Riassunto esame Geometria, prof. Pagliano, libro consigliato La geometria animata, Gesuele

O'

a oo

O'' oo

centro S può essere

individuata sul quadro scegliendo

un ipotetico punto P e

proiettando tale punto P sul

quadro secondo i due centri di

proiezione impropri, fatto ciò la

P

A retta congiungente i punti

d'intersezione (P', P'') delle due

proiezioni di P con il quadro

indicherà la direzione del centro

oo

dell'omologia S .

A'' P''

A' P' oo

S

s a a

= '= '' s Nel secondo caso i due centri di

O'

a O'' proiezione O' e O'' giacciono su

di una retta parallela al quadro

oo

quindi il centro dell'omologia S

è un punto improprio e la sua

direzione è data dalla retta

congiungente i due punti di

proiezione O' ed O''.

A oo

S

A'' A'

s a a

= '= '' s Nel terzo caso la direzione di

O' a oo

oo

O'' S si ricava proiettando una

retta da O' secondo la direzione

oo

di O'' e quindi la direzione di

oo oo

S sarà parallela a O'' .

A A'

oo

A'' oo

S

s a a

= '= '' s OMOTETIA

a

Se il piano della figura è parallelo al quadro, l'asse dell'omologia risulta coincidente con la retta impropria comune ai diversi piani.

Di conseguenza due qualsiasi rette corrispondenti risultano parallele tra loro dato che il loro punto comune

oo

A° coincide con un punto dell'asse. O' Le due rette a' e a'' (proiezioni di

a da O' e O'') sono rette

O'' corrispondenti e dovrebbero

intersecarsi in un punto dell'asse,

ma dato che il punto di

intersezione di tali rette è un

oo

punto improprio ( A° ) le rette

B a risulteranno parallele.

A

a Il centro S dell'omologia resta

individuato dall'intersezione con il

quadro della retta passante per i

oo

A° due punti di proiezione.

a'' a'

B'' B'

A'' A' S

s a a

= '= '' TRASLAZIONE o EQUIPOLLENZA

oo oo

Se si verificano simultaneamente i due casi precedenti, dunque che siano impropri sia il centro S che l'asse s le rette che

congiungono punti corrispondenti sono parallele tra loro e sono parallele tra loro le rette omologhe. pertanto ogni figura si trasforma

mediante una traslazione di se stessa secondo la direzione del centro.

O''

O' Le due rette a' e a'' (proiezioni di

a da O' e O'') sono rette

oo

S° corrispondenti e dovrebbero

intersecarsi in un punto dell'asse,

ma dato che il punto di

intersezione di tali rette è un

oo

punto improprio ( A° ) le rette

risulteranno parallele.

a a

A I centri di proiezione O' e O''

B giacciono su una retta parallela al

quadro quindi il centro

oo

dell'omologia S è un punto

improprio e la sua direzione è

oo

A° data dalla retta congiungente O'

e O''.

A'

A'' B'

B'' a'

a''

s a a

= '= '' OMOLOGIA

ESERCIZI

Affinità Omologica Affinità omologica con centro improprio ed asse

proprio. L'unica differenza da un'omologia

normale è che la proiezione dei punti in

questione avviene secondo la direzione del

C' oo.

centro improprio di proiezione S

A'

B' s

B'' A'' oo

S

C''

Omotetia C' Omotetia, centro proprio di proiezione ed asse

improprio. Le rette corrispondenti (C'A' // C''A''

oo

etc.) sono parallele in quanto il punto A° in cui

A' si intersecano è un punto dell'asse (l'asse

coincide con la retta impropria del piano).

B' C'' A''

B'' S

Traslazione Traslazione, centro ed asse impropri. Stesso

procedimento dell'omotetia, solo che avendo

C' C' anche centro di proiezione improprio oltre alle

rette corrispondenti saranno parallele anche le

rette omologhe (A'A'', B'B'', C'C'').

A' A'

B' B' oo

S

OMOLOGIA DI RIBALTAMENTO

a

Per risolvere i problemi metrici relativi ad una figura appartenente ad un piano generico , è necessario riportare sul quadro la figura in

vera forma e grandezza. A tale scopo è necessario operare il ribaltamento del piano della figura sul quadro.

d

Durante il ribaltamento un punto A descrive un arco di circonferenza nel piano passante per A ortogonale alla retta s e il cui centro è

d

individuato nell'intersezione del piano con la retta s, così si determina sul quadro il ribaltato A* di A. Osserviamo come il punto A* si

può ottenere come proiezione del

oo

punto A dalla direzione R

oo

R b.

ortogonale al piano bisettore

a Si noti che la relazione che lega i

O' punti A' e A* si può considerare

come la proiezione di uno stesso

punto A da due centri distinti O' e

oo

R e dunque si tratta di

un'omologia.

A a a

*= '

A'

A*

S

s Il centro S di tale omologia è

l'intersezione con il quadro della

oo

retta R O' che congiunge i due

oo

centri di proiezione R e O'.

oo

R a La relazione che lega l'immagine

a

e il ribaltato di ogni punto di è

detta omologia di ribaltamento

w = (S, s, A', A*).

O' b

A a a

*= '

A'

A*

S

s METODO DI MONGE

Il riferimento nello spazio oo

O'

Il riferimento nello spazio è rappresentato da: p

''

p

due piani di proiezione, detti anche quadri, ' oo

O''

p

(I° piano di proiezione) e '' (II° piano di

proiezione) ortogonali fra loro; II I

Diedro Diedro

oo oo

due centri di proiezione impropri O' e O''

ciascuno ortogonale al relativo quadro;

l

la retta d'intersezione tra i due piani, detta p

'

linea di terra.

Inoltre i due piani si dividono in senso orario in l

I II III IV

quattro diedri, denominati , , e diedro. III IV

Diedro Diedro

Il riferimento nel piano

Nel piano il foglio da disegno è assunto come

p p

coincidente con ' mentre il piano '' si oo

O'

p

''

p

considera ribaltato in senso antiorario su '.

Il riferimento sul piano, ovvero sul foglio da oo

O''

disegno, risulta costituito da una sola retta

l

orizzontale, la linea di terra . semipiano superiore p

'

semipiano posteriore semipiano anteriore

semipiano superiore = semipiano posteriore p p

'= '' l

semipiano inferiore

l

semipiano infeeriore = semipiano anteriore RAPPRESENTAZIONE DEL PUNTO

Il riferimento nello spazio p

'' oo

O'

Le due proiezioni P' e P'' di un punto P dello g

p p''

'

spazio su e sono dette rispettivamente

prima e seconda proiezione. oo

O''

Le rette proiettanti determinano un rettangolo

g

contenuto nel piano (passante per P e P'' P

l

ortogonale ad ) di vertici P, P°, P'' e P'. p

'

P° P'

l

Ribaltamento del piano

p''

Nel ribaltamento di il punto P'' descrive nel

g

piano un arco di circonferenza di centro P° e

raggio P°P'' che cade sulla retta perpendicolare

l

ad

e passante per P' (ovvero l'intersezione dei

g p

e '

piani ).

Analogamente è possibile rappresentare

qualsiasi altro punto dello spazio. p

'' oo

O' g oo

O''

Il riferimento nel piano P

Le due proiezioni sul foglio da disegno risultano

dunque allineate su una retta perpendicolare ad p

'

l detta retta di richiamo. P°

P'' P'

p p

'= ''

P'' l

quota di P retta di richiamo

P° l

aggetto di P P' RAPPRESENTAZIONE DELLA RETTA

Il riferimento nello spazio p

'' oo

O'

oo

Una generica retta r viene proiettata da O' su

p

' nella retta r' (prima proiezione di r) mediante a

a oo

O''

il piano (piano proiettante in prima oo

proiezione) definito dal centro definito da O' Tr=Tr''

e dalla stessa retta r.

Con procedimento analogo, la stessa retta

p

oo '' r''

viene proiettata da O'' su nella retta r'' p

b '

r

(seconda proiezione di r) mediante il piano Tr'

(piano proiettante in seconda proiezione) r' Sr=Sr'

oo

definito da O'' e dalla retta r. Sr''

La retta r è dunque rappresentata dalle due l

proiezioni r' e r''. Costruzione semplificata

I punti Sr e Tr (prima e seconda traccia di r) e Si proietta il punto Tr=Tr''

le loro proiezioni rappresentano i punti oo

secondo la direzione di O' e

p p

d'intersezione della retta con i piani ' e ''. si unisce Tr' con Sr ricavando in

tal modo r'.

Successivamente si proietta Sr

oo

secondo la direzione di O'' e

si unisce Sr'' con Tr=Tr''

ricavando in tal modo r'' che

Ribaltamento del piano successivamente sarà ribaltata.

In particolare si ribalta il punto

Tr=Tr''* e unendo tale punto con

p p

Il ribaltamento di '' su ' ci permette di il punto Sr'' avremo la seconda

proiezione r''.

tradurre la posizione spaziale di una retta r, che

attraversa il primo diedro, nella sua

rappresentazione. p

'' oo

O' b oo

O''

Il riferimento nel piano Tr=Tr''

Nella rappresentazione sul piano avremo

questo risultato. p

'

r

Tr'

Tr=Tr''* r' Sr=Sr'

r'' Sr''

p p

'= ''

Tr=Tr'' l

r''

Sr'' Tr' l

r'

Sr=Sr' POSIZIONI PARTICOLARI DELLA RETTA

p

'' oo

O'

p

Retta parallela a ' oo

O''

o''

p o

Ogni retta appartenente ad un piano parallelo a ' To=To�