Riassunto esame Didattica della Matematica, professoressa Nicla Palladino, libro consigliato "Algoritmi elementari per il calcolo algebrico e aritmetico" di Palladino, Lombardi, Palladino

Riassunto esame didattica della matematica

Capitolo I: I numeri interi positivi

La diversità dei punti di vista è il risultato di rilevanti ricerche, tutte quante motivate dalla persuasione che trovando una definizione del concetto di numero si sarebbe fatto vedere, tra l’altro, che i teoremi dell’aritmetica sono pure verità logiche e quindi essa poteva essere fondata in modo più sicuro di prima; per conseguenza, ogni altra scienza, riconducibile all’aritmetica, sarebbe stata molto più sincera. Gli Elementi, scritti nel III secolo a.C., rappresentano una collezione organizzata della matematica greca, e perciò riflettono anche tanta parte della matematica caratteristica della scuola pitagorica.

Definizione 1 del Libro VII: l'unità è ciò secondo cui ciascun ente è detto uno. Secondo tale definizione, l’unità sarebbe da intendersi quale “idea” o “concetto” noto a cui la mente umana, nella sua funzione di “concezione”, ricorre nel formulare questa definizione.

Definizione 2 del Libro VII: il numero è una pluralità composta da unità. Tale definizione pare giustificare la proposta del numero da intendersi quale “ripetizione” di unità. Porsi domande sulla natura dei numeri, sulla loro esistenza in toto o su quali numeri esistano è ritenuto un’utile esigenza. Dalla quasi totalità dei matematici è invece assunto che la matematica svolga appieno e correttamente il suo compito dimostrando che i suoi teoremi sono deducibili dai suoi assiomi. Oggi si dice che la matematica “pura” è del tutto ipotetica. Essa si preoccupa prevalentemente di sapere che se certi assiomi sono ammessi come veri, allora è necessario, nel rispetto di una “logica” codificata in astratto, secondo determinate regole, che lo siano anche certi teoremi. Non bisogna preoccuparsi del significato dei termini primitivi che ricorrono negli assiomi o postulati.

Questa concezione, che considera i sistemi matematici assiomatizzati come sistemi formalizzati, cioè come “giochi di segni” in cui certe sequenze di segni sono derivabili da altre secondo determinate regole, è detta formalismo. Secondo Baker, le formule possono essere interpretate come “verità sul contare”, dove il “procedimento di conteggio” consiste nel pronunciare in sequenza le parole “uno”, “due”, “tre”, ecc., nel momento in cui si indica una certa sequenza di oggetti.

Quando degli oggetti sono individuabili per singole unità allora è possibile contarli. Per farlo si associa un singolo segno al singolo oggetto; una sequenza di segni ripetuti vengono allora associati a più di un oggetto. Una sequenza di segni si dice che costituisce anche una figura numerica (o cifra). Facendo astrazione dalla natura del mucchio di oggetti che si è contato, se alla fine tutti i conteggi risultano figure numeriche della stessa lunghezza allora si dice che esse esprimono lo stesso numero. Quindi il numero è quel qualcosa che è comune a tutte le figure numeriche della stessa lunghezza. L’estensione di una figura numerica (o cifra) corrisponde al valore di un numero.

La necessità di percepire immediatamente l’estensione di figure numeriche, ha fatto nascere l’esigenza di sistemi con cui raggrupparne gli elementi: sistema quinario, decimale, ventesimale, sessagesimale. Questa necessità va alla pari col bisogno di dare un nome a ciascun numero, ovvero associare a una data figura numerica una parola che lo contraddistingua in maniera univoca. Questa parola, che è il nome del numero, si dice numerale. Ogni numero potrebbe avere per nome una parola presa a caso. Dato che ciò avrebbe richiesto un notevole sforzo della memoria, si è preferito articolare i nomi dei numeri in corrispondenza al sistema di raggruppamento.

Progressivamente, gli uomini pensarono anche a un nome fatto da una sigla, ossia un simbolo. La scelta delle sigle (o simboli) è andata nel corso dei secoli, legandosi in una corrispondenza sempre più stretta con i sistemi di raggruppamento e quindi di numerazione. L’idea che sta a fondamento dei sistemi di numerazione è quella di considerare che un certo gruppo di oggetti, presi tutti insieme, conti come un’unità di ordine superiore, in modo che la numerazione possa ricominciare per proseguire fino all’introduzione di una nuova novità. In queste numerazioni, dette sistematiche, la maniera più semplice di procedere è quella di formare ogni unità con un numero fisso di unità dell’ordine immediatamente inferiore. Questo numero costituisce la base del sistema di numerazione.

Una spinta allo sviluppo dei sistemi di numerazione fu data nel momento in cui si cercò di conservare nel tempo il risultato di certe operazioni, e si arrivò alla numerazione scritta. Inizialmente si usarono oggetti infilati al modo di una collana, o nodi fatti su una corda, espedienti che si ridussero successivamente a forme più semplici. L’uso di un sistema di numerazione, comportò che per ogni unità di ordine superiore si venne ad introdurre un nuovo segno. Gli egizi, usavano una numerazione decimale (geroglifici): Per scrivere gli altri numeri si servivano di una legge additiva, ad esempio per scrivere il numero 300, scrivevano tre volte il simbolo del cento.

Si pensa che dalla scrittura geroglifica degli antichi egizi, gli scribi abbiano avuto la necessità di raggruppare queste barre mediante segni che le raccogliessero per “fasci”. Per conseguenza venivano a formarsi segni specifici a seconda dei tipi di “fasci” di raccolta; segni che vennero a formare le cifre che rappresentano i numeri da 1 a 9. I greci, grandissimi cultori della geometria, non brillavano, invece, per il modo con cui scrivevano i numeri. Possedevano tre sistemi di numerazione, in base dieci, tutti abbastanza insoddisfacenti. Il primo sistema serviva ai mercanti, che usavano punti o trattini per indicare le unità, i quali venivano poi raggruppati in decine.

Il secondo sistema veniva specialmente usato dagli epigrafisti ed era detto attico perché esso fu descritto in un frammento attribuito a Erodiano, il quale diceva di aver visto questi segni in un codice che raccoglieva le leggi elaborate da Solone. I segni usati sono sostanzialmente abbreviazioni o raggruppamenti di abbreviazioni. Nel terzo sistema, si utilizzavano come simboli alfabetico, le 24 lettere dell’alfabeto greco più altre tre lettere cadute poi in disuso, in modo da avere in tutto 27 simboli. Di essi, le prime 9 lettere costituivano i simboli delle unità (da 1 a 9) e le successive 9 lettere le decine (da 10 a 90) e le rimanenti le centinaia (da 100 a 900).

Per indicare le migliaia (da 1000 a 9000) si usavano le medesime lettere delle unità premettendo però alla sinistra della stessa lettera una sbarra e si procedeva analogamente per le decine di migliaia e così via. Il sistema di numerazione degli egizi, rispetto a quello dei greci, comportava la “memorizzazione” di un numero minore di simboli. Gli egizi, infatti, avevano solo tre simboli per indicare i numeri compresi tra 1 e 1000, numeri che i greci scrivevano adoperando 27 simboli.

I romani usavano dapprima, segni convenzionali di origine etrusca, che successivamente vennero identificati con lettere dell’alfabeto. Gli etruschi infatti, utilizzavano una numerazione a base decimale, che si era sviluppata a partire da un primitivo sistema quinario. Il sistema di numerazione dei romani rappresenta una modificazione di quello degli Etruschi. I romani riuscivano a scrivere i numeri, almeno quelli non troppo alti, in modo piuttosto razionale, con meno simboli dei greci e più sinteticamente degli egizi. Quando i simboli si susseguivano da sinistra verso destra, in ordine di valore decrescente, si sommavano. Se una cifra di minor valore precedeva una di maggior valore, allora da quest’ultima si sottraeva quella minore. Per indicare le migliaia essi tracciavano una sbarra orizzontale sopra il simbolo esprimente un numero di ordine inferiore.

Le prime tracce storiche del nostro moderno sistema di numerazione risalgono al 500 d.C. e si ritrovano in India, ma la sua origine è sicuramente più remota in quanto, si trovavano elementi posizionali. Il sistema completo con l’uso del metodo posizionale, delle nove cifre e dello zero si trovano nelle opere del matematico indiano del VII secolo Brahmagupta. Una trattazione organica di questo metodo risale al IX secolo e si trova in un trattato di al-Khuwârizmî pubblicato a Baghdad e portato in Europa dai mercanti. Il sistema di numerazione indo-arabico e i metodi di calcolo indiani furono introdotti in Europa da Leonardo Pisano, il Fibonacci, con il Liber Abaci; le forme attuali dei numeri assunte verso i secoli XIV e XV si dicono composte con cifre arabe ed essendo dieci i simboli usati, il sistema di numerazione è decimale.

Capitolo 2: Le operazioni sui numeri interi positivi

Una delle caratteristiche principali del sistema di numerazione indo-arabico è quella di poter eseguire calcoli scritti. Il vantaggio, determinante, che viene dall’esecuzione per iscritto dei calcoli, è rappresentato dalla controllabilità successiva dei calcoli stessi. Detto per inciso, eseguire calcoli scritti vuol dire mettere colui che calcola in condizione di grande vantaggio rispetto a chi esegua calcoli mentali, oppure fatti con l’ausilio delle mani. L’abilità nel far di conto viene spesso indicata come uno dei fattori che contribuirono ad una rapida espansione e alla supremazia nel commercio dei mercanti arabi e di quelli degli altri popoli che vennero in contatto con loro.

Non per niente vi fu, nel corso di alcuni secoli, una contrapposizione tra “abacisti” e “algoritmisti”. Per dare, a tal proposito, esempi più antichi e curiosi, si può osservare che operazioni, del tipo di quelle che effettuavano i babilonesi o gli egiziani, avevano un’esecuzione diversa da quella moderna. La moltiplicazione e la divisione venivano ricondotti a procedimenti additivi. Essa era seguita come una successione di duplicazioni, seguita da un’addizione. Allo stesso modo la divisione si riduceva a dimezzamenti successivi.

In generale, la moltiplicazione veniva eseguita scegliendo uno dei due fattori che, posto nella colonna di destra, veniva duplicato successivamente, mentre nella colonna di sinistra si riportavano le successive potenze di 2; di queste potenze si individuavano quelle la cui somma dava l’altro fattore e il risultato della moltiplicazione si otteneva sommando i termini corrispondenti a tali potenze. L’idea generale era quella di prendere i multipli o le parti di 8 che sommate davano 19. Va osservato che gli egiziani non usavano frazioni con numeratore maggiore di 1, ad eccezione della frazione 2/3 per la quale esisteva uno speciale geroglifico, ma eseguivano i calcoli sulla base di frazioni con numeratore 1, le quali rappresentano ciascuna il reciproco di un numero intero positivo. Di conseguenza, una qualsiasi frazione veniva espressa come somma di unità frazionarie differenti.

L’abaco da considerarsi, forse, la prima macchina per calcolare, si ritrova, in una forma o nell’altra praticamente in tutti i paesi in cui è esistita una tecnica di calcolo non più primitiva. Il poeta latino Orazio nelle Satire, scriveva che i bambini andavano a lezione reggendo con il braccio di sinistra la borsa e la tavoletta cerata per scrivere. L’abaco ha costituito per millenni il solo strumento di rappresentazione posizionale dei numeri, prima che si pervenisse alla scrittura posizionale. Ad esempio i romani utilizzavano l’abaco per rappresentare concretamente i numeri e per eseguire le relative operazioni.

Si può partire dallo stesso termine per fare delle ipotesi sulle sue origini. Molti ritengono che la radice del termine abaco derivi dalla parola semitica abaq (polvere). Tale vocabolo sarebbe stato in seguito adottato dai greci che a loro volta avrebbero utilizzato il termine abax per indicare una superficie piana o un tavolo sul quale tracciavano le righe necessarie per i calcoli. La parola sarebbe poi diffusa tra i romani che denominarono la loro tavola abacus. Nella sua forma generale più semplice, l’abaco consiste in una tavoletta, divisa in una serie di guide parallele, ciascuna delle quali rappresenta una diversa classe decimale. La tavola è provvista di un certo numero di palline o simili oggetti, che servono per indicare il numero delle unità di ciascuna classe. Per indicare un numero senza equivoci bisognava dire se qualche casella dell’abaco era vuota e quale. Per questo motivo, si rivelò necessario l’uso di un mezzo che rappresentasse i vuoti, un simbolo cioè che indicasse una casella vuota: lo zero.

Quest’idea venne dall’India ed è la caratteristica principale del sistema indo-arabico. Gli indiani introdussero un simbolo per il vuoto e lo chiamarono sunya, che vuol dire “vuoto”. Gli arabi tradussero l’indiano sunya con la loro parola sifr. Tale parola araba acquistò nell’Europa medievale due significati diversi: da un lato, il significato generico di sifr per indicare un numero, divenne cioè la segna...