Riassunto esame di Geometria, prof. Sabatini, libro consigliato Geometria Analitica, Manlio Bordoni

Equazioni

Se a≠0, unica soluzione x=a^-1b

Se a≠0, b≠0, non ammette soluzioni

Se a=0, b=0, una soluzione

Equazioni omogenee

Indeterminate si dicono omogenee, quando il termine noto è pari a 0.

3x-2y=0 = 3x-2y=5 ≠ non omogenea

3x-3y=0

3(2k) - 2(3k) = 0

Soluzione banale

(x, y) e (2k, 3k) + moltiplicazione per uno scalareper k=0 si ottiene la soluzione banaleper k≠0 ci sono infinite soluzioni

3x-2y=6

Somma di coppie ordinate

• Proprietà associativa

Per k≠0 ci sono infinite soluzioni

• Esiste una coppia che sommata con un'altra coppia dà l'elemento banale.
  • + (̅, ̂, ̅)
  • (̅, ̂, ̅) = (, , )
• Non esiste coppia di elementi.
• è operazione commutativa:
  • x̂ ̂ = (̂ + x̂ ̅, û + û ̅)
  • (̅ + x̅ ̅, u̅ + u̅ ̅) :
  • + (, ̂, ̅)

Con insieme così strutturato (con tali proprietà) e detto campo chiamiamo o commutativo.

Proprietà del calcolo vettoriale:

• è un'operazione distributiva rispetto alla somma delle coppie.
  • k(̂ + ̂)̅ • = (̂, x̅, û, â) = ( ̂+ ̂, û ̂ + â).
  • (kx, kû, kû̂) + (hx, hu, ĥ)̂ = ( x, , , x, u)
  • = ̂ k û̂
  • + +
• è associativa rispetto al prodotto dei scalari.
  • k(h overline{}) ̅ = (h) = k h
• Banale è moltiplicando per l'elemento 1.
• 1 . = ̅

Insieme dotato della due operazioni (somma, di copie, e prodotto per uno scalare) è detto spazio vettoriale.

Insieme delle soluzioni di equazione lineare omogenea è uno spazio vettoriale.

Equazioni non omogenee

• 3 + 6 = 0
  • La somma delle soluzioni non è soluzione. Non valendo qui le proprietà che valgono per le equazioni omogenee.
  • L'insieme delle soluzioni si equazioni è soluzione delle equazioni omogenee associate.

5h + = 2d

2k = 3a + β

-3h + 2k = 2β

(a = 2/5α, (h = 2/5α (h = 2/5α

∶ k = 3/5α + β

(2k = 6/5α + 2β) ∶ k = 3/5α + β

(

(

(

(

(

(

(

(

(

∤ + 3/5α + β

(

(

∤ + 3/5α + β

⠔

In

matrice identità circulare

si calcolera completamente il pollocube. Per questo "identità".

A =

( ³ ₀ ² )

( ⁵ _-3 ⁰ )

( ² ₀ ¹ )

B =

( ² ₀ ^-1 )

( ⁵ _-1 ³ )

( ⁶ ₂ ⁴ )

AB =

( ³⁶ _-3 ²⁹ )

( ⁵⁵ _-4 ³⁷ )

( ⁸ ₀ ¹³ )

BA =

( ^-4 ₁₂ ³ )

( ²⁶ ₈₉ ³ )

( ¹⁶ ₁₆ ¹⁶ )

(³)

AE =

(^{1 2}) ( ¹ ₀ ) = (^{1 2}) circ A

(³) ( ⁰ ) ( ^{3 1} )

IA =

(¹ ₀) ( ^{1 2} ) - ( ¹ ₂ )

(₀ ¹) ( ^{3 1} ) ( ^{3 1} )

A² =

(¹₂) ( ¹ ₂ ) =?

(₃¹) ( ³ ₁ ) ( ^{6 7})

P² =

( ¹ ₁ ¹ )

( ³ ₃ ³ ) ( ¹ ₁ ¹)

( ³ ₃ ³ ) ( ¹ ₁ ¹)

( ³ ₃ ³ ) =

( ¹ ₁ ¹)

( ¹ ₁ ¹)

( ¹ ₁ ¹)

Tutti elevavili questo cera uno mai P² = P

Il determinante di A = a se Δ=(a)

complenenti algebrici

Definizione:

A = _{(a b)}

     _{(c d)}

detA = a₁d - b₁c

        = b₁c

         + c₁d

Il determinante di A è uguale alla somma _kx1

detA = ∑ a_ik det A^ik(-1)^i+k

Regole Teorema di Laplace per il calcolo dei determinanti:

1. Se due matrici no hanno coefficienti = 0, il determinante è nullo.
2. Se scambiando due linee il determinante cambia segno. (Una matrice può essere determinante = 0)
3. Se si moltiplica una linea di una matrice per due coefficienti, il determinante diventa uguale a quello della stessa linea moltiplicata per i coefficienti in quella determinata, sum i coefficienti della matrice
4. Se due linee sono proporzionali, il determinante è 0.
5. Se determini una linea e poi al suo determinante somma alle due linee, il determinante si sommula.

det _{(a1 + a2)}^{(b₁ + b₂)}

       = (a₁ + a₂)d - (b₁ + b₂)c = a₁d + a₂d - b₁c₁

d

b₂c = a₁d + b₁c + a₂d - b₁

           ^dv

det _{(a1 b1)} + det _{(a2 b1)}

      c d

(^{(r₁ b)det (a b))}

(^(a₁d))

= det ^{(a d)}

      (c d)

A^-1 = ₁/_{det (cof A)}

A^-1 = -1/6

(6 4 -1)

(0 2 -2)

(0 0 3)

= (1 -2/3 -1/6)

(0 1/3 1/3)

(0 0 -1/2)

A = (a₁ 0 0)

(0 a₂ 0)

(0 0 a_n)

Una matrice diagonale per essere invertibile deve avere tutti gli elementi sulla diagonale principale diversi da 0

A = (₁ 2 -1)

(0 1 0)

(2 1 3)

det A = det A + 0 + 4 (1) - 1 = 1 + 0 - 3 = 3 + 2 = 5

A₁ = 4/3 (cof A = -1/6)

(1 0 | 0)

(0 2 | 1)

(-1 1 | 2)

(-1 2 | 1)

(1 3 | 2)

(-1 2 | 1)

= (3 0 -2)

(-7 5 3)

(1 0 1)

Esercizio 1

{2x+3y=k-2x-3y=-2}detA=0rgA=1

A(2 3)_{2 3}

AB=(2 3 k)-2 -3 2

Δ x k ≠ e

{3 k-3 -2} k=2

rg A=1rg A|B=2rg A ≠ rg A|Bnon ammettesoluzioni

2) k=2rg A - rg A|B=1∞ soluzioni

3x+3y=2

( x ) ( -1 ) t ( 3 )( y ) + ( 0 ) + ( 2 )

{ax+by+cz=0a′x+b′y+d′z=0}abca'b'c'

appresentano 2 piani passanti per l'orraginex=(bc′-b′c)t = lεy=(ac′-a′c) t = mtz=(ab′-a′b)t = mt

{axb₁yc₂d₁z=0ax+b₁y+c₂d=0}

x=x₀ + lty=y₀ + mtz=z₀ + nt