Formulario Analisi Matematica 1, prof. Papalini

SCRITTO ANALISI 1

SUCCESSIONI:

1. Se \(a_n\) è convergente \(\Rightarrow a_n\) è limitata Es: \(a_n = \frac{1}{n}\)

2. Se \(a_n\) è limitata \(\Rightarrow\) non è detto che converga (può oscillare) Es: \(a_n = (-1)^n\)

3. Se \(a_n\) è monotona \(\Rightarrow a_n\) è regolare ⟹ diverge ^– converge ⟹ ha limite Es: \(a_n = \frac{1}{n} \to 0\), \(a_n = \frac{n^2}{n^2} \to +\infty\)

4. Se \(a_n\) è regolare \(\Rightarrow\) non è detto che sia monotona Es: \(a_n = \frac{(-1)^n}{n} \to 0\) ha oscilla!

5. Se \(a_n\) è divergente \(\Rightarrow\) non è detto che sia monotona Es: \(a_n = n + (-1)^n \to +\infty\) ha oscilla!

• 1) Converge ma non è monotona Es: \(a_n = \frac{(-1)^n}{n}\)
• 2) Converge ed è monotona Es: \(a_n = \frac{1}{n}\)
• 3) Diverge ed è monotona Es: \(a_n = n^2\)
• 4) Diverge ma non è monotona Es: \(a_n = n + (-1)^n\)
• 5) Limitata che oscilla Es: \(a_n = (-1)^n\)
• 6) Illimitata che oscilla Es: \(a_n = n \cdot (-1)^n\)

FORME INDETERMINATE:

+∞ - +∞ = 0

-∞ + ∞ = +∞

\(0 \cdot +∞\)

\(\frac{0}{0}\) = ?

\(\frac{∞}{∞}\) = ?

1. \(lim_{n\to\infty} (1+\frac{1}{n})^n = e\) approssimato a 2.7

CONFRONTO TRA DUE SUCCESSIONI:

\(a_n \to ∞\) \(b_n \to ∞\) \(\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = k ≠ 0 \Rightarrow a_n\) e \(b_n\) hanno stesso ordine

\(\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = 0 \Rightarrow b_n\) ha grado maggiore di \(a_n\)

\(\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = ∞ \Rightarrow b_n\) ha grado minore di \(a_n\)

\(\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} b_n = ∞\) ⟹ i due limiti non sono confrontabili

CRITERIO DEL RAPPORTO (SUCCESSIONI):

\(a_n > 0 \forall n \in N\)

\(a_{n+1}/a_n \to l\) ⟹

• l < 1 ⟹ \(a_n\) converge a zero
• l = 1 ⟹ cambio strada
• l > 1 ⟹ \(a_n\) diverge a +∞

TABELLA DEGLI INFINITI:

\(log n < n^k < q^n < n! < n^n\)

Scritto Analisi 1

Successioni

1. Se an è convergente → an è limitata Es: an=1/n

2. Se è limitata → non è detto che converga (ad oscilla) Es: an=(-1)ⁿ

3. Se an è monotona → an è regolare Es: an=1/n→0, an=n²→+∞

4. Se an è regolare → non è detto che sia monotona Es: an=(-1)ⁿ/h→0 ha oscilla

5. Se an è divergente → non è detto che sia monotona Es: an=h+(-1)ⁿ→+∞ ha oscilla

• 1) Converge ma non è monotona Es: an=(-1)ⁿ/n
• 2) Converge ed è monotona Es: an=1/n
• 3) Diverge ed è monotona Es: an=n²
• 4) Diverge ma non è monotona Es: an=n+(-1)ⁿ
• 5) Limitata che oscilla Es: an=(-1)ⁿ
• 6) Illimitata che oscilla Es: an=(-1)ⁿ·n

Forme Indeterminate

+∞ − ∞ = ?

−∞ + ∞ = ?

+∞ · 0 = ?

−∞ · 0 = ?

0/0 = ?

∞/∞ = ?

∞⁰ = ?

0⁰ = ?

∞ − ∞ = ?

N.B.

Se fosse zero il risultato sarebbe zero; tuttavia se il numero tende a zero ho una forma indeterminata

Confronto Tra Due Successioni

an → ∞ bn → ∞

lim n→+∞ an/bn = k > 0 → an e bn hanno stesso ordine

→ bn ha grado maggiore di an

→ an ha grado minore di an

→ I due limiti non sono confrontabili

Criterio del Rapporto (Successioni)

an > 0 ∀ n ∈ N

lim n→+∞ an+1/an = l

l < 1 → an converge a zero

l = 1 → cambio strada

l > 1 → an diverge a +∞

Tabella Degli Infiniti

log n < n^k<qⁿ<n!_nⁿ

N.B. lim n→+∞ (1+1/n)ⁿ = e ≈ 2.71

Serie

^∞∑a_n = lim S_n

• S → →∞ → la serie diverge a +∞
• S → ↔ → → la serie converge a S
• ∑ _n=1 a_n= lim S_{n n→+∞}()
  • a_n +∞
  • Se

Serie geometriche

• ^∞∑a_n = lim S_{n n→+∞}→ → →
• se q=
  • d

Comportamento

• Se una serie conver
• Se a_n non tende a zero → la serie non converge → Es: a_n = n
• Se a_n

Criteri

(t.p.)

1. Criterio del confronto

• _n = lim T_n = T_{n n→+∞}

Serie armonica

• ^∞∑1/n^p
  • p = 1 → la serie diverge
  • 0&l

Serie a segno alternato

1°

FUNZIONI:

INFINITI — <x^x<e^x<9^x

INFINITESIMI —

INFINITESIMI DELLO STESSO ORDINE