento di questo meccanismo sarà caratterizzato da due diversi effetti: l’effetto distanza

(più la differenza tra i due insiemi da confrontare sarà minima, maggiore sarà il livello di difficoltà

nel distinguerle), l’effetto grandezza (sarà più difficile distinguere questi insiemi quanto più

saranno maggiori le dimensioni). L’accumulare non riesce quindi ad essere preciso poiché esso

non riuscirebbe a rappresentare il livello esatto di impulsi. Ma qual è il rapporto tra l’accumulatore

e l’evoluzione delle conoscenze matematiche? Dahaene riporta una serie di esperimenti con

l’intento di dimostrare come la nostra capacità di calcolo utilizzi risorse differenti per la

rappresentazione dei primi tre numeri. Gli esseri umani non contano i numeri fino a tre ma al

contrario, ne percepiscono immediatamente la presenza. Per i numeri da 4 a 6, il tempo aumenta

costantemente di 300 ms che è il tempo necessario per processare e quindi, contare ogni singolo

numero. Per i numeri dopo il 7, i tempi di risposta rimangono uguali, mentre aumenta

notevolmente la percentuale di errore. Il termine tecnico per indicare questo processo è

subitizing (subitizzazione) termine che deriva dal latino subitus e sta ad indicare un processo

rapido e accurato di riconoscimento delle numerosità di insiemi costituiti da un massino di 6

elementi. Alcuni autori hanno riscontrato che il subitizing è più forte quando gli oggetti emergono

chiaramente dallo sfondo, ma non quando la distinzione degli item richiede un processo attentivo,

come ad esempio contare le lettere “O” in mezzo a lettere-distrattore “Q”. Trick e Pylyshyn

propongono una spiegazione differente dello sviluppo del subitizing. Secondo questi autori il

subitizing e l’enumerazione sono due effetti della costruzione del sistema visivo umano. In

occasione del trattamento visivo di una scena esisterebbero due tappe: la prima parallela (pre-

attentiva), la seconda periodica (attentiva). Il subitizing dipenderà dalla tappa pre-attentiva, al

contrario l’enumerazione richiederebbe un trattamento attentivo. In occasione della tappa pre-

attentiva, dei marcatori spaziali, FINSTs si assocerebbero agli oggetti. Quando il numero d’oggetti

supera il numero di FINSTs o quando le posizioni degli oggetti non sono chiaramente distinte, si

utilizzerebbe l’enumerazione. Gli adulti disporrebbero soltanto di 4 FINSTs quindi potrebbero

utilizzare il subitizing solo fino a 4. Gli autori non forniscono una spiegazione esaustiva

sull’argomento affermano solo che il numero dei FINSTs potrebbe aumentare con l’età e variare

da individuo a individuo. Un punto di vista ancora più radicale è quello avanzato da Gallistel e

Gelman secondo cui la subitizzazione non è altro che una enumerazione molto rapida che utilizza

delle etichette non verbali, vale a dire un conteggio pre-verbale innato. Il subitizing è inoltre,

influenzato da alcune caratteristiche degli insiemi come, ad esempio, la regolarità e la

concentricità. Infatti, a seconda la disposizione degli oggetti, un insieme di piccola dimensione può

essere percepito come un solo gruppo o al contrario, come diversi sottogruppi. Quando infatti, gli

oggetti sono disposti in maniera irregolare, dei sotto-gruppi emergerebbero a causa della Gestalt

di prossimità: gli oggetti relativamente vicini gli uni agli altri saranno percepiti come formanti un

solo gruppo.

Anche Brian Butterworth, come Dehaene, nel suo modello integra le competenze innate con

quelle apprese utilizzando l’espressione di “cervello matematico” presente in ogni individuo e

costituito da un Modulo Numerico innato e dagli strumenti forniti dalla nostra cultura. Quindi, il

Modulo Numerico rappresenterebbe il nucleo centrale di tutte le conoscenze matematiche.

3.Numeri e linguaggi

3.1 La teoria del bootstrapping

Dehaene resta piuttosto vago quando si tratta di spiegare la genesi della matematica a partire dal

sistema approssimativo o da quello esatto. In alcuni passi, afferma che il circuito delle quantità

approssimative è il circuito matematico di base, vale a dire quello su cui si fondano tutte le

rappresentazioni matematiche: “questo meccanismo fornisce all’uomo un mezzo di partenza che

permette l’acquisizione dei simboli numerici”. Secondo Asifa Majid ed i suoi colleghi vi sono diversi

meccanismi che permettono di oltrepassare le rappresentazioni non verbali e che, pertanto

possono rendere conto dell’acquisizione di nuovi concetti. Il primo meccanismo è l’apprendimento

di nuove parole, in virtù delle quali si riorganizzano differentemente le categorie concettuali.

Anche in matematica, spesso, si procede al raggruppamento di diversi concetti semplici, analoghi,

sotto un solo concetto più astratto. Un secondo meccanismo è quello della scoperta, da parte del

bambino o degli adulti, delle “corrispondenze”. Infatti, il bambino osserva che concetti differenti

sono raggruppati sotto la stessa parola. La teoria del bootstrapping di Suzanne Carey si collega a

questo tipo di spiegazione. Questa teoria, infatti, chiarisce come i bambini, dotati inizialmente del

sistema non verbale, arrivino a comprendere i numeri ed il concetto di numero intero.

Confrontando la loro rappresentazione delle piccole quantità con le prime parole della lista dei

numeri (uno, due, tre), arriveranno a comprendere che ciascun numero della lista corrisponde ad

un quantità e che ciascuna quantità si ottiene a partire da quella precedente aggiungendo 1.

Pertanto, pur essendo d’accordo con Dehaene che il circuito della quantità è il sistema base

dell’aritmetica, la Carey suggerisce che questo sistema si integra con altri sistemi, in primis quello

linguistico, nell’atto di produrre i numeri naturali. Il terzo meccanismo descritto da Majid si basa

sulle possibili relazioni che si possono scoprire tra le differenti rappresentazioni non verbali.

Attraverso le proprietà combinatorie del linguaggio, è possibile esprimere delle relazioni

complesse tra diverse informazioni che derivano da sistemi cognitivi diversi. Il linguaggio

risulterebbe essere importante nel campo della cognizione numerica, per legare tra loro, i

differenti tipi di rappresentazione non verbale dei numeri. Tuttavia, la teoria del bootstrapping

non chiarisce come e quando il linguaggio interagisce con gli altri sistemi cognitivi per dare vita alle

nostre capacità matematiche. Inoltre non è chiaro quale aspetto del linguaggio è implicato

nell’acquisizione della matematica: la semantica, la sintassi, tutte e due? Alcuni autori, ad esempio

Chomsky, Hauser e Fitch, hanno cercato di rispondere a questa domanda rintracciando nella

ricorsività la componente fondamentale dello sviluppo dei sistemi numerici. La ricorsività è una

procedura che si richiama ad una struttura formata a partire da una struttura dello stesso tipo: nel

linguaggio, esempi di frasi ricorsive, sono quelle che contengono delle subordinate concatenate

(ad esempio il regalo, che Elvira, che è una mia amica, mi ha comprato). Allo stesso modo si

possono costituire gli insiemi dei numeri naturali (ad un intero N si associa N+1). La ricorsività,

inoltre, si può anche applicare a nozioni non strettamente linguistiche, ad esempio i colori, quando

si tenta di ottenere gradi sempre più chiari di rosso. Nonostante queste considerazioni però

tendiamo comunque ad associare la ricorsività al linguaggio. L’esempio più indicativo

dell’importanza della ricorsività per la costruzione dei numeri e dei nomi è dato dalla lingua cinese,

in cui i nomi dei numeri più grandi contengono i nomi dei numeri più piccoli.

3.2 L’influenza della cultura e del linguaggio

I numeri pensiamo, sono precisi, ci dicono la verità, non sono esposti a nessuna interpretazione. Se

così fosse allora, i numeri sarebbe soltanto numeri indipendentemente dal contesto di riferimento

e dalla cultura della singola popolazione. Tuttavia, vi sono alcune evidenze che vanno contro

questa concezione di senso comune. Per capire tali differenze, ci rifaremo alla lingua cinese,

partendo dall’idea, in parte veritiera, che esisterebbe un vantaggio da parte di questo popolo e in

generale delle popolazioni asiatiche per quanto riguarda le competenze matematiche. La Cina è il

“sole radioso” che illumina la civiltà del sud-est asiatico, ha infatti al centro della sua cultura il Tao

e la complementarietà (yin-yang) che insieme al Confucianesimo e al Buddismo ne definiscono il

DNA culturale. Le virtù cardinali del mondo orientale possono essere riassunte nel ren

(benevolenza, amore altruistico per l’umanità) e li (correttezza, condotta appropriata). Il li modella

i canali interpersonali attraverso i quali fluisce il ren da persona a persona. Il punto focale dei Tao è

che le coppie contrastanti non sono in opposizione bensì complementari.

Da una parte, quindi, la logica bivalente di Aristotele caratterizza il modo di argomentare delle

cultura occidentale, dall’altra, di contro, i metodi confuciani per la trasmissione del Tao e il libro

dei I Ching (“Libro dei cambiamenti”, fondamentale per comprendere la metafisica cinese). Per

quanto riguarda il linguaggio matematico, gli studiosi sono rimasti affascinati da una caratteristica

molto specifica della lingua cinese: le parole del calcolo cinese seguono una logica strettamente

decimale al contrario di quanto avviene nelle lingue europee. I bambini europei che apprendono a

contare si imbattono in termini sconosciuti “undici, dodici, venti…”. In cinese, al contrario, undici si

dice, per esempio, “dieci-uno” (shi-yi), dodici, dieci-due (shi-er) ecc. I bambini sembrano fare

meno errori nel calcolo e nella risoluzione dei problemi aritmetici. Altra caratteristica importante è

che essa è una lingua tonale: tutte le parole, compresi i numeri, sono in realtà cantati più che

parlati e il tono iuta a determinare il senso. Il cinese è, inoltre, una lingua in cui vengono

sistematicamente utilizzati i termini di misura. È sbagliato ad esempio, dire in cinese 5 libri,

bisogna anche in questo caso intercalare un termine di misura: “cinque + pubblicazione di + libri”.

Si tratta, come abbiamo visto, di una lingua intrinsecamente numerica, gli stessi dizionari sono

organizzati su base numerica.

3.3 La cognizione numerica dei popoli “primitivi”

I filosofi, in origine, supposero che si nominasse soltanto ciò che vediamo e, di conseguenza,

secondo un modus tollens piuttosto discutibile, se un dizionario non comprendeva un termine,

quell’oggetto non era percepibile. I vocaboli sul colore hanno da subito costituito i campo di

sperimentazione privilegiato. È stato Sapir ad avanzare la tesi della relatività linguistica (il

linguaggio influisce o comunque modella la cognizione e il pensiero. Alcuni popoli della

Groenlandia, gli Inuit, dispongono di un linguaggio che permette loro di distinguere più di venti tipi

di neve). Secondo Pinker il linguaggio non è altro che uno strumento per poter esprimere le

proprie idee e comprendere quelle degli altri. Tuttavia, la posizione relativista è stata contestata

da Berlin e Kay, secondo i quali, a proposito dei termini per denotare i colori, esisterebbe un

lessico universale. Uno studio recente, condotto su quasi 110 lingue, il WCS (World Color Survey) è

arrivato a tre conclusioni: 1) ci sono dei raggruppamenti (categorie) translinguistici significativi,

attorno ad alcuni punti privilegiati dello spazio colorato 2) questi punti sono, a loro volta, simili nei

linguaggi orali di comunità non industrializzati, sia in quelli scritti di società industrializzate 3)

questi punti si situano in prossimità di quei colori nominati rosso, giallo, verde, marrone… Come

spiegare quindi che si percepiscono gli stessi colori pur usando linguaggi diversi? Secondo alcuni

linguisti, gli esseri umani condividerebbero la stessa “mentalità”, lo stesso “linguaggio della

mente”.

Al contrario dei numeri, il caso dei colori è talvolta segnalato come l’esempio migliore e

paradigmatico di qualcosa che è appunto proprietà persistente degli oggetti fisici. Frege, scriveva

nei “Fondamenti” che tra numero e colore vi era certamente qualche analogia, ma, in ultima

analisi, solo il colore era proprietà degli oggetti percepibili coi sensi. I numeri si differenziavano dai

colori anche per un aspetto di sicuro più banale rispetto alle idee di Frege: i colori sono un insieme

finito (blu, rosso, verde…), i numeri sono infiniti.

3.4. I Mundurucuru

I Mundurucuru sono una popolazione che vive in un territorio autonomo dello stato di Para

(Brasile), la cui lingua possiede nomi soltanto per i numeri che vanno dall’uno al cinque. Alcuni di

loro parlano più o meno bene il portoghese e i bambini ricevono un’istruzione elementare fino a

10 anni nella loro lingua madre, mentre in seguito la loro istruzione continua in portoghese. Il

livello di bilinguismo è variabile: in generale le persone anziane, le donne e i bambini sono

monolingue, mentre gli adulti hanno qualche nozione di portoghese. Per quanto riguarda i numeri,

molti indigeni conoscono le sequenze dei numeri in portoghese anche se non le utilizzano.

L’équipe di studiosi ha sottoposto 55 indigeni di Mundurucuru a dei test. Nel primo esperimento,

atto a testare il livello di conoscenza del lessico numerico, i soggetti furono divisi in diversi gruppi:

due gruppi di adulti e bambini strettamente monolingue e senza istruzione vennero confrontati ad

adulti e bambini parzialmente bilingue e istruiti. Venne previsto anche un gruppo di controllo

composto da adulti francesi. In questo test, vennero presentati degli stimoli contenenti da 1 a 15

punti, distribuiti in maniera del tutto casuale, e si domandava loro quanti punti ci fossero. Essi

usavano espressioni vaghe ad esempio poco, molto, una certa quantità. Pertanto, se è vero che i

concetti legati al numero emergono soltanto quanto ci sono dei numerali disponibili, allora

dovremmo attenderci che i Mundurucuru presentino grandi difficoltà nel trattare i grandi numeri.

Un esperimento dimostra il contrario. Due insiemi venivano presentati simultaneamente: un

insieme di sinistra nero e un insieme di destra rosso. Veniva allora chiesto quale dei due insiemi

contenesse più punti. Per rendere il compito più difficoltoso veniva variato il rapporto tra le

numerosità da confrontare (R=1,2; 1,3; 2,0) e venivano utilizzate tre coppie di numerosità di

formato differente (piccoli: 20-30 punti; medio: 30-60; grande 40-80). Le risposte dei partecipanti

non mostravano differenze significative: questo suggerisce che il livello di bilinguismo e di

istruzione non modifica le prestazioni. Nel gruppo di controllo occidentale, la prestazione variava a

secondo dell’effetto di distanza. Nei Mudurucuru accadeva la stessa cosa quando il rapporto tra le

numerosità da confrontare passava da 2 a 1,5; 1,3 o 1,2. Anche i tempi di risposta variavano: si era

più rapidi nella risposta per i numeri lontani piuttosto che per quelli vicini.

In seguito vennero esaminate le loro capacità di operazioni approssimative con i grandi numeri.

Veniva mostrato un barattolo per conserve vuoto; dall’alto di uno schermo due insiemi di punti

andava a cadere sul barattolo posto in posizione verticale. I due insiemi di punti non comparivano

mai simultaneamente ma si seguivano immediatamente nel tempo. Dopo alla destra del barattolo

compariva un altro insieme di punti. I partecipanti dovevano indicare se si avevano più punti

dentro o fuori dal barattolo. Tutti i gruppi ottennero una buona prestazione. Detto ciò, possiamo

affermare che i Mundurucuru non hanno difficoltà ad addizionare e a confrontare quantità

approssimative, anzi posseggono la stessa precisione del gruppo di controllo occidentale. Ciò

dimostra che una competenza numerica sofisticata può esistere, benché approssimativa, anche in

assenza di un lessico numerico altamente sviluppato.

I Mundurucuru, non praticano il conteggio (così come i bambini). Quando gli elementi vengono

aggiunti uno per uno e il totale viene nascosto essi, non dovrebbero più essere capaci d’accedere a

questa numerosità se è maggiore di 4. Pica e colleghi utilizzarono un test: si mostravano due


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DESCRIZIONE APPUNTO

Riassunto per l'esame di filosofia della scienza, basato su appunti personali e studio autonomo del testo consigliato dal docente Mario Graziano: Pitagorici si nasce (l'origine naturale del sapere matematico), Graziano.

Gli argomenti trattati sono i seguenti:
1) I numeri senza linguaggio
2) Il senso innato del numero
3) Comparazione tra l'uso dei numeri e l'uso del linguaggio
etc.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in scienze della comunicazione: editoria e giornalismo
SSD:
Università: Messina - Unime
A.A.: 2016-2017

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher luigitripix di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Filosofia della scienza e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Messina - Unime o del prof Graziano Mario.

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