Formulario Analisi Matematica 2, prof. Ascenzi

ANALISI 2 SCRITTO

CURVE Rⁿ

• ψ: I ⟶ Rⁿ con I = [a,b] ⟶ se ψ(a) = ψ(b) allora la curva è chiusa
• ψ: I ⟶ R semplice se ψ(t₁) = ψ(t₂) solo per t₁ = t₂ (non valgono gli estremi)
• ψ(t) curva parametrizzata è detta di classe C^k in I se lo sono le sue componenti (classe C^k = derivata prima continua)
• ψ(t) curva parametrizzata è detta di classe C^k a tratti se è di classe C^k ∀ t ∈ I tranne in un numero finito di intervalli
• Se t₀ ∈ ]a,b[ tale che ψ'(t₀) ≠ 0 ⟶ ψ(t₀) è un punto regolare
  • T(t₀) = ψ'(t₀) ‖ψ'(t₀)‖ versore tangente
• ψ(t) è regolare in I se è di classe C¹ in I e se ψ'(t) ≠ 0 ∀ t ∈ I
• ψ(t) è regolare a tratti in I se è di classe C^k a tratti in I e ψ'(t) = 0 in al max un numero finito di punti

Lunghezza di una curva:

L(ℓ) = ∫_a^b ‖ψ'(t)‖ dt

• L(ℓ ∪ ℓ^') = L(ℓ) + L(ℓ^')
• se ψ ∼ ψ^' ⟶ L(ψ) = L(ψ^')

Formule parametrizzazione mediante ascissa curvilinea:

Versore tangente T(λ) = γ'(λ) = ψ'(t) ‖γ'(λ)‖ ‖ψ'(t)‖

Versore normale B(λ) = T(λ) × N(λ)

Curvatura N'(λ) = κ(λ) N(λ)⠀ κ(λ) = ‖T'(λ)‖ = ‖γ''(λ)‖ Raggio di curvatura R(λ) = 1 κ(λ)

Torsione B'(λ) = -τ(λ) N(λ)⠀ τ(λ) = -B'(λ) ⋅ N(λ) ⟶ ‖γ''(λ)‖ = ‖B'(λ)‖

N'(λ) = -κ(λ) T(λ) + τ(λ) B(λ)

Formule per curve non parametrizzate mediante ascissa curvilinea:

• T(t) = ψ'(t) ‖ψ'(t)‖Tangente
• B(t) = ψ'(t) × ψ''(t) ‖ ψ'(t) × ψ''(t) ‖B. normale
• N(t) = B(t) × T(t) = ψ'(t) × ψ''(t) ‖ψ'(t) × ψ''(t)‖V. normale
• κ(t) = ‖ψ'(t) × ψ''(t)‖ ‖ ψ'(t) ‖³Curvatura
• τ(t) = ψ'(t) × ψ''(t), ψ^'''(t) ‖ψ'(t) × ψ''(t)‖²Torsione

Analisi 2 Scritto

Curve Rⁿ

• : I → Rⁿ con I = [a,b] → Se (a) = (b) allora la curva è chiusa
• : I → R^m semplice se (t₁) = (t₂) solo per t₁ = t₂ (non valgono gli estremi)
• (t) curva parametrizzata è detta di classe C⁴ in I se lo sono le sue componenti (classe Cⁿ = derivata prima continua)
• (t) curva parametrizzata è detta di classe C⁴ a tratti se è di classe Cⁿ n un numero finito di intervalli
• Se t₀ ∈ I tale che '(t₀) ≠ 0 → (t₀) è un punto regolare

  T(b₀) = ^'(b₀)/_||'(b0)|| → versore tangente

• (t) è regolare in I se è di classe C₄ in I e se '(c)differente da 0 ∀ t ∈ I
• (t) è regolare a tratti in I se di classe C₄ a tratti in I e '(t) = 0 in al max un numero finito di punti

Lunghezza di una curva

• L(e) = ∫_a^b ||'(t)|| dt
• L( ∪ ) = L() + L()
• Se ≅ → L() = L()

Formule parametrizzazione mediante ascissa curvilinea:

Versione tangente

• () = ^'()/_||'()||

Versione normale

• T() = ^{/ ()} ₍₎ = ^'()/_||'()||

Versione binormale

• B() = T() x N()

• ❨

  • T() = k() N()
  • k() = ||T()|| = |'()|
  • () = ¹/_k() → raggio di curvatura
  • B'() = -() N()
  • () = -B()・N() → |'()| = ||B'()||

• N'() = -k() T() + () B()

Formule per curve non parametrizzate mediante ascissa curvilinea:

• T(t) = ^'(t)/_||'(t)||
• B(t) = ^{'(t) x ''(t)}/_{||'(t) x ''(t)||}
• N(t) = B(t) x T(t) = ^{||'(t)||''(t) - '(t) x ''(t)} _{||'(t) x ''(t)||}
• K(b) = ^{'(t) x ''(t)}/_||'(t)||³
• (t) = ^{''(t) x '(t)'''(t)}/_{||'(t) x ''(t)|}