Riassunto esame "analisi e geometria 1", prof. Lanzarone

Insiemistica

INSIEME: nozione primitiva - non si può definire basandosi su idee più semplici.

(lettera maiuscola)

ELEMENTO: entità di cui è composto un insieme.

(lettera minuscola)

Tra Insieme e Elementi c’è relazione di appartenenza (es a ∈ A)

Insiemi si indicano per TABULAZIONE: elenco di elementi appartenenti ad un insieme (es A = {1,2,3,4})

APPARTENENZA È UNICA RELAZIONE TRA INSIEME ED ELEMENTO non interessa né molteplicità né ordine

A = {1,2,3,4} equivale a A = {4,3,2,1}

RELAZIONI TRA INSIEMI:

UGUAGUANZA —> A = B

∀x, x ∈ A —> x ∈ B e ∀x x ∈ B —> x ∈ A

∀ —> QUANTIFICATORE UNIVERSALE —> =⇒ IMPLICAZIONE LOGICA

INCLUSIONE —> A ⊆ B (A è incluso in B)

∀x, x ∈ A —> x ∈ B

(caso particolare) INCLUSIONE STRETTA —> A ⊂ B

∀x, x ∈ A —> x ∈ B e ∃x ∈ B | x ∉ A

∃ —> QUANTIFICATORE ESISTENZIALE

se ⇒ allora { ⇔

allora ⇐ se

INSIEME VUOTO: insieme senza elementi (∅)

INSIEME DELLE PARTI: insieme che contiene altri insiemi, ovvero un insieme diventa un elemento di un insieme più grande

INSIEMI NUMERICI

Insiemistica

INSIEME: nozione primitiva - non si può definire basandosi su idee più semplici (lettera maiuscola)

ELEMENTO: entità di cui è composto un insieme (lettera minuscola)

Tra Insieme e Elementi c'è relazione di appartenenza (es a ∈ A)

Insiemi si indicano per TABULAZIONE: elenco di elementi appartenenti ad un insieme (es A = {1, 2, 3, 4})

APPARTENENZA È UNICA RELAZIONE TRA INSIEME ED ELEMENTO non interessa né molteplicità né ordine

A = {1, 2, 3, 4} equivale a A = {4, 3, 2, 1}

RELAZIONI TRA INSIEMI:

UGUAGLIANZA → A = B

∀x, x ∈ A ⇔ x ∈ B ∧ ∀x x ∈ B ⇔ x ∈ A

∀ → QUANTIFICATORE UNIVERSALE

⇛ IMPLICAZIONE LOGICA

INCLUSIONE → A ⊆ B (A è incluso in B)

∀x, x ∈ A ⇔ x ∈ B

(caso particolare) INCLUSIONE STRETTA → A ⊂ B

∀x, x ∈ A ⇒ x ∈ B e ∃x x ∈ B ∧ x ∉ A

∃ → QUANTIFICATORE ESISTENZIALE

se ⇒ allora {⇔}

allora ⇐ se

INSIEME VUOTO: insieme senza elementi ( ∅ )

INSIEME DELLE PARTI: insieme che contiene altri insiemi, ovvero un insieme diventa un elemento di un insieme più grande

INSIEMI NUMERICI

(Diagramma di Venn con i simboli N, Z, Q, R, C)

N

NUMERI NATURALI -> ℕ = {0, 1, 2, 3, ...}

Z

NUMERI INTERI -> ℤ = {..., -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, ...}

ℕ ⊂ ℤ

Q

NUMERI RAZIONALI (frazioni) -> non definibili per tabulazione si scrive la relazione

Q = l/m n,m ∈ ℤ, m ≠ 0

all'interno numeri decimali finiti e periodicinon importa se una stessa frazione esprime lo stesso numero

R

NUMERI REALI -> razionaliirrazionali (numeri decimali né finiti, né periodici)

presentano una successione infinita e non periodica di numeri decimali (es √2, 3 , π, e)

C

NUMERI COMPLESSI -> permettono di calcolare radici di numeri negativi (√-1 = i)

z = a + ib a ->complesso reale moltiplicato per irealereali e complessi NON sono tabulabili

OPERAZIONI TRA INSIEMI

INTERSEZIONE

A ∩ B Il risultato è un insieme

A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}

UNIONE

A ∪ B

A ∪ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}

Differenza

A-B

A\B = {x ∈ A e x ∉ B}

Completamento

A^C = X \ A   (A^C = A^c)

X: insieme di riferimento e insieme universale

Essendo X insieme universo: A ⊆ X

Prodotto Cartesiano

A × B = {(a, b): a ∈ A, b ∈ B}

Il risultato è un insieme che contiene coppie ordinate di cui un elemento appartiene ad A e l'altro a B

es: A = {a₁, a₂}   B = {b₁, b₂}

A × B

Non è possibile utilizzare diagrammi di Venn (in A e B ci sono numeri, in A × B ci sono coppie di numeri)

A × B ≠ B × A   sono coppie ordinate quindi l'inversa non è la stessa cosa

ℝ × ℝ = ℝ²

ℝ × ℝ × ℝ = ℝ³

Proprietà Operazioni

Intersezione

• Commutativa: A ∩ B = B ∩ A
• Associativa: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) = A ∩ B ∩ C
• Idempotenza: A ∩ A = A

Unione

• Commutativa: A ∪ B = B ∪ A
• Associativa: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) = A ∪ B ∪ C
• Idempotenza: A ∪ A = A

Proprietà distributive

• A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
• A ∪ (B ∩ C) =