Riassunto esame Didattica della Matematica, professoressa Nicla Palladino, libro consigliato "Algoritmi elementari del calcolo algebrico e aritmetico" di Palladino, Lombardi, Palladino

La teoria della reificazione di Anna Sfard

Scopo dell'articolo

Anna Sfard sembra voler individuare quali sono le caratteristiche della matematica che la rendono così difficile da essere appresa. Per fare questo cercherà di studiare la natura delle concezioni matematiche. In particolare afferma che le difficoltà non possono essere giustificate dalla concezione che la matematica sia caratterizzata solo da un insieme di regole logiche. Inoltre, Sfard afferma che la domanda fondamentale da chiedersi sia: "In cosa l'astrazione matematica differisce da altri tipi di astrazione, nella sua natura, nel modo in cui si sviluppa e nelle sue funzioni ed applicazioni?".

La doppia natura delle concezioni matematiche

Tanto per cominciare, distinguiamo le parole "concetto" e "concezione"; indichiamo cosa intendiamo con questi due termini:

• Concetto: (a volte diremo "nozione") con questo termine ci riferiamo a un "blocco" di conoscenza matematica (lei parla di "building block of mathematics") inserito in un contesto teorico matematico. In altre parole, un concetto è un pezzo di matematica visto all'interno della Matematica.
• Concezione: con "concezione" intendiamo un insieme di rappresentazioni interne evocate da un concetto; in altre parole, la concezione è la controparte soggettiva del concetto, "interna" al mondo della conoscenza del singolo individuo.

Dal punto di vista del linguaggio, la matematica per certi versi sembra essere del tutto analoga alle altre scienze. In effetti, come biologi o fisici o altri, il matematico solitamente parla di certi "universi" popolati da certi "oggetti". I vari oggetti hanno delle caratteristiche proprie e sono governati da leggi ben definite. Il matematico descrive le proprietà di insiemi e numeri in maniera analoga a come lo scienziato descrive la struttura di molecole e cristalli. Frasi del tipo "esiste una funzione tale che ...", in matematica (moderna), sono altrettanto comuni come affermazioni sull'esistenza di certe molecole subatomiche in fisica.

Diversamente dagli oggetti materiali, però, i costrutti della matematica avanzata sono totalmente inaccessibili ai nostri sensi; essi possono essere visti solo dagli occhi della mente. Quando disegniamo (noi matematici) il grafico di una funzione, sappiamo bene che il segno sulla carta non è altro che una delle tante possibili rappresentazioni di un'entità astratta, che di suo non può né vista né toccata.

Normalmente, il matematico ragiona sull'esistenza e sulle proprietà di certe entità astratte senza preoccuparsi troppo di questioni ontologiche riguardanti l'esistenza "reale" delle entità in questione. Per un approfondimento sulla questione ontologica (cui forse accenneremo) potete guardare. La capacità di vedere, in qualche modo, tali "oggetti invisibili" sembra essere una componente essenziale del sapersi muovere nella matematica. La mancanza di questa capacità può essere una delle principali ragioni per cui la matematica sembra essere praticamente impermeabile a molti soggetti.

Approccio strutturale e operativo

D'ora in avanti utilizzeremo la parola strutturale per indicare un approccio in cui le nozioni matematiche sono trattate come se esse corrispondessero in qualche modo ad oggetti astratti; questo non è l'unico approccio possibile, esiste anche quello operativo. Ad esempio, una funzione può essere considerata come un processo di calcolo, la simmetria può essere interpretata come trasformazione; in entrambi questi due casi si può parlare di concezione operativa di una nozione matematica.

Vedere un'entità matematica come un oggetto significa essere in grado di riferirsi ad essa come se fosse una cosa reale, una struttura statica esistente da qualche parte nello spazio-tempo. Significa essere in grado di riconoscere l'idea nel suo insieme ed essere in grado di manipolarla come un tutt'uno, senza necessariamente occuparsi dei suoi dettagli. Hadamard dice che pensare in maniera strutturale associa ad un concetto una fisiognomica che permette di pensare ad "esso come una cosa unica, anche se complicata, nello stesso modo in cui vediamo la faccia di un uomo" che in effetti è caratterizzata da molti particolari che per noi formano un tutt'uno.

In contrasto, interpretare una nozione come processo (approccio operativo) implica interpretarlo come un'entità "potenziale" (piuttosto che come un'entità vera), la quale esiste nel momento in cui viene utilizzata in una sequenza di azioni. Pertanto, mentre la concezione strutturale è statica, istantanea, unificante, quella operativa è dinamica, sequenziale e dettagliata. Sfard non sembra voler fare un trattato sulla distinzione tra i due approcci, si limita ad indicarli e descriverli brevemente, ma afferma che alla base ontologica della distinzione tra i due sta una profonda distinzione Credo (non mi è ben chiaro), che si riferisca al fatto che un approccio operativo, che chi vede un'entità matematica come un processo che agisce su certi oggetti abbia bisogno di vedere certi oggetti come reali, come se la matematica offrisse processi per agire sul mondo reale.

Definizioni strutturali ed operative

Rappresentazioni simboliche

La doppia natura dei concetti matematici si può notare non solo nelle descrizioni verbali, ma anche analizzando vari modi di rappresentare simbolicamente i concetti in questione. Anche se una proprietà come la strutturalità di una concezione è interna al soggetto, piuttosto che nei simboli, è anche vero che alcuni tipi di rappresentazioni sono più suscettibili ad un'interpretazione strutturale di altri.

L'espressione algebrica può essere facilmente interpretata in entrambi i modi: può essere spiegata operativamente come una descrizione sintetica di certi calcoli, oppure strutturalmente come una relazione statica tra due grandezze. Questa particolare dualità di interpretazione corrisponde al già vastamente discusso doppio significato del simbolo di uguaglianza: "=" può essere interpretato come simbolo di identità, oppure come un "comando" per eseguire delle operazioni.

La tipologia di una concezione si manifesta anche attraverso le speciali rappresentazioni interne al soggetto. Secondo quanto ormai noto, i concetti matematici a volte sono visualizzati tramite "immagini mentali", mentre altre volte gli stessi concetti sono trattati soprattutto tramite rappresentazioni verbali. Le immagini mentali, essendo compatte ed unificanti, sembrano supportare concezioni strutturali; la visualizzazione, quindi, rende le idee astratte più tangibili ed incoraggia a trattarle quasi come se fossero entità materiali. In effetti le immagini mentali possono essere manipolate quasi come gli oggetti reali. La rappresentazione visiva è olistica per sua natura, e vari aspetti del concetto matematico possono essere estratti da essa tramite "accesso casuale", senza un ordine di accesso prestabilito. Di contro, una rappresentazione verbale non può essere presa nel suo insieme come un tutt'uno, ma deve invece essere processata sequenzialmente, quindi sembra essere più appropriata per rappresentare procedure di calcolo (o procedure in generale, direi). Per cui le rappresentazioni non visive sembrano essere più pertinenti al modo operativo di pensare.

A questo punto Sfard chiarisce che non sta dicendo che c'è una corrispondenza biunivoca tra tipi di visualizzazione e tipi di concezione, suggerisce solo che alcuni tipi di rappresentazioni interne sembrano più...