Riassunto esame di Consolidamento delle Strutture p.1

Applicazione del carico e eccentricità di H rispetto alla sezione considerata

TRdell'applicazione del carico e dall'eccentricità di H rispetto alla sezione considerata, ovvero y(x) dato dalla geometria dell'arco stesso. Per fare in modo che si crei tale comportamento, i vincoli alle imposte devono essere in grado di permettere la formazione della spinta orizzontale. Il momento flettente dell'arco risulta quindi ridotto rispetto a quello della trave.

40¾ ARCO A TRE CERNIERE

Si tratta di una struttura isostatica, quindi per ottenere il valore delle reazioni vincolari è sufficiente svolgere l'equilibrio alla rotazione e alla traslazione, facendo riferimento ad una trave semplicemente appoggiata. Per l'valutazione dell'andamento del momento flettente interno generato dai carichi agenti bisogna ricordare la definizione di momento flettente dell'arco e calcolare il valore della forza H in corrispondenza della cerniera, dove il M A è nullo:

momento M A

Come si può osservare, il momento flettente M si

arco: 41¾ ARCO FUNICOLARE

Le formule precedenti dimostrano che, per una assegnata condizione di carico, il valore della freccia determina anche il valore dell'azione H, per cui la distribuzione del momento flettente nell'arco dipende da y(x)/H. Si può quindi annullare il momento interno in ogni punto dell'arco. Così facendo si ottiene una linea d'asse chiamata FUNICOLARE DEI CARICHI ASSEGNATI, essendo il suo asse coincidente con la linea funicolare dei carichi, ovvero col poligono ottenuto combinando vettorialmente i carichi applicati mentre si procede lungo l'asse dell'arco. In questo caso limite il taglio e il momento sono nulli ed è presente solo azione assiale, data da: N(x) = H/cosα(x) con N positiva in compressione. Ciò consente di sfruttare appieno la sezione resistente. Tuttavia, ad ogni combinazione di

carico corrispondeuna differente curva funicolare ed è perciò necessario distinguere tra carichi permanenti, che sono generalmente invarianti, e carichi variabili, che cambiano di continuo durante la vita utile della struttura e in generale danno luogo a momenti flettenti positivi o negativi nella stessa sezione al variare della loro posizione. Il progettista tenderà ad assegnare come linea d'asse dell'arco la funicolare del carico permanente, che rappresentano più del 60% del totale, e sarà costretto a considerare comunque la presenza dei momenti flettenti prodotti dalle azioni variabili. Vediamo ora un esempio applicativo:

x ARCO FUNICOLARE DEL CARICO UNIFORME

Per ottenere la funicolare del carico uniforme bisogna trovare l'espressione della funzione y(x) ponendo il momento dell'arco pari a zero (M = 0). Si ottengono i valori della spinta H, a partire dal momento di chiave A della trave, posto in mezzeria, e l'espressione del

Momento flettente interno della trave. Sostituendo nell'equazione di partenza ed esplicitando la y(x), si ricava l'equazione della funicolare:

Funzione parabolica

Al risultato ottenuto può applicarsi il concetto di curve affini, poiché si tratta di un insieme di curve che differiscono solamente per il valore della freccia f e sono indipendenti dall'intensità del carico P. La similitudine tra la forma del momento flettente della trave M e quella dell'arco funicolare non è casuale:

TR(x) = M - H · y(x) -> M = H · y(x)

Essendo H costante, gli archi funicolari di un carico assegnato hanno la forma del diagramma del momento flettente prodotto sulla trave dallo stesso carico e differiscono tra di loro per il valore della freccia (anch'esse sono affini tra loro).

Se si fosse considerato come carico il peso proprio dell'arco, di sezione costante, la curva funicolare avrebbe avuto la forma di una catenaria, una

particolare parabola (similitudine con il comportamento di funepesante inestensibile soggetta al suo peso proprio).¾

ARCHI IPERSTATICI

Si tratta degli archi a due cerniere e gli archi a spinta eliminata, che sono gli schemi che più rappresentano il comportamento degli archi in muratura. Si ricorda che senza la spinta orizzontale H la struttura non è un arco ma una trave ad asse curvilineo; fa eccezione l'arco a spinta eliminata, in cui la spinta viene neutralizzata dalla catena. L'arco in muratura è un arco a due cerniere.

1. ARCO A DUE CERNIERE: è una struttura una volta iperstatica. Per la sua risoluzione si applica il principio dei lavori virtuali, dopo aver declassato un vincolo cerniera in carrello. Si divide il contributo dato dal carico esterno e quello dato dalla sola incognita iperstatica posta pari a 1. Vediamo il procedimento:

Si ottiene una relazione dove a numeratore sono riportati i termini che determinano lo spostamento relativo

trai punti A e B dovuto ai carichi esterni, mentre a denominatore, indicato con Δ*, sono riportatii termini che rappresentano tale spostamento per H*= 1. Tutto questo per il caso generale, ma è nellaprassi comune trascurare alcuni dei termini che sono riportati nell'espressione di H, come ladeformabilità a taglio se la sezione è compatta:

Come si vede anche da quest'ultima relazione, il termine relativo all'azione assiale posto a numeratore ha senso negativo: questo significa che un'azione assiale positiva (di compressione) oppure una contrazione termica inducono un decremento della spinta H. Questo decremento viene chiamata CADUTA DI SPINTA. Qualora quest'ultima fosse trascurabile, le espressioni precedenti si semplificano ulteriormente, ottenendo la forma di uso più comune:

In questo caso la linea d'asse dell'arco a due cerniere funicolare del carico coincide con quella ottenibile nel caso di arco a tre cerniere.

432. ARCO A SPINTA ELIMINATA: questo tipo di arco assume il proprio nome dal fatto che la spinta orizzontale non viene trasmessa alla struttura, ma viene interamente assorbita dall'arco mediante una catena, che può essere vista come un tirante che unisce tra di loro gli appoggi dell'arco. L'analisi viene effettuata in modo analogo al precedente, ricordando di inserire il termine relativo all'elasticità della catena (con E suo modulo elastico e A sua sezione):

Anche in questo caso è possibile semplificare l'espressione trascurare la deformabilità a taglio se la sezione è compatta:

Come si vede anche da qui, il termine relativo all'azione assiale posto a numeratore ha senso negativo: questo significa che un'azione assiale positiva (di compressione) oppure una contrazione termica inducono un decremento della spinta H. Questo decremento viene chiamata CADUTA DI

calcolata per L. In questomodo si azzerano gli spostamenti dei piedritti sotto carichipermanenti. Le azioni interne prodotte dai carichi permanentisi trovano per equilibrio con le equazioni generali per l'arco.

3. CALCOLO LE AZIONI INTENRE DOVUTE AI CARICHI VARIABILItramite l'equazione semplificata per il caso di arco a spintaeliminata, che considera il contributo della catena.

LA CADUTA DI SPINTASe è sempre lecito trascurare la deformabilità per taglio negli archi a sezione massiccia, così non è per laDEFORMABILITÀ ASSIALE. Si tratta del termine negativo presente all'interno della definizione della spinta H,che andando a sottrarsi produce una diminuzione della sua intensità. Una valutazione dell'influenzaesercitata da questo termine sul comportamento della struttura si può fare prendendo in considerazione unarco iperstatico. Si assume che l'arco sia una funicolare di un carico distribuito e quindi soggetto

alla solaazione assiale. Non importa che tipo di carico distribuito, l’importante è che non ci siano carichi concentrati.

Si consideri di tale arco un segmento di lunghezza infinitesima: l’obiettivo è quello di determinare lospostamento del carrello in orizzontale, ovvero l'effetto della deformazione dovuta allo sforzo normale:

L’avvicinamento delle imposte ottenuto non risulta congruente con i vincoli e va quindi sanato. Per fare ciòè necessario dividere lo studio nei due casi di arco iperstatico: l’arco a due cerniere e l’arco a spinta eliminata.

45A. ARCO A DUE CERNIERE: in questo caso si deve fare in modo che lo spostamento Δl si annulli. Ciò imponeuna variazione della spinta H (ΔH) che provoca uno spostamento uguale e contrario a quello indottodalla deformazione assiale, poiché ho una cerniera e non un carrello. In particolare:

Questa relazione fornisce una misura in percentuale

Dell'influenza della deformabilità assiale sul valore della spinta H nel caso arco a due cerniere.

B. ARCO A SPINTA