Riassunto esame Analisi e geometria II, prof. Vegni

P

( ) =lim

0

∂x t

t →0 f x , y , y

( )

+t −f (x )

∂f 0 0 0 0

P

( )

=lim

0

∂ y t

t →0

DERIVATE DIREZIONALI

f x , y , y

( )

+at +bt −f (x )

∂f 0 0 0 0

P

( )

=lim

0

∂ y √ 2 2

t a +b

t →0 { x=x +at

Lungo r : 0

y= y +by

0

CONTINUITÀ

lim f x , y x , y

( ) ( )

=f 0 0

x, y →(x , y

( ) )

0 0

DIFFERENZIABILITÀ

∂f ∂f

lim f x , y P P x−x P y− y

( )−[f ( ) ( )( ) ( )( )

+ + ]

0 0 0 0 0

∂x ∂y

x , y →(x , y

( ) ) ¿0

0 0 √ 2 2

x−x y y

( ) ( )

+ −

0 0

Teo. del Differenziale totale

Sia . Se ovvero è continua e con derivate continue

1

f : A→R f ∈C (A)

 f è differenziabile il A

CONSEGUENZE

Se f è differenziabile  f è continua in P ;

1. 0

∂f

( )

P

( )

0

∂ x

Teo. Del gradiente .

P

( )

2. ∇f =

0 ∂f P

( )

0

∂y

∂f v

Se f è differenziabile  P P

( ) ( )

=∇f

0 0

∂v ∣ ∣

v

∣ ∣

∂f a ∂f b

P P

( ) ( )

¿ +

0 0

∂x ∂ y

√ √

2 2 2 2

a a

+b +b

individua la direzione di massima crescita di f;

3. ∇f (P )

0 è ortogonale alle curve di livello.

4. ∇f (P )

0 LIMITI

lim f x , y

( )=l

x, y → x , y

( )

( ) 0 0 ∣ ∣

l P :∀P P → f P

( ) ( )−l

( ) ( )

∀U ∃U ∈U <ε

ε δ 0 δ 0

MOSTRARE L’ESISTENZA DI UN LIMITE

Supponiamo che esista e una funzione R della sola variabile ρ tale

l∈R

che in un intorno di P si abbia:

0

∣ ∣

f x y ≤R ρ T θ ≤ R ρ

( ) ( ) ( )

( )

+ρcosθ, +ρsinθ −l

0 0 lim f x , y

( )=l

Che, per ,tende a 0. Quindi

ρ→0 x, y → x , y

( )

( ) 0 0

MOSTRARE LA NON ESISTENZA DI UN LIMITE

Basta mostrare che, per due restrizioni differenti A e B il valore del limite è

differente per mostrare la non esistenza del limite.

PIANO TANGENTE

Se f è differenziabile in P allora sarà approssimata da un piano tangente di

0 equazione: { x−x

con v=

z=f P P v

( ) ( ) 0

+∇f

0 0 y− y 0

∂f ∂ f

Quindi: z=f P P x−x P y− y

( ) ( )( ) ( )( )

+ +

0 0 0 0 0

∂x ∂y

N.B. infatti una funzione è differenziabile in un punto se e solo se è ben

approssimata dal suo piano tangente.

SVILUPPI DI TAYLOR

Teo. di Schwarz: le derivate miste di funzioni continue sono coincidenti.

Il polinomio di Taylor al secondo ordine di una generica f(x,y) in P è:

0

+1

T P P , v> ,Hf P v>¿

( ) ( ) ( )

=f +¿∇f <v

2 0 0 0

2 [ ]

2 2

∂ f ∂ f

∂f

( ) P P

( ) ( )

P

( )

{ x−x 0 0

∂ x ∂ y

0 2

∂ x ∂ x

Dove , e

v= 0 f P

( )

∇ = Hf P

( )

0

y− y ∂f 0 2 2

∂ f ∂ f

P

( )

0 P P

( ) ( )

0

∂y 0 0

2

∂ x∂ y ∂y

Quindi:

[ 2 2 2

∂f ∂f 1 ∂ f ∂ f ∂ f

2 2

T P P x−x P y− y P x−x P x−x y− y P y− y

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )

=f + + + +2 +

2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

2 2

∂x ∂y 2 ∂ x∂ y

∂x ∂y

FORME QUADRATICHE

Polinomio quadrico (di secondo grado)

2 2

q x , y x y

( ) =a +bxy+c

TEO. DI RAPPRESENTAZIONE

Ogni forma quadrica può essere rappresentata in modo unico da una matrice

simmetrica. [ ]

b

a 2

T T

q x , y v , Av v Av con A=A

( ) =¿ >¿ = b c

2

TEO. FONDAMENTALE DELLE FORME QUADRICHE

Se gli autovalori di A:

Sono tutti positivi  q(x,y,…) è definita positiva.

• Sono tutti negativi  q(x,y,…) è definita negativa.

• Sono discordi  q(x,y,…) è indefinita.

• Praticamente:

[ ]

a b

Se :

A= valgono≤seguenti considerazioni

b c

{ { a → q x.. è definita positiva

( )

>0

detA>0 → 11

a → q x … è definita negativa

( )

<0

11

detA<0 → q x … è indefinita

( )

detA=0 → q x … è semidefinita

( )

Per matrici (n,n) vale il criterio di Silvester: considero le matrici di nord-

ovest. Se il determinante delle matrici di nord-ovest:

Sono tutti positivi .

→ q x … èdefinita positiva

• ( )

Sono alternati in segno con a < 0 →q x… è definitanegativa.

( )

• 11

Sono alternati in modo casuale →q x… èindefinita.

• ( )

PROBLEMI DI OTTIMO (LIBERO)

TEO. DI FERMAT

(condizione necessaria del I ordine)

Hp. f è differenziabile in un punto P A interno e di estremo relativo, ovvero:

ϵ

0

f P ≥f P

( )

( ) ∀P∈U (P )

0 r 0 ∂f

( )

P

( )

0

∂ x

Th. P è punto stazionario, ovvero f P

( )

∇ = =0

0 0 ∂f P

( )

0

∂y

Quindi, nei problemi di ottimo faccio la mia ricerca nei punti stazionari della

funzione. Ho bisogno ora, di una condizione del secondo ordine per stabilire

la natura dei punti trovati.

CRITERIO SUFFICIENTE DEL II ORDINE PER L’ESISTENZA DI:

Massimo locale Hf(P ) è definita negativa.

↔

• 0

detHf P trHf P

( ) ( )

>0e <0

0 0

Minimo locale Hf(P ) è definita positiva.

↔

• 0

detHf P trHf P

( ) ( )

>0e >0

0 0

Punto di sella Hf(P ) è indefinita.

↔

• 0

detHf P

( ) <0

0

Se nessuna conclusione.

detHf P 0→

( )

=

• 0

TEO. DI WEIERSTRASS

Siaf continuasu A chiusoelimitato→∃m,M t.c.

m≤f P ≤M A

( ) ∀P∈

PROBLEMI DI OTTIMO (VINCOLATO)

Cerco max/min di f(x,y) sub x, y oppure g x , y

( ) ( )

∈γ =b

VINCOLI ESPLICITABILI

Data , se posso esplicitare x o y in funzione di una delle due

g x , y

( )=b

variabili, la esplicito e sostituisco. Quindi diventa un problema in una variabile

(diminuisco i gradi di libertà).

VINCOLI NON ESPLICITABILI

Studiando le linee di livello di una qualsiasi funzione, fintanto che il vincolo

non è tangente ad una di esse, posso sempre crescere/decrescere lungo

una qualche direzione. Quindi, studio le condizioni di tangenza tra il vincolo e

le curve di livello come parallelismo tra i gradienti della funzione e del vincolo

 dove è detto moltiplicatore di Lagrange. Introduco quindi

λ

∇f=λ∇g la lagrangiana (in ):

2

R

∶=f

L x , y, λ x , y x , y

( ) ( )−λ(g ( )−b)

Ne cerco i punti stazionari:

{ L λ g

=f − =0

x x x

L g

=f −λ =0

y y y

L g−b

=−( )=0

λ

Trovati i punti stazionari, dovrò valutare di che tipo di punti si trattano.

METODO RISOLUTIVO PER EQUAZIONI

DIFFERENZIALI DEL SECONDO ORDINE A

COEFFICIENTI COSTANTI

Sia 2 o

L:C R →C R

( ) ( )

(operatore lineare)

' ' '

y(t)→a y y

+b +cy

CASO OMOGENEO

Posso avere: λ e λ

Due soluzioni reali .

1. 1 2 λ t λ t

Avrò un integrale generale di tipo: y t e e

( )=c +c

1 2

1 2

Due soluzioni coincidenti .

λ

2. λt λt

Avrò un integrale generale di tipo: y t e x e

( )=c +c

1 2

Due soluzioni complesse e coniugate .

λ=a±ib

3. Avrò un integrale generale di tipo:

at at ⁡

y x e cos bt e sin bt)

( )=c ( ) +c (

1 2

CASO NON OMOGENEO

f(x) Soluzione tipo Eccezioni

Polinomio di grado n di Se c = 0, pol. di grado

tipo: n+1;

Polinomio di grado n Se c=b=0, pol. di grado

n n−1

A x x

+B +…+C n+2;

Se è soluzione

λt

e

dell’omogenea scelgo

λt λt

Ae Be oppure

λt 2 λt

Bt e Bt e

Se b = 0 e è

⁡

c cos ωt sin ωt)

( )+c (

1 2

soluzione dell’omogenea,

acos ωt Acos ωt

( ) ( )+Bsin(ωt)

+bsin(ωt) scelgo

c ⁡

t(¿¿1cos ωt sin ωt

( )+c ( ))

2

¿

Se non è radice di allora scelgo

λ=α±iβ P(λ)

oppure

at

A e cos⁡ βt)

( . Se è radice aggiungo una t

αt ( )

B e kcos βt βt

( )+hsin ( )

at

A e sin⁡ βt)

( alla soluzione precedente.

METODO APPLICATIVO DELLA FORMULA DI EULERO

Data l’equazione differenziale:

'' ' αt

a y y e cos βt

( )

+b +cy=A (1)

' ' ' αt

a y y e sin βt

( )

+b +cy=A (2)

Nella ricerca della soluzione particolare, posso risolvere l’equazione

complessa associata e prendere, rispettivamente, la parte reale per la (1) e

quella immaginaria per la (2).

Ovvero, scrivo l’equazione come:

'' ' α+i t

( )

aw e

+bw +cw=A

E cerco una soluzione della forma: . Trovata la B che verifica

α+i t

( )

w t

( )=Be

l’eq. differenziale, l’integrale generale dell’equazione reale sarà:

per la (1)

[ ]

αt

( ) ( )

y t w t Be cos βt βt

( )=ℜ ( ) ( )+isin ( )

=ℜ per la (2)

[ ]

αt

( ) ( )

y t w t B e cos βt sin βt

( )=ℑ ( ) ( ) ( )

=ℑ +i

SISTEMI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI

{ '

x =ax+by

'

y =cx+dy ∣ ∣

x t

( )

Le soluzioni sono del tipo r =

t y t

( ) λ e λ

L’equivalente matriciale del sistema è . Sopponiamo

r=Ar 1 2

h eh

autovalori distinti di A con relativi autovettori. L’integrale generale

1 2 sarà:

λ t λ