Riassunto Fluidodinamica, prof. Crivellini

Orale Fluidodinamica

Coefficiente di comprimibilità

T=cost. ⇒ Δw=-w ^Δp/_k ⇒ dw= - ^dp/_k con k=coefficiente di comprimibilità

Dal principio di cons. della massa ⇒ ϱw=cost. ⇒ dϱw + ϱdw=0 ⇒ ^dw/_w = -^dp/_ϱ

Quindi vale: ^Δp/_w = k = -w (^dp/_dw) = ϱ(^dp/_dϱ)_T = [ϱα]

Se k →+∞ ho un fluido incomprimibile ; se k →0 ho un fluido comprimibile

x un gas perfetto: ϱe = βpT (T=cost.), cioè ^dϱ/_β = cost. ⇒ ^dp/_ϱ - pd^ϱ/_ϱ² = 0

Da cui d^ϱ/_ϱ = ^dp/_p ⇒ k = p (compressione isoterma)

Coefficiente di dilatazione cubica

p=cost ⇒ Δw=βwΔT ⇒ dw = βdt con β=coeft. di dilatazione cubica

Dal principio di cons. della massa ⇒ ϱw=cost. ⇒ dϱw + ϱdw=0 ⇒ ^dw/_w = -^dp/_ϱ

Quindi ^dp/_ϱ = -βdt cioè: β = ¹/_w (^dw/_dT)_p = -¹/_ϱ (d^ϱ/_dT)_p = [-¹/_k]

Se β →+∞ ho una variazione in densità molto alta

x un gas perfetto: ϱ=βpT (P=cost.), cioè βT=cost. ⇒ ∫dT + Tdp = 0

Da cui dϱ/^ϱ = ^-dT/_T = -βdT ⇒ ϱ = ^ϱ/_T

In generale x un fluido ⇒ w=w(T,p) ⇒ dw= (^∂w/_∂T)_p dT + (^∂w/_∂p)_T dp

dw = βw dt - ^w/_k dp ⇒ dunque se varia sia p che T:

^Δw/_w = ^Δp/_k = -^Δp/_ϱ ≈ βΔT - ^Δp/_k

Tensione superficiale

Tensione superficiale = [^N/_m] = _s = ^F/_2b

Mezza sfera → 2_sR_s = ⁴/₂R²XΔp → Δp= p_i - p_e = ^2_s/_R

Mezza goccia → (2_sR_s)² = R²Δp → Δp= p_i - p_e = ^4_s/_R

Capillarità

Tensione superficiale → \( F_{TS} = \gamma l \delta s \)

Lungo Y → \( F_{TS,y} = \Pi D \delta s \cos \beta \)

Forza peso → \( F_p = - \rho g (\frac{\Pi D^2}{4}) h \)

Equilibrio: \(\Pi D \delta s \cos \beta = \rho g \frac{\Pi D^2}{4} h \rightsquigarrow h =\frac{4\delta s}{\rho g D \cos \beta}\)

Liquidi che bagnano la parete → \( \theta < \frac{\Pi}{2} \rightsquigarrow h > 0 \)

Liquidi che non bagnano la parete → \( \theta > \frac{\Pi}{2} \rightsquigarrow h < 0 \)

Pressione

\( \{\begin{array}{ll} \Delta x = 0 \\ \Delta y = 1 \end{array}\)

\( F_x = p_1 A \Delta z - p_3 \left( \rho g \Delta z \Delta x = 0 \right) \)

\( F_z = p_2 \Delta x - p_1 \Delta x - \rho \varepsilon \cos \theta - \frac {1}{2} \rho g \Delta x = 0 \)

\( \Delta x = l \cos \theta \) e \( \Delta z = l \sin \theta \)

\( \{\begin{array}{ll} p_1 - p_2 = 0\\ p_1 = p_3 \end{array} \)

\( \{\begin{array}{ll} \Delta x - p_3 \rho \varepsilon \Delta z = 0\\ p_1 = p_3 = 0 \end{array} \)

\( \Delta x - p_3 \rho \varepsilon \Delta z - \frac{1}{2} \rho g \Delta z \Delta x = 0 \) con \(\Delta z \rightarrow 0\)

\( p_2 = p_3 = p_1 \)

Variazione della pressione con la quota:

\(\int_{z_1}^{z_2} F_z = p_2 \Delta x - p_1 \Delta x - \rho g \Delta x \Delta z = 0\)

\( \Delta \rho = p_{2, z_1} - p_{1, z_2} \) \(\Delta z_{2, z_1} = z_2 - z_1 \)

\( \delta \rho = \rho g \Delta z \) \( \text{ogni cosa}_{C'} = \frac{\rho_{( V , B )} z_{z_2}{p_2}}{p_{j g z B 0}} \) con \( L - U = S_{E V I A N O} \)

Spinta su superficie piane

\( \dot{\tau} = \rho g h - \rho g \gamma m V O \) e \(\delta S = \rho r \delta A\)

\( \overline{S} = \int_{p, \rho} \rho r \delta A = \rho g \gamma m \gamma y \delta A = \rho g \gamma H\quad \text{con} H = \int_A y \delta A \)

\( S = \int_{-\Delta h} h \gamma m \theta = \rho g \gamma \Delta h \gamma m \theta \) \( = \rho g h_A = \rho g I m \theta \)

\( S_{y_c} = \int_{p,\rho} y \delta A = \int_z \rho\int_p \gamma \gamma m \gamma y \delta m = \rho g \gamma m \int_{y_A}^{p_1} \rho \gamma^2 \delta A \) = \(\rho g \gamma m \delta V O \)

\( y_c = \frac{\rho g \gamma I m \theta}{S} = \frac{\rho g I m \theta}{\gamma} = \frac{I}{M} \)

\( H = I_0 \neq y_{c}\pi A \approx y_c = \frac{I_0}{M}\)

\( \frac{y_0}{M} \) + \( y_{c} \geq y_c \)

Eccentricità e = y_c - y_G = \frac{I_0}{M}

Se \( h \rightarrow \infty ( \cos \theta \beta \rightarrow \infty) \Rightarrow e = 0\)

Funzione di corrente

Fluido incomprimibile sul piano xy → ∇·&V = 0 → ^∂u/_∂x + ^∂v/_∂y = 0

E si introduce la funzione di corrente ψ tale che: u = -^∂ψ/_∂y e v = ^∂ψ/_∂x

Sì ha allora: ^∂/_∂y (^-∂ψ/_∂y) + ^∂/_∂x (^∂ψ/_∂x) ≡ 0 che vale x qualunque funzione regolare ψ(x,y)

ψ è una linea di flusso

\[ \left\{ \begin{array}{l} u\cdot dx + v\cdot dy = 0 \\ ^∂ψ/_∂x + ^∂ψ/_∂y = 0 \end{array} \right\} \]

Per la funzione ψ(x,y) differenziabile vale proprio: dψ = ^∂ψ/_∂x dx + ^∂ψ/_∂y dy = 0

è allora costante lungo una linea di corrente

Conservazione della quantità di moto

^d/_dt ∫ ρ &V d τ = F_V + ∫ ρ &V ċ &V d τ

F_V: F al volume = ∫ ρ g dτ (F. peso)

F_S: F di superficie = ∫ A_[2] · n dA

Teorema del T. di Reynolds x la quantità di moto:

∫ ρ &V dτ + ∫[2]· n dA = ^d/_dt ∫ρ &V dτ + ∫ ρ &V·∇· &V dA

Dove: \[ \int_A [2]\cdot\nabla\cdot dA \]

= tenso simmetrico delle tensioni

E ∫ ρ &V·∇·n = ∫ ^ρ/_∂∂ dV

Dal momento che ρ &V &V è prodotto tensoriale

Tra due vettori uguali:

∇· ∇· (u v w)(x y z) = (t u w)

Allora facendo le oppurtune sostituzioni:

∫ρ· &V g dτ + ∫ S>[2] dW = ^d/_dt ∫ρ &V dτ + ∫ ρ· (β ∇· &V g d V A

^dV/_dt + ρ &V·∇· &V - ∫⊃ n dA = 0 che vale per qualunque volume

^d/_dt

∇ċ∂ ∫ ( ρ &V·∇ &V - ∫⊃ [ρ &V·∇· B] = 0

Forma alternativa

^∂V/_∂dt = ∇ · (ρ&V) b = 0

Vorticità

Flusso incomprimibile e non viscoso (ideale) → eq. di Eulero

∇ × ∇ ˜v = ₀ → irrotazionale

∇ · ∇ × ˜v = ˜ω = ^2π/_2π → rotazionale

Eq. di Eulero → &dfrac{D ˜v}{Dt} = -∇ P + g + ∇ · (˜v · ∇) = -∇(&dfrac{f_T}{ρ} + g(

Ma ∇ × ∇ × ∇ x ˜v = ∇ x ∇ x ∇ × ˜v = -∇ x ∇(&dfrac{f_T}{ρ} + g(

Ora faccio il rotore ad entrambi i membri:

∇×∇×∇x˜v-∇×∇×∇{{×}}<...>-∇×g=0

∇x˜ω=-g

∇x˜v=˜ω

∇טv=˜ω

Dove :

∇×∇×∇˜ω≡0 per lo stesso motivo

Allora ho :

Teorema di Kelvin

Se la vorticità è un flusso incomprimibile

d(˜∇·∇≡)

Dimostrazione :