Riassunto esame Geometria, prof. Pagliano, libro consigliato La geometria animata, Gesuele

Kml nomologia

Premesso che si definisce omologia un'omografia non identica tra due piani sovrapposti che ammetta una retta di punti uniti, dimostriamo ora che una sezione di stelle prospettive è un'omologia.

L'omologia piana è la relazione che insorge tra due figure su un piano quando esse sono il risultato di due prospettività di una stessa figura eseguite da due centri di proiezione differenti.

La sezione di stelle prospettive con due piani a sovrapposti a' = a'' è infatti una omografia perché tale relazione fa corrispondere punto a punto e retta a retta; inoltre non coincide con l'identità perché i punti corrispondenti sono distinti; infine la stessa ammette una retta di punti uniti, precisamente la retta s intersezione del piano di prospettività a con il piano a' = a''.

La retta s è un insieme di punti uniti poiché in ciascun punto H coincidono le proiezioni H' = H'' dello stesso punto H.

La retta s è detta asse dell'omologia.

a (piano di prospettività)
O'' (centro di prospettività)
AA'' A' S (centro dell'omologia)
H = H' = H''
S' = S'' = S
s
a a = a' = a'' (quadro)
s (asse dell'omologia)
O'

Osserviamo infatti che la retta congiungente i punti O' ed O'' individua sul piano a il punto S le cui proiezioni coincidono nel punto S' = S'' che indichiamo semplicemente con S, detto centro dell'omologia.

Notiamo che i punti A', A'', proiezioni dello stesso punto A da O' ed O'', detti punti omologhi, risultano allineati con il punto S.

La retta A'A'', come tutte le rette che congiungono una qualunque coppia di punti omologhi, sono le rette unite del fascio di centro S.

Le proprietà dell'omologia sono dunque le seguenti:

• Due punti corrispondenti sono allineati con il centro;
• Due rette corrispondenti si intersecano in un punto dell'asse.

Perché una omologia sia individuata è necessario che siano noti il centro S, l'asse s e una coppia A', A'' di punti corrispondenti allineati con S.

Indichiamo un'omologia ω con il simbolo ω = (S, s, A', A'').

Assegnata una retta a passante per il punto A, O' determiniamo le proiezioni a' e a'' della retta a rispettivamente da O' e O''.

a
Tali rette verificano la seconda proprietà dell'omologia. Infatti, individuato il punto H di a (piano di prospettività), intersezione della retta a con l'asse s, la proiezione a' è la retta che congiunge il punto H con il punto A', proiezione di A da O', e la retta a'' è quella che congiunge A'', proiezione di A da O'' con H.

O''
AA'' H S
A' (centro dell'omologia)
s
a a = a' = a'' (quadro)
s (asse dell'omologia)

Omologia

Omologia con centro ed asse propri

Si proietta il punto A' oltre l'asse e si sceglie arbitrariamente il punto A''.

Si prolunga la retta C'A' fino all'asse e dal punto d'intersezione si traccia la retta di congiunzione con A'', il punto C'' sarà individuato dalla retta passante per A'' che interseca la proiezione di C' da S.

Con analogo procedimento si ricava B''.

A'B' s
B'' A''
C''
C'

Omologia con centro improprio ed asse proprio

L'unica differenza da un'omologia normale è che la proiezione dei punti in questione avviene secondo la direzione del centro improprio di proiezione S∞.

A'B' s
B'' A''
S∞
C''C'

Omologia che ha come centro di proiezione un punto dell'asse

Il procedimento è sempre lo stesso.

A'
B' C'' A''
B'' S s

Rette limiti

Ricordiamo che il luogo di tutti i punti impropri di un piano a, dovendo avere in comune con una qualsiasi retta r del piano a un solo punto, il punto improprio di r, è una retta infinitamente lontana detta retta impropria, comune a tutti i piani paralleli ad a.

Data sul quadro una omologia ω = (S, s, A', A'') tra i piani sovrapposti a' = a'', ci proponiamo di individuare le rette i'' e j', generalmente proprie e distinte, rispettivamente omologhe della retta impropria i' = j'' comune ai due piani.

Allo scopo, consideriamo nello spazio i piani a' e a'' passanti per O' e O'' e paralleli ai piani a' = a''.

I piani a' e a'', intersecano il piano a rispettivamente secondo le rette parallele i e j: le proiezioni j' e i'' restano individuate su a' = a'' conducendo per O' e O'' rispettivamente i piani O'j e O''i.

Proprietà

a i a'
O'
a
j a''
O''
A
A'' A' S
s
a a = a' = a''

Le rette limite di un'omologia di due piani sovrapposti a' = a'' sono le rette, appartenenti a tali piani, omologhe della retta impropria comune ai due piani i' = j''.

La distanza di ciascuna delle rette dall'asse è uguale ed opposta alla distanza dell'altra dal centro.

Le rette limite di un'omologia non speciale sono sempre entrambe interne o esterne all'asse principale e alla sua parallela passante per il centro.

a i a'
O'
j a''
O''
AA'' A' S
s
a a = a' = a''
s j'

Ogni punto della retta limite ha un punto improprio corrispondente.

a i a'
O'
j a''
O''
AA'' A' S
s
a a = a' = a''
s j' i''

Rette limiti esercizi

Scelta arbitrariamente la direzione del punto improprio I' si determini l'omologo punto proprio I'' di I', applicando le note proprietà dell'omologia, il punto I'' così individuato è un punto della prima retta limite i'', che dunque sarà la parallela alla retta s condotta per I''.

Con analogo procedimento si determina la seconda retta limite j'.

Proprietà

I' J''
S
J' j'
A'
i''
I'' i''
s
A''
s
a a = a' = a''

Viene utilizzata la proprietà dell'omologia secondo cui i punti corrispondenti sono allineati con il centro dell'omologia.

In tal modo è possibile individuare i punti propri I'' e J' dai quali si tracceranno le parallele all'asse i'' e j'.

Se è nota una delle rette limiti, ad esempio i'', scelto arbitrariamente su tale retta un punto I'', l'omologo I' è individuabile imponendo la proprietà dell'omologia secondo la quale i punti corrispondenti siano allineati con il centro S, quindi la direzione del punto improprio I' si ricava congiungendo S con I''.

Una volta fatto ciò attraverso il procedimento inverso a quello precedentemente spiegato si può ricavare il punto A'.

Attraverso il procedimento inverso, tramite il punto I'' già assegnato si ricava il punto A'.

C''
B''
I'
A''
I'' i''
S s
A'
s
a a = a' = a''

Due punti corrispondenti allineati con il centro.

Affinità omologica

L'omologia affine può essere generata come sezione di stelle prospettive quando:

• Entrambi i centri di proiezione sono punti impropri;
• Entrambi i centri sono punti propri ma appartenenti a una retta parallela al quadro;
• I centri di proiezione sono uno proprio e l'altro improprio la cui direzione è parallela al quadro.

In questo caso la direzione del centro S∞ può essere individuata sul quadro scegliendo un ipotetico punto P e proiettando tale punto P sul quadro secondo i due centri di proiezione impropri, fatto ciò la retta congiungente i punti d'intersezione P', P'' delle due proiezioni di P con il quadro indicherà la direzione del centro dell'omologia S∞.

O'a
O''
P
A
A'' P''
A' P'
S∞
s
a a = a' = a''
s

Nel secondo caso i due centri di proiezione O' e O'' giacciono su di una retta parallela al quadro quindi il centro dell'omologia S∞ è un punto improprio e la sua direzione è data dalla retta congiungente i due punti di proiezione O' ed O''.

O'a O''
A
S∞
A'' A'
s
a a = a' = a''
s

Nel terzo caso la direzione di S∞ si ricava proiettando una retta da O' secondo la direzione di O'' e quindi la direzione di S∞ sarà parallela a O''.

O' a
O''
S∞
A A'
A''
S∞
s
a a = a' = a''
s

Omotetia

Se il piano della figura è parallelo al quadro, l'asse dell'omologia risulta coincidente con la retta impropria comune ai diversi piani.

Di conseguenza due qualsiasi rette corrispondenti risultano parallele tra loro dato che il loro punto comune A° coincide con un punto dell'asse.

a
A°
O'
O''
B a
A
a

Le due rette a' e a'' (proiezioni di a da O' e O'') sono rette corrispondenti e dovrebbero intersecarsi in un punto dell'asse, ma dato che il punto di intersezione di tali rette è un punto improprio (A°) le rette risulteranno parallele.

Il centro S dell'omologia resta individuato dall'intersezione con il quadro della retta passante per i due punti di proiezione.

A°
a'' a'
B'' B'
A'' A' S
s
a a = a' = a''

Traslazione o equipollenza

Se si verificano simultaneamente i due casi precedenti, dunque che siano impropri sia il centro S che l'asse s, le rette che congiungono punti corrispondenti sono parallele tra loro e sono parallele tra loro le rette omologhe.

Pertanto ogni figura si trasforma mediante una traslazione di se stessa secondo la direzione del centro.

O''
O'
a
S°
A
B
a
A°

Le due rette a' e a'' (proiezioni di a da O' e O'') sono rette corrispondenti e dovrebbero intersecarsi in un punto dell'asse, ma dato che il punto di intersezione di tali rette è un punto improprio (A°) le rette risulteranno parallele.

I centri di proiezione O' e O'' giacciono su una retta parallela al quadro quindi il centro dell'omologia S∞ è un punto improprio e la sua direzione è data dalla retta congiungente O' e O''.

A'A'' B'B''
a'a''
s
a a = a' = a''

Omologia esercizi

Affinità omologica

Affinità omologica con centro improprio ed asse proprio. L'unica differenza da un'omologia normale è che la proiezione dei punti in questione avviene secondo la direzione del centro improprio di proiezione S∞.

C'
A'B' s
B'' A''
S∞
C''

Omotetia

Omotetia, centro proprio di proiezione ed asse improprio. Le rette corrispondenti (C'A' // C''A'' etc.) sono parallele in quanto il punto A° in cui si intersecano è un punto dell'asse (l'asse coincide con la retta impropria del piano).

C'
A'
B' C'' A''
B'' S

Traslazione

Traslazione, centro ed asse impropri. Stesso procedimento dell'omotetia, solo che avendo anche centro di proiezione improprio oltre alle rette corrispondenti saranno parallele anche le rette omologhe (A'A'', B'B'', C'C'').

C' C'
A' A'
B' B'
S∞

Omologia di ribaltamento

Per risolvere i problemi metrici relativi ad una figura appartenente ad un piano generico a, è necessario riportare sul quadro la figura in vera forma e grandezza.

A tale scopo è necessario operare il ribaltamento del piano della figura sul quadro.

Durante il ribaltamento un punto A descrive un arco di circonferenza nel piano passante per A ortogonale alla retta s e il cui centro è individuato nell'intersezione del piano con la retta s, così si determina sul quadro il ribaltato A* di A.

Osserviamo come il punto A* si può ottenere come proiezione del punto A dalla direzione R∞ ortogonale al piano bisettore b.

a
O'
R∞ b
A
a a* = a'
A'A*
S s

Si noti che la relazione che lega i punti A' e A* si può considerare come la proiezione di uno stesso punto A da due centri distinti O' e R∞ e dunque si tratta di un'omologia.

Il centro S di tale omologia è l'intersezione con il quadro della retta R∞O' che congiunge i due centri di proiezione R∞ e O'.

R∞ a
La relazione che lega l'immagine a' e il ribaltato di ogni punto di a è detta omologia di ribaltamento ω = (S, s, A', A*).

O' b
A
a a* = a'
A'A*
S s

Metodo di Monge

Il riferimento nello spazio

Il riferimento nello spazio è rappresentato da:

• Due piani di proiezione, detti anche quadri, p' (I° piano di proiezione) e p'' (II° piano di proiezione) ortogonali fra loro;
• Due centri di proiezione impropri O' e O'' ciascuno ortogonale al relativo quadro;
• La retta d'intersezione tra i due piani, detta linea di terra.

Inoltre i due piani si dividono in senso orario in quattro diedri, denominati I, II, III e IV diedro.

O'
p''
p
O''
p'
I diedro II diedro
III diedro IV diedro
l

Il riferimento nel piano

Nel piano il foglio da disegno è assunto come coincidente con p' mentre il piano p'' si considera ribaltato in senso antiorario su p'.

Il riferimento sul piano, ovvero sul foglio da disegno, risulta costituito da una sola retta orizzontale, la linea di terra l.

O'
p''
p
O''
l
Semipiano superiore p'
Semipiano posteriore
Semipiano anteriore
Semipiano superiore = semipiano posteriore
p p' = p''
l
Semipiano inferiore
Semipiano inferiore = semipiano anteriore

Rappresentazione del punto

Il riferimento nello spazio

Le due proiezioni P' e P'' di un punto P dello spazio su p' e p'' sono dette rispettivamente prima e seconda proiezione.

Le rette proiettanti determinano un rettangolo contenuto nel piano g, passante per P e ortogonale ad l, di vertici P, P°, P'' e P'.

p''
O'
g
p p''
O''
g
P'' P
l
p'
P° P'
l

Ribaltamento del piano

Nel ribaltamento di p'' il punto P'' descrive nel piano g un arco di circonferenza di centro P° e raggio P°P'' che cade sulla retta perpendicolare ad l e passante per P', ovvero l'intersezione dei piani g e p'.

Analogamente è possibile rappresentare qualsiasi altro punto dello spazio.

p''
O'
g
O''

Il riferimento nel piano

Le due proiezioni sul foglio da disegno risultano dunque allineate su una retta perpendicolare ad l detta retta di richiamo.

P
p' l
P°
P'' P'
p p' = p''
P'' l
Quota di P
Retta di richiamo
P° l
Aggetto di P P'

Rappresentazione della retta

Il riferimento nello spazio

Una generica retta r viene proiettata da O' su p' nella retta r' (prima proiezione di r) mediante a (piano proiettante in prima proiezione) definito dal centro O' e dalla stessa retta r.

Con procedimento analogo, la stessa retta r viene proiettata da O'' su p'' nella retta r'' (seconda proiezione di r) mediante il piano b (piano proiettante in seconda proiezione) definito da O'' e dalla retta r.

La retta r è dunque rappresentata dalle due proiezioni r' e r''.

p''
O'
p'
a
O''
Tr = Tr''
p'' r''
b
r
Tr'
r'
Sr = Sr'
Sr''
l

Costruzione semplificata

I punti Sr e Tr (prima e seconda traccia di r) e le loro proiezioni rappresentano i punti d'intersezione della retta con i piani p' e p''.

Si proietta il punto Tr = Tr'' secondo la direzione di O' e si unisce Tr' con Sr ricavando in tal modo r'. Successivamente si