Riassunto esame Matematica per il Design, prof. Paoletti, libro consigliato Geometria Analitica e Algebra Lineare, Anichini, Conti, Paoletti

Matematica per il Design

corso di "Matematica per il Design" tenuto al:

Design Campus di Calenzano - Firenze

professoressa: Raffaella Paoletti

ore di corso: 40

anno accademico: 2014/2015

studente: Matteo Gamassi

LEZIONE DEL 22-09-2016

EX

• ordinare le seguenti frazioni:
  • 2/3, 3/5

1. 2/3 = 10/15
2. 3/5 = 9/15
3. 2/3 > 3/5

• 1, 1,01, 1,02, 1,10

1. 100/100, 101/100, 102/100, 110/100
2. 100/100 = 1
3. 101/100 = 1,01
4. 102/100 = 1,02
5. 110/100 = 1,10
6. 1 < 1,01 < 1,02 < 1,10

• √2, 1, √2

• 1 > √2

* non vale per i numeri negativi perchè:

EX

• Valore assoluto: misura della distanza di un numero dall'origine

1. -3, 3
2. |3| = 3

|x| =

• x se x ≥ 0
• -x se x < 0

1. |x| ≥ 3 → x ≥ 3
2. |x - 2| > 3 → x - 2 > 3
3. x > 5
4. x = -1

Somma di matrici:

A, B ∈ M_m,n(R)

(A + B)_i,j = (A_i,j + B_i,j)

Ex

A = 3 5 80 6 7

B = 2 3 64 9 0

A + B = 5 8 144 15 7

moltiplicazione per uno scalare:

∈ R, A ∈ M_m,n(R)

( ⋅ A)_i,j = ⋅ (A_i,j)

Ex

= 2, A = 3 5 80 6 7

2A = 6 10 160 12 14

LEZIONE DEL 23-09-2016

Proprietà di somma e moltiplicazione per uno scalare

1. A + O = A + O = O + A
2. A + B + C = A + (B + C) _{ordine degli elementi non cambia}
3. ∀A A + (-A) = O _{matrice oposta}
4. A + B = B + A
5. ( + ) A = A + B ∀ ∈ R
6. () A = (A) ∀ ∈ R
7. (A + B) = A + B ∀ ∈ R
8. (B)A = (BA)∀ ∈ R
9. A = AO A = O (-1) A = A

M_m,n(R) è uno spazio vettoriale, cioè un insieme di oggetti che si comportano come i vettori

1. Se una riga (o colonna) è un multiplo di un’altra riga (o colonna), allora il det è 0.
2. Se a ∈ R
   • det _aini ^an_j = a det _ain ... a_in ... a_in ⁿ

2|A| = 2 ⁿ |A|

3. det |A^T| = det |A|
4. det |A| non cambia aggiungendo ad una riga o ad una colonna un multiplo di un’altra riga o colonna

A. 0 - det 0 - 1 2 0 |2 2 0 |1 1 1 |

Teorema di Binet

A, B ∈ M_n(R) det(AB) = detA · detB

Matrice invertibile: data A ∈ M_n(R), esiste una matrice A^-1 ∈ M_n(R) detta inversa di A tale che A · A^-1 = I_n = A^-1 · A

Una matrice A^-1 è invertibile se e solo se:

|A| ≠ 0

det(A^-1) = ¹ / _detA

Costruzione della matrice inversa:

A^-1 = ¹ / _detA (-1)^i+j detA_ij

LEZIONE DEL 06-10-2014

EX

∈ ℝ , A =

Trovare la caratteristica.

• I-II ( -1) -1
• III-II 0 -2

se = 1

A = 0 0 0 0

car A = 1

se = -1

A = 0 0 0 0

car A = 2

EX

∈ ℝ car

-3 ≠ pivot se ≠ 3/2 car A = 3

Metodo di Cramer:

AX = B con A quadrata e |A| ≠ 0

A^-1 (AX) = A^-1 B

(A^-1 A) X = A^-1 B

IX = A^-1 B

X = A^-1 B unica soluzione

Ex

• x + y + z = 1
• 2x - 5y = 0
• x + 2y - z = 0

A = 1 1 12 -5 01 2 -1

B =100

|A| = 1(-1 - 6) - 2(1 - 4) = -5 |A| ≠ 0

x = 121

x = (1)(-6) - 2(5 + 0) = -3 / 5

y = 1-52

y = -1(-4) = 4 / 5

z = 1-50

z = 2(-2) + 3(1 - 1) = 6 / 5

S = {3/5, 4/5, 6/5}

Definizione: ogni sistema lineare AX = B è equivalente ad un sistema lineare A^-1X = B dove A^-1 è quadrata con la stessa caratteristica di A.

LEZIONE DEL 14-10-2014

P = (x, y)

OP̅ = (x, y)

Proprietà dei vettori

1. u + (v + w) = (u + v) + w
2. v + u = u + v
3. ∃0 tale che 0 + v = v + 0 = v
4. ∀ v (∃(-v) tale che v + (-v) = 0
5. (h + k) v = hv + kv
6. h (v + w) = hv + hw
7. (k v) = (hk) v
8. 1 v = v 0 ⋅ v = 0

0 - OP̅ = (0, 0) vettore nullo

Spazio vettoriale: insieme V in cui sono definite somma e moltiplicazione per uno scalare che soddisfano le suddette 8 proprietà

Combinazione lineare: vettore W = a1v1, a2v2, ..., ahvn con coefficienti

(a1, a2, ..., an ∈ R) a1, a2, ..., an ∈ R

EX

Somma = OP̅ = 0

Se la spezzata si chiude, la somma è uguale a 0.

v = o?

P = (3;-5)

AB̅ = B - A

(X_B; Y_B) = (3;-5)

(X_B - 2, Y_B -1) = (3;-5)

(X_B = 5

Y_B = -4

B = (5;-4)

|AB̅| = √²₃ + (5)² √34

EX

A = (2;1;0) B = (3 -5 -2)

|AB̅| = N√²₁;6²;(-0)² √₄₁

EX

A = (1;2)

B = (-1;1)

C = (-3;4)

determinare D tale che ABCD sia un parallelogramma.

verifichiamo che A,B,C, non siano allineati:

AB̅ = B - A = (-2,-1) non sono proporzionali

AC̅ = C - A = (-4;2) non sono paralleli

non sono allineati

AB̅ = DC̅

(2;-1) = (-3 - X_B; 4 - Y_B)

{2 = -3 + X_B

-1 = 4 - Y_B}

{X_B = -1

Y_B = 5}

D = (-1;5)

(P - P₀)

(x - x₀)

(y - y₀)

(P - P₀)

h

(x - x₀)

(y - y₀)

a

(x - x₀)³

b

(y - y₀)³

a

(x - x₀)³

b

(y - y₀)³

a

(y - y₀)

b

(x - x₀)

b

(y - y₀)

Posizioni reciproche di rette (r e r'):

1. r || mm' = -1 (a, b) || (a₁, b₁)
2. r ⊥ r' m= -1 _M (a, b) (a₁, b₁) = 0

LEZIONE DEL 27-10-2016

Radianti: rapporto fra la lunghezza del raggio della circonferenza e l'arco compreso nell'angolo.

α = _L/^R (numero puro)

• 180° -> π
• 90° -> π/2
• 45° -> π/4
• 360° -> 2π
• 30° -> π/6
• 60° -> π/3

EK

Determinare l’equazione della retta passante per A di coordinate (2,-1) e B di coordinate (3,4).

Utilizziamo la rappresentazione parametrica:

V_r = (B-A) = (1,5)

(B-A) = λ V_r

{x - 2 = λ

y + 1 = 5λ

{x = 2 + λ

y = -1 + 5λ

Al variare di λ in ℝ il punto (x,y) = (2 + λ, -1 + 5λ) viaggia sulla retta r passante per A e B

• λ = 0 → (2,-1)
• λ = 1 → (3,4)
• λ = -1 → (1,-6)
• λ = 2 → (4,9)

EX

Di un parallelogramma (ABCD) conosciamo vertici A = (2, −2, 0) e B = (3,1,2), l’angolo ABC è 60° e l’area A = 30, determinare il perimetro.

V = 2 × 36 = 10√3

P = 2√6 + 20√3

EX

Determinare l'altezza del parallelepipedo di spigoliu = (1, 2, 3), v = (3, 1, 3) e w = (2, −1, 5) rispetto alla base uv.

h = _V/^AbV = _{u ∧ v ∧ w} = 4 × (−2, 1, 3, (4)) = 43

Ab = ||u ∧ v|| = √(1) + 9 + 36 + 25 = √70

u ∧ v | i | j | k || 1 | 2 | 3 || 3 | 1 | 3 |= 3i + 6j - 5k

h = ₄₃/^√70