Formulario Analisi Matematica 1, prof. Papalini

SCRITTO ANALISI 1

SUCCESSIONI:

• Se a_n è convergente → a_n è limitata E_s: a_n = 1/n
• Se a_n è limitata → non è detto che converga (ad*oscilla) E_s: a_n = (-1)ⁿ
• Se a_n è monotona → a_n è regolare <diverge e ha limite E_a: a_n = 1/n → 0, a_n = n² → +∞
• Se a_n è regolare → non è detto che sia monotona E_a: a_n = (-1)ⁿ (1/n) → 0 Ha oscilla!
• Se a_n è monotona → non è detto che sia regolare E_a: a_n = 1/n + (-1)ⁿ → +∞ Ha oscilla!

• Converge ma non è monotona E_a: a_n = (-1)ⁿ (1/n)
• Converge ed è monotona E_a: a_n = 1/n
• Diverge ed è monotona E_a: a_n = n²
• Diverge ma non è monotona E_a: a_n = n+(-1)ⁿ
• Limitata che oscilla E_a: a_n = (-1)ⁿ
• Illimitata che oscilla E_a: a_n = (-1)ⁿ n

FORME INDETERMINATE:

-∞ +∞ = 0 ; 0/0 = ? +∞ +∞ = +∞ ; a_n : 0 = ∞ ; a_n * 0 = 0 +∞ + a = +∞ ; 0 * a = 0 ; 0/0 = ? -∞ + a = -∞

∞ - ∞ = ∞ ; ∞/∞ = 0 ; 0/0 = ?

• ∞/∞ = ∞ ; 0/0 = ?...

N.B. Se fosse zero il risultato sarebbe zero ; tuttavia se il numero tende a zero ho una forma indeterminata

CONFRONTO TRA DUE SUCCESSIONI:

a_n → 0 b_n → 0 lim_n→+∞ a_n/b_n =

• k ≠ 0 → a_n e b_n hanno stesso ordine
• ∞ → b_n ha grado maggiore di a_n
• 0 → b_n ha grado minore di a_n
• I due limiti non sono confrontabili → da tutto questo deriva il principio di sostituzione degli infiniti

CRITERIO DEL RAPPORTO (SUCCESSIONI):

a_n > 0 ∀ n ∈ N

r_n = a_n+1/a_n → l lim_n→+∞ a_n+1/a_n = l

• l < 1 → a_n converge a zero
• l = 1 → cambio strada
• l > 1 → a_n diverge a +∞

N.B. lim_n→+∞ (1 + 1/h)^h = e ≈ 2,7

TABELLA DEGLI INFINITI:

log n < n^α < qⁿ < n! < nⁿ

Serie:

S = la serie converge a S

+∞ = la serie diverge a +∞

≠ = la serie è indeterminata

Serie geometriche:

1. +∞ se q=1 → diverge
2. se 0 < q < 1 → converge
3. se -1 < q < +1 → converge
4. se q > 1 → diverge
5. se q=1 → oscilla

Comportamento:

• Se una serie converge → il termine generale tende a zero (a_n→0)
• Se a_n non tende a zero → la serie non converge
• Esempio: a_n=n
• Se a_n tende a zero → non per forza la serie converge
• Esempio: a_n=1/n

Criteri (t.p.):

1. Criterio del confronto
   • Se T_n converge, anche S_n converge
   • Se T_n diverge, non posso sapere cosa fa S_n
   • Se S_n diverge, anche T_n diverge
   • Se S_n converge, non posso sapere cosa fa T_n
2. Confronto asintotico (posso stimarlo)
3. Criterio del rapporto (serie): si applica con exp e potenze!!
   • R < 1 → la serie converge
   • R > 1 → la serie diverge
   • R = 1 → cambio strada
4. Criterio della radice
   • L < 1 → la serie converge
   • L > 1 → la serie diverge
   • L = 1 → cambio strada

Serie armonica:

∑ 1/n^α

• α = 1 → la serie diverge
• α < 1 → la serie diverge
• α > 1 → la serie converge

Serie a segno alternato:

1. Se una serie converge col valore assoluto, converge anche senza. Se diverge col v.a., cambio strada
2. Criterio di Leibnitz:
   • Ipotesi → a_n ≥ 0 e a_n monotona decrescente
   • Se a_n = 0 → serie convergente
   • Se a_n ≠ 0 → serie indeterminata

Formule di Addizione e Sottrazione

sin(x ± y) = sinx cos y ± cosx siny

cos(x ± y) = cosx cos y ∓ sinx siny

tg(x ± y) = ^{tg x ± tg y} / _{1 ∓ tg x tg y}

Formule di Bisezione

sin ^x / ₂ = ± √^{1 - cosx} / ₂

cos ^x / ₂ = ± √^{1 + cosx} / ₂

tg ^x / ₂ = ± √^{1 - cosx} / _{1 + cosx}

Formule di Duplicazione

sin 2x = 2 sinx cos x

cos 2x = cos²x - sin²x = 2 cos²x - 1

tg 2x = ^{2 tg x} / _{1 - tg²x}

Formule Parametriche

sinx = ^2t / _{1 + t²}

cosx = ^{1 - t2} / _{1 + t²}

tg x = ^2t / _{1 - t²} con t = tg ^x / ₂

Seno e Coseno Iperbolici

sinhx = ^{ex - e-x} / ₂

coshx = ^{ex + e-x} / ₂

Identità Fondamentale:

cosh²x - sinh²x = 1

sinhx = y ↔ x = sinh ^{y + √(y2 + 1)}

coshx = y ↔ x = ln ^{y + √(y2 - 1})

Integrali:

1. ∫ ¹ / _{ax + b} dx

ax + b = t adx = dt ⇒ ¹ / _a ln |ax + b| + c

2. ∫ ¹ / _{ax² + bx + c} dx
• CASO 1: Δ > 0 ⇒ ¹ / _a ∫ (^A / _{x - x1} + ^B / _{x - x2}) dx
• CASO 2: Δ = 0

Pongo t = αx + β e risolvo per sostituzione

• CASO 3: Δ < 0

Mi riconduco al caso dell’arcotangente ∫ ¹ / _{1 + t²} dx = arctg t + c

3. ∫ ^{dx + e} / _{ax² + bx + c} dx

Devo fare in modo che il numeratore diventi la derivata del denominatore e poi si può avere la separazione in due integrali: in quel caso uno è risolto con la formula del logaritmo nat, l’altro invece può essere ricondotto al ②.