Riassunto esame Geometria, prof. Pagliano, libro consigliato La geometria animata, Gesuele

K

ML

N

OMOLOGIA

Premesso che si definisce omologia un'omografia non identica tra due piani sovrapposti che ammetta una retta di punti uniti,

dimostriamo ora che una sezione di stelle prospettive è un'omologia.

L' omologia piana è la relazione che insorge tra due figure su un piano quando esse sono il risultato di due prospettività di una stessa

figura eseguite da due centri di proiezione differenti. La sezione di stelle prospettive con due piani

a a w

sovrapposti ' = " è infatti una omografia

perchè tale relazione fa corrispondere punto a

O' (centro di prospettività) w

punto e retta a retta; inoltre non coincide con

l'identità perchè i punti corrispondenti sono

w

distinti; infine la stessa ammette una retta di

punti uniti, precisamente la retta s intersezione

a a a

del piano di prospettività con il piano ' = ".

La retta s è un insieme di punti uniti poichè in

ciascun punto H coincidono le proiezioni H' = H"

S dello stesso punto H.

La retta s è detta asse dell'omologia.

a (piano di prospettività) O'' (centro di prospettività)

A

A'' A' S (centro dell'omologia)

H=H'=H" S'=S"=S

s a a

= '= ''

(quadro) s (asse dell'omologia)

Osserviamo infatti che la retta congiungente i punti O' ed O" individua sul piano a il punto S le cui proiezioni coincidono nel punto S' = S''

che indichiamo semplicemente con S detto centro dell'omologia. Notiamo che i punti A', A'' proiezioni dello stesso punto A da O' ed O'' ,

detti punti omologhi, risultano allineati con il punto S. La retta A'A'' come tutte le rette che congiungono una qualunque coppia di punti

omologhi sono le rette unite del fascio di centro S. Le proprietà dell'omologia sono dunque le seguenti:

- due punti corrispondenti sono allineati con il centro;

- due rette corrispondenti si intersecano in un punto dell'asse.

Perchè una omologia sia individuata è necessario che siano noti il centro S, l'asse s e una coppia A', A'' di punti corrispondenti allineati

con S. Indichiamo un'omologia w con il simobolo w = (S, s, A', A''). Assegnata una retta a passante per il punto A,

O' determiniamo le proiezioni a' e a'' della retta a

rispettivamente da O' e O''.

a Tali rette verificano la seconda proprietà

dell'omologia. infatti individuato il punto H di

a (piano di prospettività) intersezione della retta a con l'asse s, la

proiezione a' è la retta che congiunge il punto H

con il punto A', proiezione di A da O', e la retta a''

è quella che congiunge A'', proiezione di A da

O'' O'', con H.

A

A'' H S

A' (centro dell'omologia)

s a a

= '= ''

(quadro) s (asse dell'omologia)

OMOLOGIA

S Omologia con centro ed asse propri. Si proietta il

punto A' oltre l'asse e si sceglie arbitrariamente il

punto A''. Si prolunga la retta C'A' fino all'asse e

dal punto d'intersezione si traccia la retta di

C' congiunzione con A'', il punto C'' sarà individuato

dalla retta passante per A'' che interseca la

proiezione di C' da S. Con analogo

procedimento si ricava B''.

A'

B' s

B'' A''

C'' Omologia con centro improprio ed asse proprio.

L'unica differenza da un'omologia normale è che

la proiezione dei punti in questione avviene

C' secondo la direzione del centro improprio di

oo.

proiezione S

A'

B' s

B'' A'' oo

S

C''

C' Omologia che ha come centro di proiezione un

A' punto dell'asse. Il procedimento è sempre lo

stesso.

B' C'' A''

B'' S s

RETTE LIMITI

a

Ricordiamo che il luogo di tutti i punti impropri di un piano , dovendo avere in comune con una qualsiasi retta r del piano a un solo punto

a

( il punto improprio di r ) è una retta infinitamente lontana detta retta impropria ( comune a tutti i piani paralleli ad )

w a a

Data sul quadro una omologia = (S, s, A', A'') tra i piani sovrapposti ' = '' , ci proponiamo di individuare le rette i'' e j', generalmente

oo oo

proprie e distinte, rispettivamente omologhe della retta impropria i' = j'' comune ai due piani. Allo scopo, consideriamo nello spazio i

a a a a a a a

piani ' e '' passanti per O' e O'' e paralleli ai piani '= ''. I piani ' e '' , intersecano il piano rispettivamente secondo le rette

a a

parallele i e j: le proiezioni j' e i'' restano individuate su '= '' conducendo per O' e O'' rispettivamente i piani O'j e O''i.

Proprietà

a i a ' Le rette limite di un'omologia di

O' a a

due piani sovrapposti '= '' sono

le rette, appartenenti a tali piani,

omologhe della retta impropria

oo oo

comune ai due piani i' =j'' .

j a ''

O'' La distanza di ciascuna delle

rette dall'asse è uguale ed

A opposta alla distanza dell'altra

dal centro.

A'' A' S

s a a

= '= '' Le rette limite di un'omologia non

s speciale sono sempre entrambe

interne o esterne all'asse

principale e alla sua parallela

passante per il centro.

a i Ogni punto della retta limite ha

a ' un punto improprio

O' corrispondente.

j a ''

O''

A

A'' A' S

s a a

= '= '' s j' a i a '

O' j a ''

O''

A

A'' A' S

s a a

= '= '' s j' i''

RETTE LIMITI

ESERCIZI

oo oo

Scelta arbitrariamente la direzione del punto improprio I' si determini l'omologo punto proprio I'' di I' , applicando le note proprietà

dell'omologia, il punto I'' così individuato è un punto della prima retta limite i'', che dunque sarà la parallela alla retta s condotta per I''.

Con analogo procedimento si determina la seconda retta limite j'. Proprietà

oo oo

I' J''

S Viene utilizzata la proprietà

dell'omologia secondo cui i punti

J' j' corrispondenti sono allineati con

il centro dell'omologia. In tal

modo è possibile individuare i

punti propri I'' e J' dai quali si

A' traccieranno le parallele all'asse

i'' e j'.

I'' i''

s

A''

s a a

= '= '' oo

Se è nota una delle rette limiti ad esempio i'' scelto arbitrariamente su tale retta un punto I'', l'omologo I' è individuabile imponendo la

oo

proprietà dell'omologia secondo la quale i punti corrispondenti siano allineati con il centro S (quindi la direzione del punto improprio I' si

ricava congiungendo S con I'').

Una volta fatto ciò attraverso il procedimento inverso a quello precedentemente spiegato si può ricavare il punto A'.

Attraverso il procedimento

C'' inverso, tramite il punto I'' già

B'' assegnato si ricava il punto A'

oo

I' (due punti corrispondenti allineati

A'' con il centro).

I'' i''

S s

A'

s a a

= '= '' AFFINITA' OMOLOGICA

L'omologia affine può essere generata come sezione di stelle prospettive quando:

- entrambi i centri di proiezione sono punti impropri;

- entrambi i centri sono punti propri ma appartenenti a una retta parallela al quadro;

- i centri di proiezione sono uno proprio e l'altro improprio la cui direzione è parallela al quadro.

In questo caso la direzione del

oo

O'

a oo

O'' oo

centro S può essere

individuata sul quadro scegliendo

un ipotetico punto P e

proiettando tale punto P sul

quadro secondo i due centri di

proiezione impropri, fatto ciò la

P

A retta congiungente i punti

d'intersezione (P', P'') delle due

proiezioni di P con il quadro

indicherà la direzione del centro

oo

dell'omologia S .

A'' P''

A' P' oo

S

s a a

= '= '' s Nel secondo caso i due centri di

O'

a O'' proiezione O' e O'' giacciono su

di una retta parallela al quadro

oo

quindi il centro dell'omologia S

è un punto improprio e la sua

direzione è data dalla retta

congiungente i due punti di

proiezione O' ed O''.

A oo

S

A'' A'

s a a

= '= '' s Nel terzo caso la direzione di

O' a oo

oo

O'' S si ricava proiettando una

retta da O' secondo la direzione

oo

di O'' e quindi la direzione di

oo oo

S sarà parallela a O'' .

A A'

oo

A'' oo

S

s a a

= '= '' s OMOTETIA

a

Se il piano della figura è parallelo al quadro, l'asse dell'omologia risulta coincidente con la retta impropria comune ai diversi piani.

Di conseguenza due qualsiasi rette corrispondenti risultano parallele tra loro dato che il loro punto comune

oo

A° coincide con un punto dell'asse. O' Le due rette a' e a'' (proiezioni di

a da O' e O'') sono rette

O'' corrispondenti e dovrebbero

intersecarsi in un punto dell'asse,

ma dato che il punto di

intersezione di tali rette è un

oo

punto improprio ( A° ) le rette

B a risulteranno parallele.

A

a Il centro S dell'omologia resta

individuato dall'intersezione con il

quadro della retta passante per i

oo

A° due punti di proiezione.

a'' a'

B'' B'

A'' A' S

s a a

= '= '' TRASLAZIONE o EQUIPOLLENZA

oo oo

Se si verificano simultaneamente i due casi precedenti, dunque che siano impropri sia il centro S che l'asse s le rette che

congiungono punti corrispondenti sono parallele tra loro e sono parallele tra loro le rette omologhe. pertanto ogni figura si trasforma

mediante una traslazione di se stessa secondo la direzione del centro.

O''

O' Le due rette a' e a'' (proiezioni di

a da O' e O'') sono rette

oo

S° corrispondenti e dovrebbero

intersecarsi in un punto dell'asse,

ma dato che il punto di

intersezione di tali rette è un

oo

punto improprio ( A° ) le rette

risulteranno parallele.

a a

A I centri di proiezione O' e O''

B giacciono su una retta parallela al

quadro quindi il centro

oo

dell'omologia S è un punto

improprio e la sua direzione è

oo

A° data dalla retta congiungente O'

e O''.

A'

A'' B'

B'' a'

a''

s a a

= '= '' OMOLOGIA

ESERCIZI

Affinità Omologica Affinità omologica con centro improprio ed asse

proprio. L'unica differenza da un'omologia

normale è che la proiezione dei punti in

questione avviene secondo la direzione del

C' oo.

centro improprio di proiezione S

A'

B' s

B'' A'' oo

S

C''

Omotetia C' Omotetia, centro proprio di proiezione ed asse

improprio. Le rette corrispondenti (C'A' // C''A''

oo

etc.) sono parallele in quanto il punto A° in cui

A' si intersecano è un punto dell'asse (l'asse

coincide con la retta impropria del piano).

B' C'' A''

B'' S

Traslazione Traslazione, centro ed asse impropri. Stesso

procedimento dell'omotetia, solo che avendo

C' C' anche centro di proiezione improprio oltre alle

rette corrispondenti saranno parallele anche le

rette omologhe (A'A'', B'B'', C'C'').

A' A'

B' B' oo

S

OMOLOGIA DI RIBALTAMENTO

a

Per risolvere i problemi metrici relativi ad una figura appartenente ad un piano generico , è necessario riportare sul quadro la figura in

vera forma e grandezza. A tale scopo è necessario operare il ribaltamento del piano della figura sul quadro.

d

Durante il ribaltamento un punto A descrive un arco di circonferenza nel piano passante per A ortogonale alla retta s e il cui centro è

d

individuato nell'intersezione del piano con la retta s, così si determina sul quadro il ribaltato A* di A. Osserviamo come il punto A* si

può ottenere come proiezione del

oo

punto A dalla direzione R

oo

R b.

ortogonale al piano bisettore

a Si noti che la relazione che lega i

O' punti A' e A* si può considerare

come la proiezione di uno stesso

punto A da due centri distinti O' e

oo

R e dunque si tratta di

un'omologia.

A a a

*= '

A'

A*

S

s Il centro S di tale omologia è

l'intersezione con il quadro della

oo

retta R O' che congiunge i due

oo

centri di proiezione R e O'.

oo

R a La relazione che lega l'immagine

a

e il ribaltato di ogni punto di è

detta omologia di ribaltamento

w = (S, s, A', A*).

O' b

A a a

*= '

A'

A*

S

s METODO DI MONGE

Il riferimento nello spazio oo

O'

Il riferimento nello spazio è rappresentato da: p

''

p

due piani di proiezione, detti anche quadri, ' oo

O''

p

(I° piano di proiezione) e '' (II° piano di

proiezione) ortogonali fra loro; II I

Diedro Diedro

oo oo

due centri di proiezione impropri O' e O''

ciascuno ortogonale al relativo quadro;

l

la retta d'intersezione tra i due piani, detta p

'

linea di terra.

Inoltre i due piani si dividono in senso orario in l

I II III IV

quattro diedri, denominati , , e diedro. III IV

Diedro Diedro

Il riferimento nel piano

Nel piano il foglio da disegno è assunto come

p p

coincidente con ' mentre il piano '' si oo

O'

p

''

p

considera ribaltato in senso antiorario su '.

Il riferimento sul piano, ovvero sul foglio da oo

O''

disegno, risulta costituito da una sola retta

l

orizzontale, la linea di terra . semipiano superiore p

'

semipiano posteriore semipiano anteriore

semipiano superiore = semipiano posteriore p p

'= '' l

semipiano inferiore

l

semipiano infeeriore = semipiano anteriore RAPPRESENTAZIONE DEL PUNTO

Il riferimento nello spazio p

'' oo

O'

Le due proiezioni P' e P'' di un punto P dello g

p p''

'

spazio su e sono dette rispettivamente

prima e seconda proiezione. oo

O''

Le rette proiettanti determinano un rettangolo

g

contenuto nel piano (passante per P e P'' P

l

ortogonale ad ) di vertici P, P°, P'' e P'. p

'

P° P'

l

Ribaltamento del piano

p''

Nel ribaltamento di il punto P'' descrive nel

g

piano un arco di circonferenza di centro P° e

raggio P°P'' che cade sulla retta perpendicolare

l

ad

e passante per P' (ovvero l'intersezione dei

g p

e '

piani ).

Analogamente è possibile rappresentare

qualsiasi altro punto dello spazio. p

'' oo

O' g oo

O''

Il riferimento nel piano P

Le due proiezioni sul foglio da disegno risultano

dunque allineate su una retta perpendicolare ad p

'

l detta retta di richiamo. P°

P'' P'

p p

'= ''

P'' l

quota di P retta di richiamo

P° l

aggetto di P P' RAPPRESENTAZIONE DELLA RETTA

Il riferimento nello spazio p

'' oo

O'

oo

Una generica retta r viene proiettata da O' su

p

' nella retta r' (prima proiezione di r) mediante a

a oo

O''

il piano (piano proiettante in prima oo

proiezione) definito dal centro definito da O' Tr=Tr''

e dalla stessa retta r.

Con procedimento analogo, la stessa retta

p

oo '' r''

viene proiettata da O'' su nella retta r'' p

b '

r

(seconda proiezione di r) mediante il piano Tr'

(piano proiettante in seconda proiezione) r' Sr=Sr'

oo

definito da O'' e dalla retta r. Sr''

La retta r è dunque rappresentata dalle due l

proiezioni r' e r''. Costruzione semplificata

I punti Sr e Tr (prima e seconda traccia di r) e Si proietta il punto Tr=Tr''

le loro proiezioni rappresentano i punti oo

secondo la direzione di O' e

p p

d'intersezione della retta con i piani ' e ''. si unisce Tr' con Sr ricavando in

tal modo r'.

Successivamente si p