Riassunto esame Analisi 2, prof. Ascenzi

Curve parametrizzate

Definizione di curva e parametri

Curva φ: I → ℝⁿ con I ⊆ ℝ intervallo continua, ovvero le funzioni φ_i: I → ℝ che descrivono le coordinate del punto φ(t) ∈ ℝⁿ sono continue in I. La variabile t verrà detta parametro della curva. L’immagine φ(I) è invece detto sostegno della curva. Le equazioni che descrivono le coordinate del punto φ(t) sono dette equazioni parametriche.

Curva chiusa

Se I = intervallo chiuso e limitato con I = [a,b] → φ(a) = punto iniziale φ(b) = punto finale ↔ se φ(a) = φ(b) la curva è chiusa.

Curva semplice

φ: I → ℝⁿ, φ(t₁) = φ(t₂) solo per t₁ = t₂ eccetto eventualmente che per t₁ = a e t₂ = b nel caso in cui I = [a,b].

Curve regolari

Classe C¹ in I se la funzione φ: I → ℝⁿ risulta derivabile con derivata continua in I. La curva è in classe C¹ se risultano tali le sue componenti φ_i(t) ∀ i = 1..n.

Curva in classe C¹ a tratti se esiste una partizione dell’intervallo I in un numero finito di intervalli tale che risulta di classe C¹ in ogni intervallo della partizione.

Retta tangente

Se φ’(t₀) ≠ 0 → r(t) = φ(t₀) + φ’(t₀) · (t-t₀) è la retta tangente in t₀. Il vettore φ’(t₀) è detto vettore tangente. Se φ’(t₀) ≠ 0 allora φ(t₀) è un punto regolare.

Vettore tangente → T(t₀) = ^φ’(t₀)/_{‘φ’(t0)‘}. φ(t), t ∊ I, è regolare se φ ∈ C¹(I) e se φ’(t) ≠ 0 ∀ t ∊ I. Regolare a tratti se φ ∈ C¹ a tratti e φ’(t) ≠ 0 ∀ t ∊ I eccetto al più che in un numero finito di punti.

Curve equivalenti

φ: I → ℝⁿ e φ: J → ℝⁿ sono equivalenti, ovvero φ ≈ φ, se esiste un’applicazione r: J → I di classe C¹ in J con r’(t) ≠ 0 ∀ t ∊ J, se r(J) = I e se φ(t) = φ(r(t)) ∀ t ∊ J. In questo caso r è chiamato cambiamento di parametro ammissibile.

Curve parametrizzate nel contesto di Wⁿ

Curva Wⁿ: Applicazione φ: I ⊆ R → Wⁿ con I ⊆ R intervallo, continua, ovvero le funzioni ψ: I ⊆ R → Rⁿ che descrivono le coordinate del punto ψ(t) ∈ Rⁿ sono continue in I. La variabile t verrà detta parametro della curva. L'immagine γ = ψ(I) è invece detto sostegno della curva. Le equazioni che descrivono le coordinate del punto ψ(t) sono dette equazioni parametriche.

Curva chiusa

Se I = intervallo chiuso e limitato con I = [a,b] → ψ(a) = punto iniziale e φ(b) = punto finale e se ψ(a) = ψ(b) la curva è chiusa.

Curva semplice

ψ: I ⊆ R → Wⁿ è detta semplice se ψ(t₁) = ψ(t₂) solo per t₁ = t₂ eccetto eventualmente che per t₁ = a e t₂ = b nel caso in cui I = [a,b].

Curve regolari

Classe C¹ in I se la funzione φ: I ⊆ R → Rⁿ risulta derivabile con derivata continua in I. La curva in classe C¹ se risultano tali le sue componenti ψ_i(t) ∀ i = 1…n.

Curva in classe C¹ a tratti se esiste una partizione dell'intervallo I in un numero finito di intervalli tale che ψ è curva di classe C¹ in ogni intervallo della partizione.

Retta tangente

Se ψ’(t₀) ≠ 0 → r(t) = (ψ(t₀) + ψ’(t₀) · (t-t₀)) è la retta tangente in t₀. Il vettore ψ’(t₀) è detto vettore tangente. Se ψ’(t₀) ≠ 0 allora ψ(t₀) è un punto regolare.

Versore tangente → T(t₀) = ψ’(t₀)/||ψ’(t₀)||. ψ(t), t ∈ I, è regolare se ψ ∈ C¹(I) e se ψ’(t) ≠ 0 ∀ t ∈ I. ψ(t), t ∈ I, è rego