FLUIDODINAMICA
GRADIENTE∇u = du/dx î + dv/dy ĵ + dw/dz k̂
DIVERGENZA∇⋅V̅ = du/dx + dv/dy + dw/dz
V⋅∇ = u d/dx + v d/dy + w d/dz
DERIVATA SOSTANZIALEDU̅/Dt = d/dt + (V̅⋅∇) U̅ =
LUNGO x → Du/Dt = du/dt + u du/dx + v du/dy + w du/dzLUNGO y → Dv/Dt = dv/dt + u dv/dx + v dv/dy + w dv/dzLUNGO z → Dw/Dt = dw/dt + u dw/dx + v dw/dy + w dw/dz
GRADIENTE DELLA DIVERGENZA DI U̅∇(∇⋅V̅) =LUNGO x = d2u/dx2 + d2v/dxdy + d2w/dxdzLUNGO y = d2u/dydx + d2v/dy2 + d2w/dydzLUNGO z = d2u/dzdx + d2v/dzdy + d2w/dz2
EQUAZIONE DI BILANCIO LOCALE DELLA MASSAdρ/dt + ∇⋅(ρU̅) = 0
EQUAZIONE DI BILANCIO LOCALE Q.TÀ DI MOTOρ DU̅/Dt = -ρ ∇(gz) - ∇p - ∇⋅τ
EQ. NAVIER STOKESρ DU̅/Dt = -ρ ∇(gz) - ∇p + μ[∇2U̅ + 1/3 ∇(∇⋅U̅)]
EQ. EULERO (fluidi perfetti, μ=0) =>ρ DU̅/Dt = -ρ ∇(gz) - ∇p
1° EQ. MASSA IN CASO DI MOTO STAZIONARIO(ρ non dipendente dal tempo)∇⋅(ρU̅) = 0
2° EQ. MASSA MOTO INCOMPRIMIBILE(ρ = cost non dipende né dal tempo né dalle dist. spazio)∇⋅U̅ = 0
FLUIDODINAMICA
GRADIENTE
∇u = &partial;u/&partial;x + &partial;v/&partial;y + &partial;w/&partial;z
DIVERGENZA
∇·&vec{v} = &partial;u/&partial;x + &partial;v/&partial;y + &partial;w/&partial;z
U - SCALAR NABLA
U·∇ = U&partial;/&partial;x + V&partial;/&partial;y + W&partial;/&partial;z
DERIVATA SOSTANZIALE
DU/Dt = [d/dt + (&verb"v";)·∇] U
LUNGO x → Du/Dt = du/dt + Udu/dx + Vdu/dy + Wdu/dz
LUNGO y → Du/Dt = dv/dt + Udv/dx + Vdv/dy + Wdv/dz
LUNGO z → Du/Dt = dw/dt + Udw/dx + Vdw/dy + Wdw/dz
GRADIENTE DELLA DIVERGENZA DI U
∇(∇·&vec{v}) =
- LUNGO x = &partial;2u/&partial;x2 + &partial;2/&partial;x&partial;y + &partial;2/&partial;x&partial;z
- LUNGO y = &partial;2/&partial;x&partial;y + &partial;2v/&partial;y2 + &partial;2v/&partial;y&partial;z
- LUNGO z = &partial;2/&partial;x&partial;z + &partial;2v/&partial;y&partial;z + &partial;2w/&partial;z2
EQUAZIONE DI BILANCIO LOCALE DELLA MASSA
&partial;ρ/&partial;t + ∇ · (ρv) = 0
EQUAZIONE DI BILANCIO LOCALE QTADI MOTO
ρDu/Dt = -∇(gz) - ∇p - ∇τ
EQ. NAVIER STOKES
ρDu/Dt = -ρ∇(gz) - ∇p + μ [∇2v + 1/3∇(∇·v)]
EQ. EULERO (fluidi perfetti, μ=0)
ρDu/Dt = -ρ∇(gz) - ∇p
1o EQ. MASSA IN CASO DI MOTO STAZIONARIO
∇ · (ρv) = 0
2o EQ. MASSA MOTO INCOMPRIMIBILE
∇ · v = 0
Numero di Reynolds
Re = PWD / μ
Sforzo
q = σtn
Pressione
P = 1/3 Tr(σ) = -1/3 (σxx + σyy + σzz)
Principio di Pascal del Volo in Quiete
σ =
- σxx τyx τzx
- τxy σyy τzy
- τxz τyz σzz
σ1
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