Riassunto esame Analisi 2, Prof. Mora Maria Giovanna, libro consigliato Analisi matematica 2, Bramanti pagani salsa

∫ f ds = ∫ₐᵇ f(x(t), y(t)) \| ẋ²(t) + ẏ²(t) \| dt

x(t) = A cos( t – c ), y(t) = B sin ( t – d )

lunghezza curva ∫ₐᵇ \| γ̇(t) \| dt, ∫ₐᵇ \| γ'(t) \|²dt

1 + cosx = cos(x)

volume sfera 4/3 π R³

πano tg : m (x-x₀) + y-y₀ + z-z₀ = 0

M = 3x/2 ; 3y/2 ; 1/ ; 1 ; \| x \|

Versore Normale

vetttore normale

∇f(x) = (∂/∂x , ∂/∂y)

\| ∇f(x) \|

trova L Potenziale :

integral prima componente in ∂x + ∂βx

deriva rispetto ad y ed uguaglio a seconda

componente trovo d(∂y,z)

∫ in (∂y + ∂βz) dy)

derivo rispetto a z ed uguaglio

d terzo componente ∫ in (∂βz)

d dizzle + C

coerenti no → continua

differenziabile → derivabile

differenziabile → continua

derivate continue in un intorno → differenziabile

derivabile se esistono derivate parziali

Serie Di Funzioni

I ⊂ R

p_n : I → R → Σ_n=0^∞ p_n(x)

La serie può convergere, divergere o essere irregolare in un punto x

Convergenza puntuale: ∀x ∈ I ∑ p_n(x) converge come serie numerica

Convergenza assoluta: ∀x ∈ I Σ |p_n(x)| converge come serie numerica

Convergenza totale se Σ_n a_n di termini reali positivi t.c. converga ∀ x ∈ I e risulta |p_n(x)| ≤ a_n

Esempi di serie di funzioni:

• Serie geometrica ∑_n=0^∞ xⁿ = ½ per x ∈ (-1, 1)
• Serie esponenziale ∑_n=0^∞ ½⊃n² eⁿ ∀ x ∈ R

Teorema continuità bella Jouka:

I ⊂ R

p_n : I → R continua in x₀ x₀ ∈ I → ∑_n=0^∞ p_n converge totalmente

p_n(x) → p(x) è una funzione continua in x₀

Teorema integrabilità termine a termine

p_n : [a, b] → R continua → ∑_n=0^∞ p_n converge totalmente in [a, b]

La serie è integrabile termine a termine

∫_a^b p_n(x) dx = (∫_a^b p_n(x) dx) = ∑_n=0^∞ (∫_a^b p_n(x) dx)

Teorema derivabilità termine a termine

I ⊂ R

p_n : I → R derivabili in I supponiamo che

• ∑ p_n(x) converge ∀ x ∈ I
• ∑ p_n(x) converge totalmente in I

Σ |p_n(x)| ≤ Σ a_n < ∞ ∀x ∈ I

La somma P(x) = ∑^∞_n=1 p_n(x) è derivabile in I

Definizione

(t) curva

̅(t) parametrizzazione della curva

• curve equivalenti
• cambio di orientazione

• crescente
• decrescente

Integrali di linea

Sia : [a, b] ➔ Rⁿ curva regolare di sostegno

• f: A ⊆ Rⁿ ➔ R con ⊆ A

allora si definisce in A di piano curvo di I lungo :

∫ f((t)) ‖'(t)‖dt ≡ ∫_a^b f((t)) ‖'(t)‖dt

Significato geometrico

Trova l'area della superficie che collega la curva al suo grafico (k)

Significato meccanico

è possibile trovare il baricentro di un corpo o il suo momento d'inerzia

Funzioni di più variabili

Linee di livello

Sono funzioni del tipo P(x,y) = k

descrivo da cosa è dato l'insieme di come sia la qua funziona ⁿ su un piano ℜ³

immagino di tagliare la funzione con un piano di altezza k

riportato quindi sul piano i punti che la funzione (P(x,y) assume)

nel piano i annessi sono più fitti tanto più la funzione cambia rapidamente

Definizione limite di successione

Data una successione {a_n} ⊆ ℜⁿ x₀∈ℜⁿ

si dice che a_n ➔ x₀ per n ➔ ∞ se ‖a_n - x₀‖ = 0 per n ➔ ∞

B_r(x₀) = ha lo stesso significato di "intorno" del caso monodimensionale

è definito dalla palla aperta di centro x₀ e raggio r

che prende parte tutti i punti la cui norma è:

{x∈ℜⁿ ‖x-x₀‖ < r}

Definizione continuità

Sia f definita in una palla di centro x₀ si dice che f è continua in x₀

se lim_x➔x0 f(x) = f(x₀)

Definizione di limite

Sia f definita almeno in una palla di centro x₀ escluso ne può x₀

si dice che lim_x➔x0 f(x) = L

se ∀ Ε>0 ∃ δ>0 se 0<‖x-x₀‖ <δ allora |f(x)-L|< Ε

Teorema (Derivazione delle funzioni composte)

h(x) = g(φ(x)) definita in un intorno U di x₀ ∈ A

se φ differenziabile in x₀

e g derivabile in φ(x₀)

allora h = f∘g U → R

U ⊆ R^m

e differenziabile in x₀

∇h(x₀) = g'(φ(x₀)) ∇φ(x₀)

z_{This is skipped.}α

g'(z₀) = ∇₁g(φ(x₀)) g'α

= ∑_j=1 : r_j(z₀) Γⁱ rⁱ(z₀)

Teorema del valor medio di Lagrange

φ: A → R A ⊆ Rⁿ aperto

φ differenziabile

per ogni coppia x₁, x₀       x₀        x₁ esiste un punto x* tale che:

φ(x₁) - φ(x₀) = φ(1)(x*)(x_i-x₀)

in particolare |φ(x₁) - φ(x₀)| ≤ |∇φ(x*)| · |(x_i-x₀)|

Derivate parziali seconde

∂²f/²∂x ∂(∂p/∂x)

∂²f/²∂y d/dy(∂p/∂y)

Esistono anche le derivate miste

∂²/∂x∂y = ∂/∂  (∂p/∂x)

∂²/∂y∂x = ∂/∂  (∂p/∂x)

Teorema di Schwarz

Le derivate miste, se esistono, sono uguali

se f∈C²(A) → f è differenziabile

le derivate prime parziali sono derivabili

ne derivano seconde parziali sono continue

le derivate seconde miste sono uguali

Secondo il differenziale di φ

d²k(x₀) R^m → R

Hp(x₀) = d²pz

     Σ∂/∂  x₃σ  x₃ h₁ h_s

            → matrice non detta hessiana matrice simmetrica

   Hp(x₀)

                ∂²         ∂²         ∂p

                ∂z₂        ∂x₃         ∂m∂ 

                    .......

∂y₁ ∂π ∂x₃

Spuntano z₁   x₂    x₁

Sulla diagonale principale sono presenti le derivate pure

Traccia = Σ

            z₂² q

Laplaciano f in x₀