Riassunto esame Economia del Mercato Mobiliare, prof. Venturelli, libro consigliato Economia del Mercato Mobiliare, Banfi A., Nadotti L., Tagliavini G., Valletta M., Seconda parte

N TITOLI IN PORTAFOGLIO

RISCHIO DI UN SINGOLO TITOLO E RISCHIO DI UN PORTAFOGLIO

Suddivisione fondamentale del rischio di un titolo in:

• Rischio sistematico, di mercato, non diversificabile

• Rischio specifico, non sistematico, diversificabile

Sebbene esistano molteplici ragioni alla base della discrepanza tra rendimento atteso e rendimento realizzato

effettivamente, possiamo raggruppare le fonti di rischio in due categorie.

In un contesto di portafoglio è possibile eliminare in parte o tutto il rischio specifico, grazie alla diversificazione

consentita dalla non perfetta correlazione tra i titoli.

Perché la diversificazione riduce/elimina il rischio specifico?

a) Una spiegazione intuitiva

b) Una spiegazione più rigorosa

EFFETTO NUMEROSITÀ

Come si modifica il rischio di portafoglio, quando il numero dei titoli aumenta?

Hp: costruiamo un portafoglio equiponderato, in cui ciascuno degli [n] investimenti inclusi nel portafoglio ha un

peso pari a [1 / n]

a) Il primo termine è la sommatoria delle varianze, rapportato a [n] ovvero al numero di titoli in

portafoglio. Si tratta della varianza media.

b) Il secondo termine corrisponde alla somma delle covarianze, rapportato a [n * (n – 1)] che corrisponde

al numero di covarianze all’interno del portafoglio. Si tratta della covarianza media.

Ipotizziamo di costruire un portafoglio molto grande, con [n] che tende a infinito. Divido poi l’analisi nelle due

parti: varianze e covarianze.

1. Se N aumenta la VARIANZA di Portafoglio si APPROSSIMA alla COVARIANZA MEDIA

2. Se la covarianza media fosse zero, sarebbe possibile eliminare tutto il rischio detenendo un numero

sufficiente di titoli

3. Purtroppo le azioni hanno andamenti concordi e non indipendenti tra di loro ossia sono positivamente,

sebbene non perfettamente, correlate

4. La varianza totale di un titolo o di un portafoglio può essere scomposta in due parti:

a) Rischio sistematico (o di mercato o non diversificabile)

b) Rischio non sistematico (o specifico o diversificabile)

IL RISCHIO SISTEMATICO O DI MERCATO E’ LA COVARIANZA MEDIA TRA TUTTE LE AZIONI

FRONTIERA EFFICIENTE CON N TITOLI

Dato il totale dei titoli presenti sul mercato, che non sono quasi mai perfettamente correlati tra loro, e

combinandoli tra loro si ottiene un insieme di portafogli possibili (opportunity set). Tuttavia non tutti i

portafogli sono efficienti.

Tra questi se prendiamo quelli che a parità di rendimento offrono un rischio (atteso) minore e che a parità di

rischio offrono un rendimento (atteso) maggiore, otteniamo la Frontiera Efficiente.

La Frontiera efficiente rappresenta pertanto il LUOGO GEOMETRICO dei punti ciascuno dei quali non è

dominato da altri.

Investire nel punto D non è efficiente, perché L, a parità di rischio, mi dà un rendimento maggiore.

Selezione del portafoglio ottimale

2 portafogli efficienti (che si collocano sulla frontiera efficiente) non è detto che siano ugualmente desiderabili.

L’investitore sceglierà infatti in base alle sue preferenze definite da un insieme di curve di indifferenza.

Una curva di indifferenza rappresenta il luogo dei punti combinazione tra rendimento e rischio che presentano

la stessa utilità attesa.

Il portafoglio ottimale si collocherà nel punto di tangenza tra la frontiera efficiente e la curva di indifferenza più

alta.

IN SOSTANZA il portafoglio che concretamente un investitore sceglierà dipende:

A. Dalla frontiera efficiente

B. Dalla sua propensione al rischio sintetizzabile tramite la mappa delle curve di indifferenza

Tangenza tra frontiera efficiente e curve di indifferenza

PROPRIETÀ CURVE DI INDIFFERENZA

a) Derivano da un funzione di utilità quadratica

b) Hanno un’inclinazione positiva per via del rischio

c) Sono convesse, ossia al crescere del grado di curvatura cresce il rendimento richiesto per il rischio

PROPRIETÀ FRONTIERA EFFICENTE

a) È una funzione crescente del rischio (ipotesi di avversione al rischio + rischio + rendimento atteso)

b) È una funzione concava mai convessa in quanto al crescere del rischio aumenta il rendimento, ma in

misura meno che proporzionale CAPM

CAPITAL ASSET PRICING MODEL

Rispetto alle ipotesi della Portfolio Selection di Markowitz, il CAPM introduce la possibilità di investire in titoli

privi di rischio. Per un investitore è quindi possibile combinare un’attività finanziaria avente volatilità nulla

rispetto al proprio rendimento atteso con un portafoglio composto da soli titoli rischiosi, posto lungo la

frontiera efficiente delineata da Markowitz.

ASSUNZIONI RELATIVE AL COMPORTAMENTO DEGLI INVESTITORI

Gli investitori sono soggetti avversi al rischio che sono in grado di massimizzare la loro utilità attesa operando

secondo il principio media-varianza

ASSUNZIONI RELATIVE ALL’OPERATIVITA’ DEI MERCATI FINANZIARI r

• Esiste un investimento privo di rischio al cui tasso di rendimento ( ) gli operatori possono sia investire

f

sia prendere a prestito

• Non esistono costi di transazione

• Non esistono lotti minimi di negoziazione

• Non esistono imposte

• Non esistono restrizioni alle vendite allo scoperto

• Ogni forma di investimento è negoziata sul mercato finanziario

• Aspettative omogenee; tutti concordano sui valori dei rendimenti attesi, delle varianze e covarianze tra

i singoli titoli

• Tutti gli investitori sono price –taker

RISULTATI DEL CAPM: r

a) Tutti gli investitori ripartiscono la loro ricchezza tra l’attività priva di rischio [ ] e un unico portafoglio

f

di rendimenti rischiosi, denominato portafoglio di mercato [M] nel quale sono inclusi tutti gli

investimenti disponibili

b) Il rendimento atteso su tutti gli investimenti è funzione della covarianza tra rendimenti degli

investimenti e rendimenti del portafoglio di mercato

TASSO DI INTERESSE PRIVO DI RISCHIO, r f

Fino a questo punto abbiamo ragionato sulla base dell’ipotesi di investimento in soli titoli rischiosi.

Un investitore potrebbe però voler “modulare” in modo più fine il rischio del proprio portafoglio. Questo “fine

tuning” può essere fatto ricorrendo a titoli privi di rischio.

In questo modo l’investitore può costruire un portafoglio con qualunque livello possibile di rischio [σ].

ESEMPIO:

FACENDO VARIARE [X ] E [1 – X ] POSSIAMO TROVARE TUTTE LE POSSIBILI COMBINAZIONI

r r

SE ORA AMMETTIAMO LA POSSIBILITÀ DI INDEBITARCI AL TASSO r f

Quale sarà lo scarto quadratico medio (il rischio) di un portafoglio composto da titoli rischiosi e free-risk?

Se ammettiamo la possibilità di investire/pendere a prestito al tasso [r ], possiamo costruire un portafoglio che

f

sia combinazione di una certa quantità di un portafoglio di titoli rischiosi [x ] ed una certa quantità del titolo

r

risk-free [1 – x ]

r

Definiamo il rendimento del portafoglio misto P, come media ponderata dei rendimenti degli asset che lo

compongono.

Il titolo privo di rischio ha varianza nulla.

La standard deviation del portafoglio composto dal titolo RISK FREE e dal portafoglio rischioso dipende quindi

dalla volatilità di quest’ultimo, moltiplicata per il peso assunto nel portafoglio P.

Quest’ultima consente di calcolare il rendimento atteso del portafoglio misto in funzione del proprio grado di

rischio, misurato dalla standard deviation. Quest’ultima dipende dallo scarto quadratico medio e dalla quota

assunta nel portafoglio P dal portafoglio M, composto da soli titoli rischiosi.

È l’equazione di una retta avente come variabile dipendente il rendimento del portafoglio misto e come

variabile indipendente la volatilità di tale portafoglio.

L’intercetta è data dal rendimento del titolo privo di rischio mentre la pendenza è il sovra rendimento atteso,

rispetto al tasso privo di rischio, del portafoglio rischioso, rapportato alla propria standard deviation.

Il grafico riporta la frontiera efficiente delineata da Markowitz, e sull’asse delle ordinate, il punto [r ] ovvero la

f

combinazione rischio-rendimento che caratterizza il titolo privo di rischio.

L’analisi effettuata riguarda un singolo investitore, nella realtà ci sono infiniti investitori.

Se ipotizziamo che tutti gli investitori abbiano le stesse informazioni complete ed esista una situazione di

concorrenza perfetta, essi avranno aspettative omogenee.

Ciò significa che:

1) TUTTI si troveranno davanti la stessa frontiera efficiente

2) Poiché gli investitori massimizzano la loro utilità attesa obbedendo al principio media varianza TUTTI

r

selezioneranno di combinare con il portafoglio M che rappresenta il punto di tangenza tra la frontiera

f r

efficiente di titoli rischiosi e la retta uscente da f r

3) TUTTI vorranno detenere un portafoglio che sia combinazione di e del portafoglio M

f

4) Pertanto in M, il peso dei singoli titoli rischiosi che lo compongono è definito. La distribuzione dei pesi

dei singoli investimenti rischiosi nel portafoglio M è la medesima che si osserva considerando la

composizione aggregata del mercato finanziario. Ecco perché portafoglio di Mercato.

Ipotizziamo la possibilità di indebitarsi al tasso privo di rischio per realizzare una strategia finalizzata a

investire quanto ottenuto in prestito nell’acquisto di quote di portafogli rischiosi restituendo a scadenza il

finanziamento ottenuto maggiorato dell’interesse maturato.

Si introduce quindi la possibilità di finanziare o farsi finanziare al tasso privo di rischio, ogni investitore giunge

a detenere il proprio portafoglio nel portafoglio misto con una percentuale più o meno rilevante a seconda della

soggettiva propensione al rischio.

Otteniamo:

L’equazione è una semiretta, la cui intercetta è il tasso RISK FREE e la cui pendenza è il sovra rendimento

atteso, rispetto al tasso privo di rischio, del portafoglio M, rapportato allo scarto quadratico medio di

quest’ultimo.

Individua le combinazioni rischio-rendimento per le quali non è possibile istituire un ordine di preferenza

secondo il criterio media-varianza, venendo a rappresentare la nuova frontiera efficiente in sostituzione di

quella di Markowitz. È definita: CAPITAL MARKET LINE, CML.

CAPITAL MARKET LINE

La Capital Market Line (CML) o linea del mercato dei capitali parte da un punto di intersezione con l’ordinata

cui corrisponde il rendimento di un titolo privo di rischio (r ) e viene determinata tracciando una retta tangente

f

alla frontiera efficiente.

Tra i diversi portafogli della frontiera efficiente uno solo (M) corrisponde al punto di tangenza.

L’avversione al rischio dell’investitore entra in gioco nella scelta della compos