Riassunto esame Fluidodinamica

Fluidodinamica

Prof. Andrea Cavallini

• Le Navier-Stokes rappresentano il principio di conservazione della massa e della quantità di moto.
• Le possono essere semplificate per studiare problemi specifici:
  • Semplificazioni geometriche (campi di moto mono/bidimensionali).
  • Eliminazione di qualche termine (es. viscosi...)
• Le riducete num. variatore indipendenti.
• Le sono equazioni vettoriali a tre dimensioni.

Vettore velocità ha le tre componenti.

• U̅ = [u₁(x₁, x₂, t), u₂(x₁, x₂, t), u₃(x₁, x₂, t)], meno dimensioni -> soluzioni analitiche meno complesse.

Un fluido è detto incomprimibile se la sua densità xcune permane praticamente costante.

• Liquidi possono essere considerati incomprimibili, mentre i gas comprimibili.

Il numero di Mach Ma = V/c è un buon indicatore degli importanti effetti di comprimibilità (c = velocità molar).

• Ma < 0.3 = incomprimibile, Ma < 1 subsonico, Ma = 1 sonico, Ma > 1 supersonico.

Regione Viscosa = parte del dominio fluido nella quale gli effetti di attrito si svolgono con tutto significativo.

₁ = queste si trovano in prossimità di superficie solida (infatti similmente nelle rocce dei corpi..).

Insieme.

Regioni non viscose = forze attrito piccole in rapporto alle forze di inerzia e di pressione.

∂

CONDIZIONE DI ADERENZA = a causa degli effetti viscosi, un fluido in contatto diretto con una superficie.

Trasporto di

Giunta una tensione tangenziale senza superficie T_n e quindi giunta una forza di resistenza fluidodinamica superficiale D = ∫T_n dA.

La proprietà del fluido responsabile dell’addizione di aderenza è la viscosità.

• I moti ternici sono dominanti dall’influenza della viscosità in tutto il campo di moto.
• Nei moti ordinari gli effetti viscosi sono deboli e svolgono un ciclo insignificante, salvo alle immediate vicinanze degli strati superficiale.
• Profilo di velocità nella vena, profilo di ingresso nella oggetere

In ingresso [v_z=U(r,z,t)], mentre piede a valle è monodimensionale (U = U(r)).

Invisch

stricuza interna pluria ascodascita da cosidente a poca _tessa (coeff.axial).

Flusso proveninete nella Regione Viscosa con superficie subconducens modello ne corrisponde aumento (Pnertive

In conseguente della fibrilità del flusso.

Motì:

• Laminarì: elevato grado di ordine e da linee di flusso disposte come "lamine"
• Turbulento: elevato grado di disordine e fluttuazione della velocità e vorticità
• Transizione: fra regioni laminari e regioni ad alta regime turbolenta

Num. Reynolds:

è un parametro chiave per determinare se il regime è (a) o (b)

Motì stazionarì e non:

La stazionarietà implica l'invarianza delle proprietà in ogni punto al trascorrere del tempo

(∂ρ/∂t - ∂μ/∂t = 0)

Sono flussi non-stazionari:

• trasitori che in generale descrivono un moto in fase iniziale o di sviluppo
• moti periodici
• moti turbolenti

Un moto non stazionario può apparire stazionario se "mediato nel tempo"

Vettore ȳ = ū î + ĵ v̄ + w̅ k̂

Divergenza div ȳ ≡ ▽·ȳ = ∂u/∂x + ∂v/∂y + ∂w/∂z

Gradiente p ▽p = ∂p/∂x î + ∂p/∂y ĵ + ∂p/∂z k̂ (pressione)

Rotore ȳ = î ∂/∂x ĵ + ∂/∂y k̂

(2u) + (v̄) ȳ + (∂/∂z) + ∂/∂z (∂/∂x) + ∂w/∂z - …

▽(αλ̅) = α▽·ȳ + ȳ· ▽2

Laplaciano ▽2ā = ∂2/∂x2 + ∂2/∂y2 + ∂2/∂z2 = Laplaciano (rappresenta uno scalare o il vettore risultante di uno scalare)

ū* ▽ā = (1/2 ū á̅) (ū* î) = (ū × ∇ā) dove ū = ∂/∂x ... il gradiente di un vettore è un TENSOR

Fluidi Newtoniani

la viscosità non varia con la vel di def.

Fluido Non Newtoniano

la pendenza della curva dello sforzo in funzione della velocità di deformazione si chiama viscosità apparente

se aumenta con dγ/dt → dilatante, se diminuisce → pseudoplastico.

Se una montata interna è finita, prima di assumere un comportamento da fluido di minusa...

Fluido Plastico alla Bingham

• μ_b = μ * y_b / dγ/dt
• pseudoplastici
• fluido alta μ
• dilatante
• neweutoniano
• pseudoplastico
• gas

La viscosità dipende poco da p, ma molto da T; gas → aumenta con T, liquidi → diminuisce con T. La viscosità è una misura della resistenza allo scorrimento del fluido.

Tensione Superficiale

La superficie del liquido agisce come una membrana elastica tesa, paragonata ad una tenzone. La forza che tira la membrana è la tensione superficiale.

• Le forze attrattive sulle molecole in superficie non sono annullate.
• Le forze attrattive esterne alle molecole interne fanno net one.
• Il liquido tende a minimizzare l’area sulla superficie.

Barometro di Torricelli

Per la legge di Stevino in B ho la pressione atmosferica, e la pressione è quella del vapore di mercurio, approssimabile con il valore nullo.

L'equilibrio delle forze in direzione verticale sul cilindro di mercurio è:

Pa₀ A – P = 0 => P_a A = P => P_a = ρgh/4

ρ_Hg = ρgh

ρ_m = 13.600 kg/m³ => P_a = 101.3 kPa => 1 atm = 760 mm di mercurio

h = 0.76 m

Per l'equilibrio alla rotazione, il momento dovuto ad F deve essere uguale alla somma dei momenti dovuti a S_x, S_z e P.

• La forza verticale (P-S_z) deve passare per il baricentro del volume del liquido sopra la superficie.
• Calcolati il centro di pressione è φ il momento omocorotto a S_x.

M_F = M_P + M_P + M_Sz + M_Sz = 0

M_F = -M_P = -M_Sx = -M_tot

Esempio n°^o:

Spinta risultante dal volume di fluido t attraverso A:

S_z = ρ g A = ρ g

P = ρ g V₁ e F_V = S_V

S_z - P - F_v = S_z - P - S_V = 0

S_V = S_z + P

= ρ g (h + )

[del fluido non dell'aria!]

Galleaggiamento (Dim 1)

Valuto le spinte verticali dovute alla pressione nel cilindro a base qualunque:

S_g = p_c (h + s)₁ A - p_c (h) A = ρ g (h + s)₁ A - ρ g h A

= ρ g s A = ρ g V

Principia di Archimede

"Un corpo immerso in un fluido riceve una spinta verticale diretta verso l'alto di modulo pari al peso del volume del fluido promanto e emanante per il baricentro di tale volume"

Dim .2:

dalle leggi vie md'ino:

0 = dP / dx = dP / dy = dP / dz =

- ρ g = - ρ

S_g = ∫

in divergenza

Derivata materialale:

_Dp = _D = _∃ + ∃ ∙ ∇( )

Derivata convettiva (prod, scalare tra velt. Velocità e operatore diff.)

DERIVATA LOCALE (riguade rispetto a t)

_dp = _∃ + _up + _wp

_{dt ∃ y z}

aggiuntivo di n₁ paricella variazione di identità in un punto (indipendentemente dalle particule)

Flusso costante o stazionario?

∇ ( ) = 0 ∇ ∙ ∇( ) = 0

non varia nel tempo ma può varlare nello spazio. (dov. convettiva non necessariamente nulla).

Una linea di corrente e una curva lungo fg e ∇( ) rot. ^{P(x, u)}

(x+dx, ^dy

d_u d' = dx û + dÌ j + dw

a linea di corrente d_Y deve essere parallela d'";

• _ü j + v + j û v

-> le componenti detta proporzionalità devano essere proporzionali a quelle della velocità:

• _dr = dv dx _{ü ü} û

^dx _d'r⊃ ^{d' ( )}

• deve avere identia part供le paralleli per def.c

Tubo di flusso e volume materiale

• TUBO DI FLUSSO: essere il poco che appartengono ad una famiglia di linee di curendo paralind una cona censuna.
• Non peo essere attraverssame dal fluido in quanto per denirizione la vel. e fg. vale linee di flumo'
• VOLUME MATERIALE: art-place din graive
• P(t + 4t)

volume conteanete couldn c'