Riassunto esame Analisi e geometria II, prof. Vegni

Algebra lineare

Spazi vettoriali

Si definisce spazio vettoriale un insieme V i cui elementi sono chiusi rispetto alle operazioni di somma e prodotto per uno scalare. Ovvero:

• 0 ∈ V
• Se u, v ∈ V, anche u + v ∈ V
• Se u ∈ V e t ∈ R, anche tu ∈ V

Un sottoinsieme U di V si dice sottospazio, anch'esso chiuso rispetto alle operazioni precedenti. Viene detto che un vettore v è una combinazione lineare di vettori v₁, v₂, ..., v_d se esistono scalari t₁, t₂, ..., t_d per cui:

v = t₁v₁ + t₂v₂ + ... + t_dv_d

Sia H l'insieme delle combinazioni lineari: H(v₁, v₂, ..., v_d) sarà un sottospazio vettoriale di V che si dice generato da v₁, v₂, ..., v_d.

Un insieme di questo tipo si dice che è un insieme di vettori linearmente dipendenti se esistono degli scalari non nulli tali che:

t₁v₁ + t₂v₂ + ... + t_dv_d = 0

Si dice che l'insieme al contrario è fatto di vettori linearmente indipendenti se:

t₁ = t₂ = ... = t_d = 0

I vettori formano una base di V se e solo se generano V e sono linearmente indipendenti.

Si dice che uno spazio vettoriale V ha dimensione finita se è generato da un numero finito di vettori. Il numero di elementi di una base di questo spazio si dice dimensione.

Applicazioni lineari

Th. di rappresentazione

Sia f : V → W tale che v → w = f(v). Se f è lineare (additiva + omogenea) esiste ed è unica la matrice A che rappresenta l’azione di f, ovvero:

f(v) = Av

Nucleo

{v ∈ V : f(v) = 0} ≡ {v ∈ V : Av = 0}

Immagine

{w ∈ W : ∃ v ∈ V : f(v) = w} ≡ {w ∈ W : ∃ v ∈ V : Av = w}

Suriettività ed iniettività

Un’applicazione si definisce:

• Suriettiva se Image(f) = W
• Iniettiva se e solo se Ker(f) = {0}

Teorema di nullità più rango

Sia f : V → W tale che v → w = f(v) = Av. Se f è lineare, allora:

dim(Ker(f)) + dim(Image(f)) = dim(V)

Endomorfismo

Si definisce tale un’applicazione del tipo f : V → V. Th. f è iniettiva ↔ f è suriettiva.

Autovettori

Si definiscono autovettori delle direzioni privilegiate che non vengono modificate dall’azione di f: w = λv ∃ v. Affinché il sistema abbia soluzioni non banali, occorre che A - λI v = 0: un’equazione polinomiale chiamata equazione caratteristica det(A - λI) = 0 avente esattamente soluzioni in C. Si definiscono autovalori le radici dell’equazione caratteristica.

Proprietà degli autovettori

• Se v₁ è un autovettore relativo a λ, ogni suo multiplo sarà autovettore relativo allo stesso autovalore.
• Se v e u sono autovettori relativi ad uno stesso autovalore, anche la loro somma è autovettore dello stesso autovalore.
• Se v è autovettore di A e u ≠ v, allora v e u sono linearmente indipendenti.
• Autovalori di una matrice triangolare si trovano sulla diagonale.

Autospazi e molteplicità

Dalle proprietà precedenti, si definisce autospazio l’insieme degli spazi relativi ad uno stesso autovalore. È uno spazio vettoriale. Chiamo polinomio caratteristico quello derivante da det(A - λI). Sarà un polinomio di grado n nella variabile λ.

P(λ) = det(A - λI) = (-1)ⁿλⁿ + ... + c_n-1λ^n-1 + c₀

Se λ₀ è radice di P(λ), allora, per il teorema di Ruffini, P(λ) è divisibile per (λ - λ₀), ovvero esiste un polinomio di grado n - 1, chiamato Q(λ), tale che:

P(λ) = (λ - λ₀) Q(λ)

Il numero m si dice molteplicità algebrica.

Def. Si definisce invece molteplicità geometrica di un autovalore, la dimensione del suo autospazio. In generale:

1 ≤ m_algebrica ≤ m_geometrica

Dato λ₀, radice di calcolo, la molteplicità geometrica come:

g(λ₀) = n - r(A - λ₀I)

Dove n è la dimensione di A.

Matrici simili

Def. A e B si dicono simili se esiste P non singolare tale che:

P^-1AP = B

Matrici diagonali

Def. A è diagonalizzabile se esiste una matrice D simile ad A, cioè:

∃ P : P^-1AP = D

Con D = diag(x₁, ..., x_n), dove x_i sono autovalori di A.

Proprietà matrici simili e diagonalizzabili

• Se A e B sono simili → hanno gli stessi autovalori.
• Se A è diagonalizzabile → D (simile ad A) ha sulla diagonale gli autovalori di A.

Th. A è diagonalizzabile ↔ ha n autovettori linearmente indipendenti. Quindi diagonalizzare significa scegliere una base B in modo da rappresentare un'applicazione nel modo più semplice possibile.

Matrici ortogonali

Se una matrice è simmetrica → T^TAv = u^TA^Tv. Una matrice U è ortogonale se U^-1 = U^T (ha colonne ortogonali tra loro e di modulo unitario).

Teorema spettrale

• Se A è simmetrica → autovalori di A sono reali.
• Se A è simmetrica → autospazi di autovalori diversi sono linearmente indipendenti ed ortogonali tra loro.
• Se A è simmetrica → tutti gli autovalori sono regolari.

Quindi: le matrici simmetriche sono ortogonalmente diagonalizzabili, ovvero:

∃ U : U^TA^TU = D

Cambiamenti di base

Dalla base canonica a una base B

Data un'applicazione lineare avente matrice di rappresentazione A (in base canonica), scelgo una base B = {v₁, v₂, ..., v_n}

BεAεεε_B • A_B • P = P_εB

Dove P_εB è la matrice che ha per colonne i vettori di B.

Da una base B alla base canonica

εε_BA_B•P = P_Bε

Calcolo differenziale per funzioni a più variabili

Derivate parziali

∂f/ ∂x: lim_t→0 (f(x₀+t, y₀) - f(x₀, y₀)) / t

∂f/ ∂y: lim_t→0 (f(x₀, y₀+t) - f(x₀, y₀)) / t

Derivate direzionali

∂f/ ∂v: lim_t→0 (f(x₀+at, y₀+bt) - f(x₀, y₀)) / √(a²+b²)t

Lungo r: x = x₀ + at, y = y₀ + bt

Continuità

lim_{(x,y)→(x0,y0)} f(x,y) = f(x₀,y₀)

Differenziabilità

Una funzione f è differenziabile in (x₀, y₀) se:

lim_{(x,y)→(x0,y0)} [f(x,y) - f(x₀,y₀) - ∂f/∂x(x₀,y₀)(x-x₀) - ∂f/∂y(x₀,y₀)(y-y₀)] / √(x-x₀)²+(y-y₀)² = 0

Teorema del differenziale totale

Sia f : A → R. Se f ∈ C¹(A), ovvero è continua e con derivate continue, allora f è differenziabile in A.

Conseguenze

• Se f è differenziabile → f è continua in P₀.
• Teo. del gradiente: ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y) indica la direzione di massima crescita di f.
• ∇f(P₀) è ortogonale alle curve di livello.

Limiti

lim_{(x,y)→(x0,y0)} f(x,y) = l ↔ ∀P : |f(P) - l| < ε, ∃δ > 0 : |P - P₀| < δ