Formulario Analisi Matematica 2, prof. Ascenzi

Analisi 2 Scritto

Curve Rⁿ

- ψ: I → R³ con I = [a, b] → se ψ(a) = ψ(b) allora la curva è chiusa.

- ψ: I ⊆ R → R è semplice se ψ(t₁) = ψ(t₂) solo per t₁ = t₂ (non valgono gli estremi).

- Una curva parametrizzata è detta di classe C⁴ in I se e solo se le sue componenti

(classe C² derivata prima continua).

- ψ(t) curva parametrizzata è detta di classe C⁴ a tratti se è di classe C⁴ in un

numero finito di intervalli.

- Se t₀ ∈ I e tale che ψ'(t₀) ≠ 0 → ψ(t₀) è un punto regolare.

T(t₀) =

vecsore tangente

- ψ(t) è regolare in I se è di classe C¹ in I e se ψ'(t) ≠ 0 ∀ t ∈ I.

- ψ(t) è regolare a tratti in I se di classe C⁴ a tratti in I e ψ'(t) = 0 in al max

un numero finito di punti.

· Lunghezza di una curva:

L(ψ) = ∫_a^b ||ψ'(t)|| dt

L(ψ ∪ ψ') = L(ψ) + L(ψ')

se ψ ∼ ψ' → L(ψ) = L(ψ')

· Formule parametrizzazione mediante ascissa curvilinea:

• T(λ) = γ'(λ)
• N(λ) = T'(λ) = γ''(λ) / ||γ''(λ)||
• B(λ) = T(λ) × N(λ)
• T'(λ) = κ(λ) N(λ) → κ(λ) = ||γ''(λ)|| = ||φ''(λ)||
• R(λ) = 1 / κ(λ)
• B'(λ) = -τ(λ) N(λ)
• γ(λ) = -B'(λ)·N(λ) → ||γ(λ)|| = ||φ'(λ)||
• N'(λ)= -κ(λ) T(λ) + τ(λ) B(λ)

· Formule per curve non parametriate mediante ascissa curvilinea:

• T(t) = φ'(t) / ||φ'(t)||
• B(t) = φ'(t) × φ''(t) / ||φ'(t) × φ''(t)||
• N(t) = B(t) × T(t)
• κ(t) = ||φ'(t) × φ''(t)|| / ||φ'(t)||³
• κ(t) = φ'(t) × φ''(t)⋅φ'''(t) / ||φ'(t) × φ''(t)||

LIMITI

1. lim_{(x,y)→(x0,y0)} [f(x,y) ± g(x,y)] = lim_{(x,y)→(x0,y0)} f(x,y) ± lim_{(x,y)→(x0,y0)} g(x,y)
2. lim_{(x,y)→(x0,y0)} f(x,y) / g(x,y) = [lim_{(x,y)→(x0,y0)} f(x,y)] / [lim_{(x,y)→(x0,y0)} g(x,y)]

SVILUPPO DI McLAURIN

e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + o(xⁿ)

(1 + x)^m = 1 + mx + m(m-1)x²/2!

cos x = 1 - x²/2! + x⁴/4! - ... + (-1)ⁿ x²ⁿ / (2n)! + o(xⁿ)

log(1 + x) = x - x²/2 + x³/3 - x⁴/4 + ... + (-1)^n-1 xⁿ/n + o(xⁿ)

arctg x = x - x³/3 + x⁵/5 - x⁷/7 + ... + (-1)ⁿ x²ⁿ⁺¹/(2n+1) + o(xⁿ)

METODI DI CALCOLO

• lim_x→x0 f(x₁, y₀ + m(x-x₀)) = l ∀m ∈ ℝ
• lim_x→x0 f(x₀ + g_θcosθ, y₀ + g_θsenθ) = l ∀θ ∈ [0,2π]

DERIVATE

1. D k = 0
2. D x = 1
3. D sin x = cos x
4. D cos x = -sin x
5. D e^x = e^x
6. D ln x = 1/x
7. D xⁿ = nx^n-1
8. D tg x = 1/cos²x
9. D arcsin x = 1/√(1-x²)
10. D arccos x = -1/√(1-x²)
11. D arctg x = 1/(1+x²)

DERIVATE PARZIALI

∂f/∂x (x₀,y₀) = lim_h→0 [f(x₀ + h, y₀) - f(x₀, y₀)]/h

∂f/∂y (x₀,y₀) = lim_h→0 [f(x₀, y₀ + h) - f(x₀, y₀)]/h

BARICENTRO (CORPO PIANO IN D)

x(B) = _DD = _DD

y(B) = _DD

CAMBIO VARIABILI PER INTEGRALI DOPPI

= {|det J(u,v)| du dv det J(u,v) =

• COORDINATE POLARI:

x = x₀ + _cosθ y = y₀ + _sinθ

• COORDINATE POLARI ELLITTICHE

x = x₀ + a_cosθ y = y₀ + b_sinθ

INTEGRALI DI SUPERFICIE ^{R R} = =

BARICENTRO (CORPO TRIDIMENSIONALE CHE POGGIA SU S)

x(B) = _SS , y(B) = _SS , z(B) = _SS

DOVE m(S) = _S

INTEGRALI TRIPLI - FORMULE DI RIDUZIONE

DOMINIO NORMALE RISPETTO AL PIANO XY

E = {(x,y,z) ∈ ℝ³ : (x,y) ∈ D, α(x,y) ≤ z ≤ β(x,y)}

^{f(x,y,z) dx dy dz} = _{^{f(x,y,z) dz}}

E = {(x,y,z) ∈ ℝ³ : z ∈ [α₂, β₂], (x,y) ∈ D_z}

^{f(x,y,z) dx dy dz} = _{>^{f(x,y,z) dx dy}}

CASO PARTICOLARE:

E = {[(x,y) ∈ [a,b] x [c,d], z ∈ [E(x,y)]}

Soluzione particolare eq. differenziali lineari a coeff. continui non omogenee

• Se λ = λ₁ oppure λ₂ con λ₁ e λ₂ radici del polinomio caratteristico

  y_p(x) = x^me^λxQ̅(x) - P̅(x)= polinomio dello stesso grado di Q(x)

• Se λ = λ₀ con r₀ radice del polinomio caratteristico e molteplicità 2

  y_p(x) = x²e^λ₀xQ̅(x) - P̅(x)= polinomio dello stesso grado di Q(x)

• Se γ non coincide con nessuna radice

  y_p(x) = e^γxQ̅(x) - P̅(x)= polinomio dello stesso grado di Q(x)

  - β(x) ⟶ e^βxQ̅(x) oppure x^mβ^k(x)Q̅(x)

• Se iβ è radice del polinomio caratteristico

  y_p(x) = x^l[cos(βx)Q̅(x) + sin(βx)Q̅(x)] P̅(x) e Q(x)= Polinomi dello stesso grado di Q(x)

• Se iβ non è radice del polinomio caratteristico

  y_p(x) = [cos(βx)Q̅(x) + sin(βx)Q̅(x)] E(x)

  - β(x) ⟶ e^γxcos(βx)Q̅(x) oppure e^γxsin(βx)Q̅(x)

• Se α ≠ α₀ e β = β₀ con α₀ e β₀ termini delle radici complesse del polinomio car.

  y_p(x) = x^me^γx[cos(βx)Q̅(x) + sin(βx)Q̅(x)]

• b) se α e β non coincidono con termini delle radici complesse del polinomio car.

  y_p(x) = e^αx[cos(βx)Q̅(x) + sin(βx)Q̅(x)]