Analisi 1, riassunto e sintesi in schema per risolvere esercizi. Prof Papalini, Alessio e Marcelli

LE SERIE

∑ a_n

lim S_n → +∞ DIVERGE

lim S_n → s CONVERGE

lim a_n ≠ 0 DIVERGE

lim_n→∞ a_n = 0 CONVERGE

Serie di Mengoli

∑ 1/n(n+1)

Serie Geometriche

∑ qⁿ

Serie Armoniche

∑ 1/n^d

1. Criterio del confronto

0 ≤ a_n ≤ b_n se ∑ b_n CONVERGE ⇒ ∑ a_n CONVERGE

2. Confronto Asintotico

a_n~b_n

3. Criterio del Rapporto

lim_n→∞ |a_n+1/a_n| = ≠ 1 DIVERGE

4. Criterio della Radice

lim_n→∞ √ⁿ|a_n| = e < 1 CONVERGE

5. Condizione Necessaria

lim a_n ≠ 0 DIVERGE

6. Teorema del Val. Assoluto

∑ |a_n| conv. ↠ ∑ a_n conv.

Criterio di Leibniz

a_n+1 ≤ a_n decrescente ⇒ CONVERGE

Se un integrale converge o diverge ⇒ anche la serie converge o diverge

(n+1)!/n! = 1/n

(n+1)!/n! = n+1

1/n log(1+1/n)

LE SERIE

∑a_n

Serie di Mengoli

∑^∞_n=1 1/n(n+1)

Serie Geometriche

(qⁿ)

Serie Armoniche

1. Criterio del Confronto

0 ≤ a_n ≤ b_n se ∑b_n converge → ∑a_n converge

2. Confronto Asintotico

a_n ≅ b_n → se ∑a_n converge → b_n converge

3. Criterio del Rapporto

4. Criterio della Radice

5. Condizione Necessaria

6. Teorema del Val. Assoluto

7. Criterio di Leibniz

Se l'integrale converge o diverge → anche la serie converge o diverge

(n+1)!/n! = 1/n

(n+1)!/n! = n+1

SUCCESSIONI

(a_n)

Se a_n è limitata, convergere ma non sempre converge

SUCESSIONI ELEMENTARI

a_n → 0 → diverge 2 → 0

a_n → 1 → ↑ ↑ ↑

CONFRONTO TRA INFINITI

1. lim _n→∞ 1_an ben infiniti dello stesso ordine
2. E → a_n < b_n
3. E = ∞ a_n 5b_n

GERARCHIA INFINITI

nⁿ n! nⁿ nⁿ n^d logn cosa

CRITERIO DEL RAPPORTO

lim _n→∞ d_n+1 = e e≥1 a_n→∞

d_n

e≤1 a_n→0

e=1 non può essere applicato

|x|<k → -k<x<k → x≥0

x ≥ 0

x < 0

x ≥ 0

x²-1 ≥ 0

{{x > 1

x ≥ 0

{x²-1 ≥ 0

f(x) > g(x)

→ f(x) ≥ 0 ∪ { f(x) < 0

- f(x) > g(x)

∑

∏

| 0 |x| D: ℝ

* 4/x D: x ≠ 0

ex D: ℝ

ex D: ℝ

⟸ ex D: ℝ

ancosx -1 ≤ x ≤ 1

ancosx -1 ≤ x ≤ 1

arctgx ℝ

|√x+1| ℝ

senx ℝ

cosx ℝ

√|x+1| ℝ

f(x) log|x| → (x ≠ 0

INTEGRALI

∫k dx = kx + c

∫senⁿx dx = ¹/_n sen^n-1x(-cosx) + c

∫e^x dx = e^x + c

∫f(x) e^f(x) dx = e^f(x) + c

∫senx dx = -cosx + c

∫senπx dx = -^cosπx/_π + c

∫logx dx = xlogx - x + c

∫¹/_1+x² dx = arctgx + c

∫x^α dx = ^xα+1/_α+1 + c α ≠ -1

∫cos²x dx = ^x/₂ + ¹/₂ senxcosx + c

∫¹/_x dx = log|x| + c

∫^f'(x)/_f(x) dx = log|f(x)|

∫cosx dx = senx + c

∫cosπx dx = ^senπx/_π + c

∫¹/_ax+b dx = ¹/_a log|ax+b|

∫¹/_cos²x dx = tgx + c

FUNZIONI RAZIONALI FRATTE

① ∫¹/_ax+b dx = ¹/_a log|ax+b| + c

t = 2x+b

dx = dt/₂

② ∫¹/_ax²+bx+c dx

I Δ > 0 x₁ ≠ x₂ ax²+bx+c = a(x-x₁)(x-x₂)

¹/_a [^A/_(x-x1) + ^B/_(x-x2)] dx

II Δ = 0

∫¹/_(ax+β)² dx

t = 2αx+β

III Δ < 0

∫²/_4x²-x+4 dx

= ∫^(2x-3)/16 dx + ^15/16 dx

= ∫¹/_√16 dx - ∫¹/_{(x-¹/2)²+¹⁵/16} dx

= ³/₂ ∫^2x/_4x²+x+4 + ^{√15/₁₆ dt = ∫ √15/₁₆ dx + c}

∫³/_{t ⁵/8 - ∫ ^-3/2(x-1) dx}

∫(3) (dx+e)/(2x²-k₁ x+c) dx

∫ (x+1)/(2x²-x-6) dx = 1/4 ∫ (4x+1)/ (2x²-x-6) dx

= 1/4 ∫ (4x-1+1+4)/(2x²-x-6) dx

= 1/4 ∫ (4x-1)/(2x²-x-6) dx + 1/4 ∫ 5/(2x²-x-6) dx

_{x1,2 e}, x_1,2 = 3/2

-5/(2x²-x-6)= 5/A(x-2)(x+3)

{(x-2)(x+3)} = A/(x-2) + B/(x+3)

x=e

A=5/7 , B=-10/7

=1/4 [log|2x²-x+6| + ∫(5/(x-2) + 10/^-/(x+3)) dx]

= 1/4 log|2x²-x+6| + 5/28 log|x-2| - 10/28 log|2x+3| + c

∫(4) (P(x)/S(x)) dx

I grado P(x) > grado S(x)

P(x) = Q(x) + R(x)/S(x)

P(x)/S(x) Q(x) + R(x)

A/(x²+λ) + B/(x+1) + C/(x+1)

II grado P(x) < grado S(x)

P(x) = A/x + Bx+C/x²+λ + D x/(x² + λ + e)

...

= A/x + Bx+C/x²+ λ + D E

-A/x E 5x+C/x x²+1/x

...

x² - λ A= A/x+ Bx+C+ 1/x _-

x²- λ = A/(x) + (Bx+C)x/x²+λ + 1/x

lim x→+∞ 1/x³(x+1) = lim A + lim Bx+C/x²+1 + lim 1/x→+∞ x→+∞

...

O = A + B + O => A=-6

1/λ = -A + -C/c λ

-∫ 1/(x⁴+x²) dx = -arctgx - 1/x + c

FUNZIONI ESPONENZIALI

∫f(e^x)dx ➔ ∫^exe^-t dx

= ∫^-u/t_e/x=1 + 0t