Riassunto esame Didattica della Matematica, professoressa Nicla Palladino, libro consigliato "Algoritmi elementari del calcolo algebrico e aritmetico" di Palladino, Lombardi, Palladino

La doppia natura delle concezioni matematiche (o concetti matematici?)

Tanto per cominciare distinguiamo le parole “concetto” e “concezione”; indichiamo cosa

intendiamo con questi due termini:

Concetto: (a volte diremo “nozione”) con questo termine ci riferiamo ad un “blocco” di

 conoscenza matematica (lei parla di “building block of mathematics”) inserito in un

contesto teorico matematico. In altre parole un concetto è un pezzo di matematica

visto all'interno della Matematica (notare le M maiuscola).

Concezione: con “concezione” intendiamo un insieme di rappresentazioni interne

 evocate da un concetto; in altre parole la concezione è la controparte soggettiva del

concetto, “interna” al mondo della conoscenza del singolo individuo.

Dal punto di vista del linguaggio la matematica per certi versi sembra essere del tutto

analoga alle altre scienze. In effetti, come biologi o fisici o altri, il matematico, solitamente

parla di certi “universi” popolati da certi “oggetti”. I vari oggetti hanno delle caratteristiche

proprie e sono governati da leggi ben definite. Il matematico descrive le proprietà di insiemi e

numeri in maniera analoga a come lo scienziato descrive la struttura di molecole e cristalli.

Frasi del tipo “esiste una funzione tale che ...”, in matematica (moderna), sono altrettanto

comuni come affermazioni sull'esistenza di certe molecole subatomiche in fisica.

Diversamente dagli oggetti materiali, però, i costrutti della matematica avanzata sono

totalmente inaccessibili ai nostri sensi, essi possono essere visti solo dagli occhi della mente.

Quando disegniamo (noi matematici) il grafico di una funzione, sappiamo bene che il segno

sulla carta non è altro che una delle tante possibili rappresentazioni di un'entità astratta, che

di suo non può né vista né toccata. Normalmente il matematico ragiona sull'esistenza e sulle

proprietà di certe entità astratte senza preoccuparsi troppo di questioni ontologiche

riguardanti l'esistenza “reale” delle entità in questione. Per un approfondimento sulla

questione ontologica (cui forse accenneremo) potete guardare. La capacità di vedere, in

qualche modo, tali “oggetti invisibili” sembra essere una componente essenziale del sapersi

muovere nella matematica. La mancanza di questa capacità può essere una delle principali

ragioni per cui la matematica sembra essere praticamente impermeabile a molti soggetti (lei

parla di “well-formed minds”). D'ora in avanti utilizzeremo la parola strutturale per indicare

un approccio in cui le nozioni matematiche sono trattate come se esse corrispondessero in

qualche modo ad oggetti astratti; questo non è l'unico approccio possibile, esiste anche quello

operativo. Ad esempio una funzione può essere considerata come un processo di calcolo, la

simmetria può essere interpretata come trasformazione; in entrambe questi due casi si può

parlare di concezione operativa di una nozione matematica. Vedere un'entità matematica

come un oggetto significa essere in grado di riferirsi ad essa come se fosse una cosa reale,

una struttura statica esistente da qualche parte nello spazio-tempo. Significa essere in grado

di riconoscere l'idea nel suo insieme ed essere in grado di manipolarla come un tutt'uno,

senza necessariamente occuparsi dei suoi dettagli. Hadamard dice che pensare in maniera

strutturale associa ad un concetto una fisiognomica che permette di pensare ad “esso come

una cosa unica, anche se complicata, nello stesso modo in cui vediamo la faccia di un uomo”

che in effetti è caratterizzata da molti particolari che per noi formano un tutt'uno. In

contrasto, interpretare una nozione come processo (approccio operativo) implica interpretarlo

come un'entità “potenziale” (piuttosto che come un'entità vera), la quale esiste nel momento

in cui viene utilizzata in una sequenza di azioni.

Pertanto, mentre la concezione strutturale è statica, istantanea, unificante, quella operativa è

dinamica, sequenziale e dettagliata. Sfard non sembra voler fare un trattato sulla distinzione

tra i due approcci, si limita ad indicarli e descriverli brevemente, ma afferma che alla base

ontologica.

della distinzione tra i due sta una profonda distinzione Credo (non mi è ben

chiaro), che si riferisca al fatto che un approccio operativo, che chi vede un'entità matematica

come un processo che agisce su certi oggetti abbia bisogno di vedere certi oggetti come reali,

come se la matematica offrisse processi per agire sul mondo reale.

Molto spesso i concetti matematici possono essere definiti o presentati sia in maniera

operativa che strutturale, sono riportati alcuni esempi in Tabella 1.

Tabella 1: Descrizioni strutturali ed operative di alcune nozioni matematiche

Concetto Definizione Strutturale Definizione Operativa

Funzione Insieme di coppie ordinate Processo computazionale o metodo ben

definito per passare da un sistema ad un

altro

Simmetria Proprietà di una generica forma Trasformazione di una forma geometrica

Numero Proprietà di una insieme o la classe di 0 o ogni numero ottenuto da un altro

Naturale tutti gli insiemi finiti di eguale naturale aggiungendo uno

cardinalità

Numero Coppia di interi (considerata risultato della divisione tra interi

Razionale un'opportuna relazione d'equivalenza)

Cerchio Il luogo dei punti equidistanti da un una curva ottenuta ruotando un

punto dato compasso intorno ad un punto dato

La doppia natura dei concetti matematici si può notare non solo nelle descrizioni verbali, ma

anche analizzando vari modi di rappresentare simbolicamente i concetti in questione. Anche

se una proprietà come la strutturalità di una concezione è interna al soggetto, piuttosto che

nei simboli, è anche vero che alcuni tipi di rappresentazioni sono più suscettibili ad una

interpretazione strutturale di altri.

L'espressione algebrica può essere facilmente interpretata in entrambe i modi: può essere

spiegata operativamente come una descrizione sintetica di certi calcoli, oppure

strutturalmente come una relazione statica tra due grandezze. Questa particolare dualità di

interpretazione corrisponde al già vastamente discusso doppio significato del simbolo di

uguaglianza: “=” può essere interpretato come simbolo di identità, oppure come un

“comando” per eseguire delle operazioni. La tipologia di una concezione si manifesta anche

attraverso le speciali rappresentazioni interne al soggetto. Secondo quanto ormai noto, i

concetti matematici a volte sono visualizzati tramite “immagini mentali”, mentre altre volte

gli stessi concetti sono trattati soprattutto tramite rappresentazioni verbali. Le immagini

mentali, essendo compatte ed unificanti, sembrano supportare concezioni strutturali; la

visualizzazione, quindi, rende le idee astratte più tangibili ed incoraggia a trattarle quasi come

se fossero entità materiali. In effetti le immagini mentali possono essere manipolate quasi

come gli oggetti reali. La rappresentazione visiva è olistica per sua natura, e vari aspetti del

concetto matematico posso essere estratti da essa tramite “accesso casuale”, senza un

ordine di accesso prestabilito. Di contro una rappresentazione verbale non può essere presa

nel suo insieme come un tutt'uno, ma deve invece essere processata sequenzialmente, quindi

sembra essere più appropriata per rappresentare procedure di calcolo (o procedure in

generale, direi). Per cui le rappresentazioni non visive sembrano essere più pertinenti al modo

operativo di pensare.

A questo punto Sfard chiarisce che non sta dicendo che c'è una corrispondenza biunivoca tra

tipi di visualizzazione e tipi di concezione, suggerisce solo che alcuni tipi di rappresentazioni

interne sembrano più vicine all'approccio strutturale ed altre a quello operativo. A questo

punto Sfard presenta una carrellata bibliografica per mostrare come questa doppia natura dei

concetti matematici sia in realtà , seppur con nomi diversi e con diversi livelli di descrizione,

già stata osservata e studiata da molti. In particolare possiamo elencare le seguenti

“dicotomie”:

Astratto Algoritmico;

 

Dichiarativo Procedurale;

 

Dialettico Algoritmico;

 

Figurale Operativo;

 

Concettuale Procedurale;

 

Relazionale Strumentale.

 

Secondo Sfard anche le descrizioni date da tutti questi autori sono poco chiare, uno degli

strutturale.

scopi di questo articolo è chiarire la distinzione tra operativo e Questa dicotomia

(quella introdotta da Sfard) è simile alle altre, ma si distingue da loro per un paio di aspetti

fondamentali:

La maggior parte di coloro che hanno proposto le suddette dicotomie raramente

 hanno posto l'attenzione sulla questione delle assunzioni filosofiche, tacite,

sottostanti ogni attività matematica; piuttosto si sono riferiti ad altri aspetti della

matematica (come la sua struttura o il ruolo delle sue diverse componenti nel

problem-solving), oppure si sono riferiti ai processi cognitivi coinvolti nella gestione

delle conoscenze. Nella classificazione di Sfard, invece, si cerca di focalizzare

contemporaneamente gli aspetti ontologici e quelli psicologici; in sostanza ci si

focalizza sulla natura delle entità matematiche rispetto a come sono percepite da un

soggetto.

Mentre altre distinzioni portano ad una decomposizione della conoscenza

 matematica in due componenti separate (es. concetti vs. procedure), l'approccio di

Sfard, in quanto basato sulla complementarietà dei due “poli”, tende a risaltare

l'unità della conoscenza matematica.

Hiebert e Lefevre osservano: “Storicamente i due tipi di conoscenza sono stati visti come

entità separate, ... coesistenti come due vicini divisi ... In contrasto, c'è un crescente

interesse, oggi, per come concetti e procedure sono collegati”. Ciononostante questo nuovo

approccio non è ancora unificante: “le discussioni correnti trattano le due forme di conoscenza

come distinte”. Addirittura pare che si siano addirittura creati degli schieramenti pro-astratto

e pro-procedurale; in generale l'astratto sembra essere molto più stimato del procedurale.

Anche se tutti ammettono che la matematica “algoritmica” sia importante, l'opinione

generale che prevale è che questa sia matematica di serie B. Sfard Invece rimarca il fatto che

per lei le due forme di conoscenze (o concezioni, o approcci ecc..), anche se diverse, sono due

facce della stessa medaglia. Di conseguenza bisogna parlare di