Riassunto esame Didattica della Matematica, professoressa Nicla Palladino, libro consigliato "Algoritmi elementari per il calcolo algebrico e aritmetico" di Palladino, Lombardi, Palladino

N

0 cambiando l’ordine degli addendi il risultato non cambia.

 Commutativa:

nella somma di tre o più addendi non ha importanza l’ordine con il quale si eseguono

 Associativa:

le addizioni. denotato con 0; per ogni elemento a dell’insieme si ha sempre: a

 Esistenza dell’elemento neutro:

+ 0 = a.

Il Fibonacci, nel suo espone le 4 regole per eseguire le 4 operazioni fondamentali

Liber Abaci,

dell’aritmetica.

Sottrazione

La sottrazione tra due numeri a e b appartenenti all’insieme , è definita come operazione inversa

N

0

dell’addizione; vale a dire, “il risultato è rappresentato da quel numero c che, sommato a b, eguaglia a”.

Il termine a è detto il termine b mentre il risultato c dell’operazione è la

minuendo, sottraendo, differenza.

La sottrazione non è, nell’insieme dei numeri denotati con , un’operazione interna. Infatti , non è certo

N

0

che, dati due numeri qualsiasi appartenenti ad , la loro differenza sia ancora un numero dell’insieme: ciò

N

0

accade quando il sottraendo risulta essere maggiore del minuendo, se accade ciò questi numeri, detti

si indicano con il simbolo che è l’iniziale della parola tedesca

numeri interi relativi, Z Zahl (Zahlen,

plurale) che vuol dire numero (numeri).

Per la sottrazione in valgono le seguenti proprietà:

N

0 0, preso un qualsiasi elemento dell’insieme, si ha sempre che: a – 0

 Esistenza dell’elemento neutro:

= a. la differenza c tra a e b non cambia se si aggiunge o si toglie (in questo caso, solo

 Invariantiva:

quando è ammesso) uno stesso numero d rispettivamente a minuendo e sottraendo.

Moltiplicazione

La moltiplicazione di due numeri a e b di è definita come la somma di b addendi tutti uguali ad a. I

N

0

termini a e b sono detti (il primo si chiama il secondo mentre il

fattori moltiplicando, moltiplicatore),

risultato c dell’operazione è il Tale operazione, definita sull’insieme , risulta interna all’insieme

prodotto. N

0

stesso vale a dire che comunque presi due numeri naturali il loro prodotto è ancora un numero naturale.

Per la moltiplicazione valgono le seguenti proprietà:

cambiando l’ordine dei fattori il prodotto non cambia.

 Commutativa:

nel moltiplicare tre o più fattori non ha importanza l’ordine con il quale si eseguono le

 Associativa:

moltiplicazioni. moltiplicare un numero per una somma

 Distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione:

equivale a moltiplicarlo per ciascun addendo e ad addizionare i prodotti così ottenuti. La stessa

proprietà vale anche nel caso della sottrazione.

denotato con 1; per ogni elemento a dell’insieme, si ha sempre

 Esistenza dell’elemento neutro:

che: a 1 = a.

 il prodotto di più fattori è uguale a zero se almeno uno di

 Legge di annullamento del prodotto:

essi è zero e viceversa: a b 0 c = 0.

  

Nel 1614, Nepero costruì un metodo, basato su “bastoncini” o “regoli”, che serviva per effettuare in modo

elementare moltiplicazioni e divisioni. Materialmente, il dispositivo era costituito da una serie di regoli

rettangoli, allungati come bacchette ognuno dei quali era contrassegnato da un numero compreso tra 0 e 9

scritto in cima e dai suoi multipli distribuiti in caselle dalla forma quadrata disposte lungo tutta la lunghezza

del “bastoncino”. Vi era poi un altro “bastoncino”, chiamato “guida”, numerato da 0 a 9 che, posto accanto

agli altri, indicava il numero della riga orizzontale su cui si operava. La scelta delle caselle quadrate rendeva

possibile affiancare facilmente un “bastoncino” all’altro. Ciascuna delle nove caselle disegnate sui

“bastoncini” era divisa, mediante la sua diagonale, in due triangoli uguali; mediante i bastoncini era

possibile eseguire moltiplicazioni con fattori di un numero qualsiasi di cifre. Ad un principio analogo a

quello dei “bastoncini di Nepero” si ispira l’algoritmo per il calcolo del prodotto, che lo avevano

denominato gli arabi “a caselle” o a “reticolo”. In Italia tale metodo era detto “a gelosia”. Rafael Bombelli,

nell’opera edita per la prima volta nel 1572, che rappresenta la delle conoscenze

L’Algebra, summa

algebriche disponibili fino alla seconda meta del 1500, usava il termine “via” per indicare il segno di

moltiplicazione equivalente all’attuale “per”. Ad esempio: se si moltiplicherà 4 via 9 il prodotto sarà 36.

Divisione

La divisione fra due numeri a e b, di , (con b diverso da 0), è definita come operazione inversa della

N

0

moltiplicazione; vale a dire il risultato è rappresentato da quel numero q, che moltiplicato per b uguagli a. il

termine a è detto il termine b il risultato q dell’operazione è il La

dividendo, divisore, quoziente.

“divisibilità” di a per b, non sempre è assicurata; nel caso in cui non sia verificata, si può eseguire la

“divisione con resto” di a per b, ossia, cercare due numeri naturali q ed r tali che accada: a = b q + r dove



con r è indicato il che soddisfa la relazione 0 r b. Talvolta si utilizza la parola per indicare il

 

resto, quoto

risultato della divisione nel caso in cui il resto è nullo, mentre si utilizza la parola per indicare il

quoziente

risultato della divisione nel caso in cui il resto non è nullo. L’operazione di divisione tra due numeri interi

non è interna all’insieme e nemmeno all’insieme ma porta a considerare un nuovo insieme, fatto di

N Z,

0

quozienti, denotato con Q.

Per provare la validità della relazione: 0 r b, si procede distinguendo due possibili casi:

 

Se a è multiplo di b, allora dalla divisione di a per b si ottiene: a = q b e r = 0, con q numero intero

 

positivo, quindi la relazione è soddisfatta;

Se a è compreso tra due multipli successivi di b, cioè: b q < a < b (q + 1) = b q + b, applicando

   

alla precedente la proprietà invariantiva si ottiene: 0 < a – b q = r < b e la relazione risulta



soddisfatta.

Il procedimento adoperato da Euclide negli Elementi, aveva come scopo il calcolo del massimo comune

divisore tra due interi positivi:

Se a < b, allora q = 0 ed r = a;

 Se a b, allora si sottrae b da a tante volte quant’è necessario perché il resto diventi più piccolo di b.

 

il quoziente q si ottiene costando quante volte b è stato sottratto da a.

Per la divisione valgono le seguenti proprietà:

moltiplicando o dividendo i due termini di una divisione per uno stesso numero,

 Invariantiva:

diverso da zero, il quoziente non cambia e il e il resto risulta moltiplicato per quello stesso numero;

dividere una somma per un numero

 Proprietà distributiva della divisione rispetto all’addizione:

c è equivalente a dividere ciascun addendo per c e addizionare i quozienti ottenuti. La stessa

proprietà vale anche nel caso della sottrazione.

Prendiamo ora in considerazione la cosiddetta “prova del nove” storicamente utilizzata per controllare

l’esattezza della moltiplicazione eseguita tra due numeri naturali. Essa è applicabile a tutte e quattro le

operazioni fondamentali dell’aritmetica. Se dà esito negativo, vuol dire che nell’eseguire i calcoli sono stati

fatti degli errori e dunque occorre ripetere l’operazione corrispondente. La “prova” si effettua con i seguenti

passaggi tramite uno schema a croce:

Si sottraggono dal moltiplicando tutti i possibili 9; si ottiene quale differenza finale il “resto” n (1^

 casella a sinistra in alto).

Si sottraggono dal moltiplicatore, tutti i possibili 9, si ottiene quale differenza finale il “resto” n (2^

 casella a destra in alto).

Si moltiplicano i due “resti” e cioè il 3 e il 2, e dal risultato si sottraggono tutti i 9 possibili, si ottiene

 il “resto” n (3^ casella a sinistra in basso).

Si sottraggono dal prodotto della moltiplicazione, tutti i possibili 9, si ottiene quale differenza finale

 il “resto” n (4^ casella a destra in basso).

La “prova del nove” fornisce in matematica una condizione necessaria ma non sufficiente. Alla base della

“prova del nove” vi è l’operazione di In generale dati due numeri a e b si dice che essi cono

congruenza.

congrui modulo m se sottraendo da a e da b tutti gli m possibili si ottiene la stessa differenza finale

(“resto”).

Capitolo 5: I numeri primi

Un numero intero positivo o “naturale” n, eccettuato il numero 1, che abbia come divisori solo 1 e se stesso,

è detto Euclide nella definizione 11 del Libro VII degli Elementi afferma: numero primo è

numero primo.

quello che è misurato soltanto dall’unità. Per i numeri primi vale il Teorema fondamentale dell’aritmetica:

ogni numero intero maggiore di 1 è scomponibile in un unico modo come un prodotto di numeri primi. Un

numero intero (diverso da 1) che non sia primo si dice Nella proposizione 20 del Libro

numero composto.

IX degli Elementi, Euclide dimostra che la successione dei numeri interi primi è illimitata: esistono numeri

primi in numero maggiore di quanti numeri primi si voglia proporre. Per dimostrare questa proposizione

Euclide suppone che siano dati tre numeri primi qualsiasi a, b, c; egli fa vedere che esiste almeno un quarto

numero primo diverso da ciascuno di questi tre. A tale scopo, conducendo la dimostrazione con moderno

simbolismo, si moltiplicano tra loro i tre numeri dati e si aggiunge una unità, ottenendo così il numero: d =

abc + 1 maggiore di ciascuno dei tre. Se d è primo, esso allora è un altro numero primo “esistente” nella

visione euclidea, e perciò va ad aggiungersi ai tre dati a, b, c.

Se d non è primo, esso ammette almeno un divisore primo, diverso da 1 (proposizione 31 del Libro VII degli

Elementi) che si vuole indicare con h. Il numero h è diverso da a, b, c, perciò esso costituisce il un quarto

numero primo. La dimostrazione dell’illimitatezza della successione dei numeri primi è collegata a una

pratica molto semplice per costruire una successione di infiniti primi, progressivamente sempre più grandi.

Tali numeri si ottengono aumentando, di volta in volta, di un’unità i prodotti dei numeri primi, consecutivi, a

partire da 2. Con questo procedimento però non si ottengono tutti i numeri primi