Riassunto esame Analisi 2, prof. Ascenzi

Curve Parametrizzate

Curva in Rⁿ: applicazione ψ: I ⊆ R → Rⁿ, con I ⊆ R intervallo, continua,

ovvero le funzioni ψ_i: I ⊆ R → Rⁿ che descrivono le coordinate

del punto ψ(t) ∈ Rⁿ sono continue in I.

La variabile t ∈ I verrà detta parametro della curva.

L'immagine ψ(t) (t∈I) è invece detto sostegno della curva.

Le equazioni che descrivono le coordinate del punto ψ(t) sono

dette equazioni parametriche.

Chiusa [Se I = intervallo chiuso e limitato con I = [a, b] → ψ(a) = punto iniziale

ψ(b) = punto finale ⇔ se ψ(a) = ψ(b) la curva è chiusa.

Semplice [ψ: I ⊆ R → Rⁿ è detta semplice se ψ(t₁) = ψ(t₂) solo per t₁ = t₂

eccetto eventualmente che per t₁ = a e t₂ = b nel caso in cui I = [a, b]

Curve Regolari

Classe C¹ in I se la funzione f: I ⊆ R → Rⁿ risulta derivabile

con derivata continua in I.

La curva in classe C¹ se risultano tali le sue componenti ψ_i(t) ∀i = 1...n

Curva in classe C¹ a tratti se esiste una partizione dell'intervallo I

in un numero finito di intervalli tale che ψ risulta di classe C¹ in

ogni intervallo della partizione.

Retta tangente: se ψ'(t₀) ≠ 0 → r(t) = ψ(t₀) + ψ'(t₀) • (t - t₀) retta tangente in t₀

Il vettore ψ'(t₀) è detto vettore tangente

Se ψ'(t₀) ≠ 0 allora ψ(t₀) è un punto regolare

Versore tangente → T(t₀) =

ψ'(t₀)

‖ψ'(t₀)‖

ψ(t), t∈I, è regolare se ψ ∈ C¹(I) e se ψ'(t) ≠ 0 ∀t∈I

Regolare a tratti [ψ(t), t∈I, è regolare se ψ ∈ C¹ a tratti e ψ'(t) ≠ 0 ∀t∈I

eccetto al più che in un numero finito di punti.

Curve Equivalenti

ψ: I ⊆ R → Rⁿ e ψ: J ⊆ R → Rⁿ equivalenti, ovvero ψ ≅ ψ, se esiste

un'applicazione R: J ⊆ I → J di classe C¹ in J con R'(x) ≠ 0 ∀x∈J,

se r(J) = I e se ψ(x) = ψ(r(x)) ∀x∈J.

In questo caso R è chiamato cambiamento di parametro ammissibile.

Proprietà delle curve equivalenti:

• Se ψ(t) regolare allora ogni γ∼ψ è regolare;
• Due curve equivalenti hanno medesimo sostegno;
• Se ψ(t) è semplice allora ogni γ∼ψ è semplice;
• Curve semplici e regolari (a tratti) con medesimo sostegno sono equivalenti;
• Se ψ∼φ allora L(ψ)=L(φ)

Lunghezza di una curva:

Considerata una partizione P = {a=t₀<t₁,...,tₙ = b}, la lunghezza del segmento congiungente ψ(t_i) con ψ(t_i+1) è data da d = ||ψ(t_i+1)-ψ(t_i)||. Quindi L_P(ψ) = ∑ L_P(t_i) = ∑ ||ψ(t_i+1) - ψ(t_i)|| > L(?) maggiore indefinito

La lunghezza della curva è definibile se L(φ) è finito.

Teorema 1.1 (Parametrizzazione)

Se ψ: [a,b] → ℝⁿ → ℝ^m curva parametrizzata in classe C¹ in [a,b] Allora ψ è parametrica e L(ψ) = ∫_a^b ||ψ'(t)|| dt

Ascissa curvilinea

Sia γ: I → ℝ^m curva regolare e δ(b) = ∫_a^b ||γ'(t)|| dt² la lunghezza nel sostegno compreso tra γ(a) e γ(t)

δ è una parametrizzazione mediante ascissa curvilinea indicando γ∼ψ con γ(t) = δ^-1(λ), λ∈I = fj(t)

Geometria differenziale

Param. ascissa curvilinea → ||γ'(a)|| = 1 ∀ a, ∞ I ⇔ T'(a)≡γ'(a) ∀ a, ∞ I

T'(a)≡γ'(a) con T(a)≡1 Tx(A) = T(a)xA⇔ se T(a)≠0 ∀ ∞ I la curva è triangolane E versione normale N(s) = T'(a) - T(a) ≡ k(a) curvatura (IHQ) ||T(a)||

Quando k(a)=0 ∀ a ∞ I =ho una netta come sostegno Il reciproco è detto raggio di curvatura r(a) = ¹⁄_k(s)

Versione binominale B(a) = T(a)xN(a) con B(a)⊥T(a) e B(a)⊥N(a)

π(a) = T(a) x N(a) + T'(a) xN(a) = T(a) x N(a) -> B'(a) ⊥ T(a) ⇄ T(a)·B'(a) &=parallel; N(S)

Percé param.   Allora B'(a) = -r'(a)N(s) con γ = -B(a)⋅N(a)

? viene chiamata torsione

Teorema 1.2 (Fondamentale sulle curve in ℝⁿ)

Date due funzioni k: I → ℝ^+∞ e γ: I → ℝⁿ continue esiste un'unica curva I: I→ℝ³ dimensione sul classe C³ parametrizzata mentre ascissa curvilinea Con curvatura pam a k e torsione pam a ? e meno i movimenti rigidi W in ℝ²

Teorema 2.0 (del differenziale)

Ipotesi:

1. f(x,y) derivabile parzialmente nell’aperto A ⊆ R²
2. Derivate parziali continue in (x₀, y₀) ∈ A

Tesi:

f(x,y) è differenziabile in (x₀, y₀) ∈ A

Dimostrazione:

Devo provare che

  lim_{(x,y)→(x0,y0)} [f(x,y)-f(x₀,y₀) - (∂f/∂x)(x₀,y₀)(x-x₀) - (∂f/∂y)(x₀,y₀)(y-y₀)] = 0

Allora scrivo:

1. Applico Lagrange tenendo fissa la y

g(x)=[f(x,y₀)-f(x₀,y₀)] = g(x₁) - g(x₀) = (∂f/∂x)(x₁,y₀)(x-x₀)

Per Lagrange ∃ ξ ∈ (x₀, x) tale che g’(ξ) =(∂f/∂x)(ξ,y₀) = 0

Ovvero f(x₀,y) - f(x₀,y₀) = (∂f/∂y)(x₀,η)(y-y₀)

2. Procedimento analogo al precedente, fisso la x

Risulta quindi:

f(x,y) – f(x₀,y₀) = (∂f/∂x)(x₀,y₀)(x-x₀) + (∂f/∂y)(x₀,y₀)(y-y₀) – dunque si ha

f(x,y) – f(x₀,y₀) = ∂f/∂x (x₀,y₀)(x-x₀) - ∂f/∂y (x₀,y₀)(y-y₀)

^|

≤ ^|

√[(x-x₀)² + (y-y₀)²]

^|

[ (1/2) | ∂f/∂x (x₀,η) - ∂f/∂x (x₀,y₀) | (x-x₀)

+ (∂f/∂y (x₀,η) - ∂f/∂y (x₀,y₀))(y-y₀) ]

Fissato x ∈ (x₀-s, x₀+s), gₓ(λ) = G(x, yλ) risulta crescente in [y₀-r, y₀+r] dato che gₓ(λ) = dG/dy (x, yλ) > 0, gₓ(y₀-r) < 0 e gₓ(y₀+r) > 0; dal Th. degli zeri e della monotonia stretta ∀ x ∈ (x₀-s, x₀+s) ∃! y = y(x): gₓ(yλ) = G(x, y(x)) = 0 Derivata della funzione implicita: -G(x, y(x)) ≡ a ∀ x ∈ (x₀-s, x₀+s) Derivo entrambi i membri e pongo F(t) = G(x(t), y(t)) G(x, y(x)) = 0 ≡ F(t) = - dG/dx (x(t), y(t)): x'(t) + dG/dy (x(t), y(t))∙y'(x) = 0 E poiché dG/dy (x, y(x)) ≠ 0 in (x₀-s, x₀+s) si ha: y'(x) = -dG/dx (x, y(x)) / dG/dy (x, y(x)) Nell'altro caso ho dG/dx (x₀y₀₁, y) ≠ 0 in (y₀-s, y₀+s): x'(yλ) = -dG/dy (x(yλ), y) / dG/dx (x(yλ), y) Teorema 2.17 (Moltiplicatori di Lagrange) Ipotesi: 1) f(x, y), G(x, y) ∈ C¹(A²) con A ∈ R² aperto 2) (x₀, y₀) ∈ A max o min relativo per f(x, y) vincolato a G(x, y) = a 3) ∇G(x₀, y₀) ≠ 0 Tesi: F(x, y, λ) = f(x, y) - λ (G(x, y) - a) → ∇F(x₀, y₀, λ₀) = 0 → (x₀, y₀, λ₀) soluzione sistema dF/dx (x, y, λ) = λ dG/dx (x, y); dF/dy (x, y, λ) = λ dG/dy (x, y); G(x, y) = a Superficie regolari 1 - D ⊂ R² è detto dominio connesso se D = A ∪ ∂A = Ā 2 - Dato D dominio connesso, una superficie in R³ è un'applicazione Φ: D ⊂ R² → R² continua in D, ovvero sono tali le applicazioni x, y, z: D ⊂ R² → R che descrivono le coordinate di Σ(u, v) ∈ R³ S = {(x(u, v), y(u, v), z(u, v)): (u, v) ∈ D ⊂ R²} è detto sostegno della superficie 3 - Φ: D ⊂ R² → R² superficie è semplice se risulta Σ(u₁, v₁) ≠ Σ(u₂, v₂) ∀ (u₁, v₁) ≠ (u₂, v₂) ∈ D \ ∂D 4 - Φ: D ⊂ R² → R² è regolare se è di classe C¹ in D \ ∂D e se ∂uΣ(u, v) × ∂vΣ(u, v) ≠ 0 ∀ (u, v) ∈ D \ ∂D