Analisi 1, riassunto e sintesi in schema per risolvere esercizi. Prof Papalini, Alessio e Marcelli

LE SERIE

Serie di Mengoli

Serie Geometriche

Serie Armoniche

1. CRITERIO DEL CONFRONTO
2. CONFRONTO ASINTOTICO
3. CRITERIO DEL RAPPORTO
4. CRITERIO DELLA RADICE
5. CONDIZIONE NECESSARIA
6. TEOREMA DEL VAL. ASSOLUTO

1. CRITERIO DI LIEBNITZ

Se un integrale converge o diverge anche la serie converge o diverge

Successioni

\(a_n\)

• Se \(a_n\) è illimitata (\(\pm\infty\)) → diverge
• Se è limitata (\(-K \leq a_n \leq K\)) → può convergere ma non sempre converge

Successioni eleganti

\(a_n = (-1)^n a\) → diverge 2 + 00

\(a_n = \frac{1}{n} \to 1\) → ..., ..., ...

Confronto tra infiniti

1. \(\lim \frac{a_n}{b_n} = l \neq 0 \Rightarrow\) a_n e b_n infiniti dello stesso ordine
2. l=e=0 \Rightarrow\) a_n ^ 8l_n
3. l=\infty \Rightarrow\) b_n ^ 8l_n

Gerarchie infiniti

n^n, n!, n^n, n, [\ldots], ln caso

Criterio del rapporto

• \(\lim \frac{a_{n+1}}{a_n} = l\)
• l>1 \Rightarrow\) a_n→+00
• l K \Rightarrow x > K \Rightarrow x > \pm K \Rightarrow x \in \mathbb{R} \rarr x < 0\)

  f(x);eş;g(x).;

  "okişo alla comanda" → studio \geq 0 e g(x)

  -f(x) > g(x)

  |x| \cdot X > 0 (negro alla comanda sensa < frolde>/.)

  f(x)I= db(x)l>f(x)l

  • f(x) > 0
  • 3(x) > 0

  "√A(x) < B(x)"\[A(x)\geq )

  • B(x) \geq 0
  • A(x) = \(b\{x2)\)

  |x| |- 1 \geq 0

  \(\{$

  • x\geq 0
  • x2 -1\geq 0
  • x \geq 1
  • x0\)

    \(\log_{a}x = \frac {\log x}{\log a,0}\)

    INTEGRALI

    ∫ f'(x) dx = f(x) + c

    ∫ k dx = kx + c

    ∫ sen²xdx = x/2 - 1/4sen2x + c

    ∫ e^x dx = e^x + c

    ∫ f'(x)/f(x) dx = log|f(x)| + c

    ∫ senxdx = -cosx + c

    ∫ cosxdx = senx + c

    ∫ senx² dx = -cosx/π+ c

    ∫ cosx² dx = senx/π + c

    ∫ logxdx = xlogx - x + c

    ∫ 1/(x+b) dx = 1/alog|ax+b| + c

    ∫ 1/(1+x²) dx = arctgx + c

    ∫ 1/cos²x dx = tgx + c

    FUNZIONI RAZIONALI FRATTE

    1. ∫ dx/(ax+b) = 1/alog|ax+b| + c   t = ax+b   dx = dt/a

    2. ∫ 1/(ax² + bx + c) dx

       Δ > 0   x₁, x₂

       ax² + bx + c = a(x-x₁)(x-x₂)

       1/a[∫(A/(x-x₁) + B/(x-x₂))dx]

       res   2x - 4/(x² - 6)   x = 2

       x² - 4x + 4   t = x² - 1

    Δ = 0   ∫ dx/(ax + β)

    3. Δ < 0   ∫ dx/4x² - x + 4

       → 5   (x² - 4x)   dx

       ∫ dx(x = t + c)

    A) ∫f(x, √ax²+b) dx

    casi possibili a,b>0

    1. √ax²-b
    2. √ax²+b
    3. √b-ax²

    III

    1. Raccolgo b -> √b(1 - ^ax2/_b)

    2. Trasforma 1° termine in un quadrato ^ax2/_b → (^√a/_√bx)

    3. Fini il 1° termine quale di un incognita

    4. mi fa comodo che ^√βx/_√b = sent perché √1-sen²t = cos t

    es:

    = ∫ ^x/_√2 cos t dt x = √2cos t

    =t = -sen t

    ∫ ^2sen2t/_{√2cos t} dt = ∫ ²/_√2^{1-cos 2t}/₂ dt

    t = t-sen²t + c = arc sen x

    = ∫ ^{x2- a}/₂ + c

    sen t = cos t

    II

    1. Raccolgo b -> √b
    2. Scrivo il 1° termine come quadrato √a/b
    3. Sostituisci il primo termine con sen x perché cos Rx = √a/b

    Seno e coseno iperbolico

    sen Ix = e^x-e^-x

    y = sen ix = e^x-e^-x

    cos Ix = e^x+e^-x

    cos Ix = x = log (x+√x²-1)

    1. sen Rx = cos Rx = √4
    2. sen Rx = cos Rx = 1

    es:

    = ∫ ^x2-2/_x²cos Rx dx = √2 sen

    cos Rx = x/√2

    = t/sen t

    = dt dx = de/

    = ^x2-a/₂ e^t