Riassunto esame "analisi e geometria 1", prof. Lanzarone

Insieristica

INSIEME: nozione primitiva - non si puō definire basandosi su idee piv semplici

(lettera maiscola)

ELEMENTO: entitā di cui e composto un insiemee

(lettera minuscola)

L'insieme e elementi e relazione di appartenenza (es. a ∈ A)

Insiemi si indicano per tabulazione: elenco di elementi appartenenti ad un insieme (es. A = {1, 2, 3, 4})

APPARTENENZA È UNICA RELAZIONE TRA INSIEME ED ELEMENTO non interessa né la molteplicità né ordine

A = {1, 2, 3, 4} equivale a A = {3, 1, 2, 4}

RELAZIONI TRA INSIEMI:

UGUAGLIANZA - A = B

∀x, x ∈ A ⇔ x ∈ B e ∀x x ∈ B ⇒ x ∈ A

∀ - quantificatore universale ⇒ - implicazione logica

INCLUSIONE - A ⊆ B (A è incluso in B)

∀x, x ∈ A ⇔ x ∈ B

(caso particolare) INCLUSIONE STRETTA - A ⊂ B

∃x, x ∈ A ⇔ x ∈ B e ∃x ∈ B: x ∉ A

∃ - quantificatore esistenziale

SE ⇒ allora ⇔ allora ⇐ SE

INSIEME VUOTO: insieme senza elementi (∅)

INSIEME DELLE PARTI: insieme che contiene altri insiemi ovvero un insieme diventa un elemento di un insieme piū grande

INSIEMI NUMERICI

_{N Z Q} ^{R C}

NUMERI NATURALI

N = {0, 1, 2, 3, ... }

Se la cardinalità è infinita si può definire per tabulazione con puntini (se si capisce log∞).

NUMERI INTERI

Z = {0, +1, -1, +2, -2, ... }

NUMERI RAZIONALI (frazioni)

non definitibili per tabulazione

si scrive la relaz.

Q = m/n m ∈ Z, m ≠ 0

all'interno numeri decimali finiti e periodici

NUMERI REALI

irrazionali (numeri decimali né finiti, né periodici)

presentano una successione infinita e non periodica di numeri decimali (es: √2, √3, π, e)

NUMERI COMPLESSI

permette di calcolare radice di numeri negativi (√-4 = i)

z = a + ib

z complesso → reale moltiplicato per i

reali e complessi NON sono abitabili

OPERAZIONI TRA INSIEMI

INTERSEZIONE → A ∩ B Il risultato è un insieme

A ∩ B = {x: x ∈ A e x ∈ B}

UNIONE

A ∪ B = {x: x ∈ A o x ∈ B}

Principio di induzione

Vale per questo tipo di situazioni:

∀n∈ℕ, n≥n₀ → p(n) è vera

Si dimostra in 2 parti:

1. Dimostro che p(n₀) è vera (* termine sequenza)
2. Dimostro che p(n + 1) è vera sfruttando che p(n) è vera (ip. ind.)

Con il primo passaggio dimostro p(n₀) è vera, con il secondo dimostro che è vera p(n₀+1), p(n₀+2) e così via.

Se la prima parte non si può verificare, cade tutta la catena.

Es. n² ≥ 2n+1 per n≥3

1. n=3 → 3² ≥ 2·3+1 → 9 ≥ 7 → Vera
2. Dimostro p(n+1) è vera sapendo p(n) è vera (n diventa n+1).

(n+1)² ≥ 2(n+1) + 1

La dimostro con principio induzione:

(n+1)² = n²+2n+1 ≥ 2n+3 = 2(n+1)+1 = (n+1)² ≥ 2(n+1)+1 → per ip. ind. n²≥2n+1

poiché vale per n=3

(n+1)² = 2n+3 = 2(n+1)+1

C.V.D. Il principio di induzione vale per numeri interi (perché si aggiunge).

Disuguaglianza di Bernoulli

∀n∈ℕ, x∈ℝ, x ≥ -1 → (1+x)ⁿ ≥ 1+nx con n₀=0

1. n₀=0 → (1+x)⁰ ≥ 1+0x → 1 ≥ 1 vera
2. (-1 < x) → (1+xⁿ)(1+x) ≥ 1+nx

(1+x)ⁿ⁺¹ = (1+x)ⁿ(1+x) ≥ 1+nx → (1+x)ⁿ(1+x)

Ind.

…(1+x) = ((1+x)ⁿ) ≥ 1+nx → (1+x)ⁿ⁺¹

sempre >0, quindi

(1+(n+1)x) = (1+x)ⁿ + x + n²

((1+(n+1)x)) = 1+(n+1)x

C.V.D.

Q | 1 | -1 | 1/2 | -2 | 1/3 | -3 | 1/4 |

quasi

N 0 1 2 3 4 5

c’è corrispondenza biunivoca con N

introduco anche frazioni negative

e zero

Q | 0 1 -1 1/2 -1/2 2 -2 |

Q è numerabile

N 0 1 2 3 4 5 6

R non é numerabile (dim con controesempio)

PROCEDIMENTO DIAGONALE DI CANTOR (dim per assurdo)

nego la tesi — R è numerabile —>

[0, 1] é numerabile (restringo il campo)

vuol dire che posso elencare

e dare una posizione a tutti i punti compresi tra 0 e 1

cifre decimali

r₁ = 0, a₁ a₂ a₃ ...

r₂ = 0, a₂₂ a₂₃ ...

r₃ = 0, a₃₁ a₃₂ a₃₃

r_* = 0, a₄₁ a₄₂ a₄₃ a₄₄

inserisco * che fa scalare tutte le cifre successive

(prima erano in corrispondenza biunivoca)

r* = 0, b₁ b₂ b₃

scomodo ti modulo che

cioè si guarda la diagonale

es. 0, 4 2 3 r* = 0, 5 4 4

0, 4 8

0, 3 9

b: {5 se a_ii = 0, 1, 2, 3, 4}

{4 se a_ii = 5, 6, 7, 8, 9}

è sicuramente diverso perché la prima cifra del numero che si prende in esame è stata scelta per essere diversa

[0, 1] ⊂ R non é numerabile

R non é numerabile ^{è in POTENZA DEL CONTINUO}

Successione Divergente

∀M∃n₀∈ℕ: aₙ > M ∀n ≥ n₀.

aₙ → +∞ lim aₙ = +∞

Dualmente:

∀M∃n₀∈ℕ: aₙ ≤ -M ∀n ≥ n₀.

R → ∞ non corrisponde a nessun numero, ∞ è qualcosa di più grande di qualsiasi numero pensabile.

Geometricamente: +∞ è un punto a destra di un qualsiasi numero reale (-∞ è a sinistra) ∞ ∉ R

R* = R ∪ {-∞} ∪ {+∞}

• successione è convergente se ha il limite in R
• successione è divergente se ha il limite in R* ma non in R (ovvero in R*\R)

numero reale finito, x ∈ R

numero reale che potrebbe essere finito: x ∈ R*

Es. Verifica Divergenza

lim 3ⁿ = +∞ → 3ⁿ > M → n > log₃ M n₀ ⎢⎣ log₃ M ⎥⎦ → verifica

Successioni Irregolari o Indeterminate

Alt lim aₙ n→∞

es. lim ((-1)ⁿ)ⁿ continua a saltare da -1 a 1

lim sin(πn) il periodo è irrazionale, quindi

successione sarà composta da valori sempre diversi

24/9/19

Seconda forma permanenza segno.

Forma più generale

Hp _n → a

_n → b

_n > _n definitivamente

Teorema del confronto

definiz. limite per _an

Hp _{an ≤ n ≤ cn}

definitivamente

_n → l

_n → l

(teorema dei 2 carabinieri)

Dim

∀ ε > 0 l - ε < _{an < l + ε def.}

∀ ε > 0 l - ε < _{cn < l + ε def.}

- ε

_{cn < l + ε def., ma poiché an ≤ n ≤ cn}

l − ε < _{bn < l + ε}

definizione di limite → _n → l

Corollario 1

Hp _n ≤ _{cn def.}

Is _n → 0

_{cn -> 0}

Corollario 2

Hp _{cn → 0}

_n LIMITATA def.

Is _{cn&sdotn → 0}

25/9/19

^a_n ~ ^b_n ASINTOTICO → lim ^a_n/_bn = c FINITO ≠ 0

entrambe convergono o entrambe divergono

relaz. di ASINTOTICITÀ é TRANSITIVA: ^a_n ~ ^b_n e ^b_n ~ ^c_n ⇒ ^a_n ~ ^c_n

OPERAZIONI

^{a_n a_n'} _{bn bn'} ^a_nb_n' tutte le operazioni

_{cn cn'} ⇒ _cncn' valgono

ASINT. é RELAZIONE DI EQUIVALENZA perché valide proprietà:

• RIFLESSIVA: a_n ~ a_n
• SIMMETRICA: a_n ~ b_n ⇒ b_n ~ a_n
• TRANSITIVA: a_n ~ b_n e b_n ~ c_n ⇒ a_n ~ c_n

voglio confrontare log_α n e n^α (infiniti per x → ∞, α > 0)

lim ^{log_α n}/_n^β = 0 → VUOL DIRE CHE log_α n É UN INFINITO DI ORDINE INFERIORE A n^α ∀α > 1 e α > 0