Riassunto della meccanica del tessuto osseo

Meccanica dei tessuti biologici

Il tessuto è un insieme di cellule e matrice cellulare, con funzioni specifiche. La matrice è costituita da fibre (collagene + elastina) immerse in una sostanza composta da proteoglicani. Si possono distinguere 4 gruppi principali di tessuti biologici: connettivo, epiteliale, muscolare e nervoso.

Caratteristiche dei tessuti biologici

Tutti i tessuti biologici sono caratterizzati da:

1. Struttura gerarchica

• Scale geometriche di interpretazione per descrivere struttura e proprietà dei tessuti;
• I tessuti che considereremo hanno diverse scale di interpretazione, che vanno dal livello molecolare (nm) al macroscopico (cm);

2. Anisotropia

• Praticamente tutti i tessuti biologici sono anisotropi quindi useremo modelli anisotropi;
• L'anisotropia è dovuta all’organizzazione microstrutturale dei costituenti ottimizzata al sostentamento di una sollecitazione specifica;

3. Non linearità

• Caratteristica comune per quasi tutti i materiali (inclusi i tessuti molli);
• Può essere di due tipi:
  • Legame sforzo – deformazione non lineare;
  • Legame cinematico: il legame deformazione – campo di spostamento (per grandi non è più lineare);

Considerando un piccolo campione di tessuto molle e applicando un test meccanico su di esso (per esempio di trazione), il risultato ottenuto risulta essere di questo tipo:

4. Sforzi residui

• Assenza di una configurazione priva di sforzi e di deformazioni;
• Tipico dei tessuti biologici;
• Per esempio, la parete delle arterie presenta un sforzo residuo, anche senza essere stata caricata; è possibile rilassarla solo tagliandola (vale anche per legamenti e ossa ma è meno evidente);

5. Comportamento dipendente dal tempo

• Tipico di tutti i tessuti;
• Principalmente di 2 tipi:
  • Natura intrinseca (viscoelasticità);
  • Natura estrinseca, che dipende dalla presenza d’acqua (perdita d’acqua dopo caricamento);

6. Autoadattatività del tessuto

• Una terza tipologia di comportamento dipendente dal tempo;
• Processo di rimodellamento che il tessuto vivo attua e che non cessa fino a quando le cellule del tessuto smettono di svolgere le loro funzioni: rimodellamento per adattare la struttura interna ai carichi;
• Esempio tipico è il rimodellamento osseo;
• Caso patologico: formazione di aneurisma nelle arterie;

“Designing highly toughened hybrid composites through nature – inspired hierarchical complexity”. M.E.Launey, E. Munch et al. 2009.

Materiali compositi

Unendo due tipologie differenti di materiali, aventi diverse proprietà a livello microscopico, si può ottenere un materiale composito nuovo, le cui proprietà meccaniche possono addirittura superare quelle dei materiali da cui è composto. Per esempio, composti di materiale ceramico (rigido e fragile) + materiale polimerico (elastico e resistente: sopporta maggiori carichi prima di rompersi), accoppiamento presente anche nelle ossa.

Si può avere una situazione in cui le strutture mostrano aree sub-micrometriche di film polimerici interposti tra i grani di allumina; durante il processo di sinterizzazione si formano ponti ceramici tra i blocchi di allumina.

Perché realizzare materiali compositi?

Realizzare materiali compositi che riprendono la struttura gerarchica di elementi presenti in natura (per esempio, madreperla) può portare alla costruzione di un materiale che presenta uno sforzo che è superiore a quello del materiale naturale e che è più resistente, dal momento che ha uno sforzo di rottura maggiore. A parità di spessore, i compositi che presentano ponti ceramici hanno uno sforzo maggiore di qualche decina di MPa rispetto a quelli che ne sono privi.

Proprietà meccaniche dei materiali compositi

Alcune proprietà meccaniche dei materiali compositi non seguono la regola delle miscele (proprietà del composito intermedia tra le proprietà delle componenti). Per esempio, la tenacità di un composito è maggiore delle tenacità delle singole componenti.

La tenacità è la capacità del materiale di rallentare la propagazione delle crepe durante il processo di rottura. Il PMMA e il vetro sono poco tenaci, dato che la frattura si propaga con grande facilità. Il metallo, invece, è molto più tenace, dal momento che è necessaria più energia per la propagazione della frattura.

È possibile realizzare un esperimento nel quale si considera il composito di prima (PMMA + Al₂O₃ = allumina) e si può osservare come la tenacità del materiale composito (con e senza ponti) sia superiore a quella dei singoli componenti. Si può quindi dedurre che la tenacità non segue la regola delle miscele.

Tenacità = capacità di un materiale di assorbire energia dall’inizio della deformazione fino alla rottura (energia di deformazione + energia plastica); è l’area sottesa dalla curva e coincide con l’energia accumulata necessaria per rompere il materiale. Resilienza = capacità di un materiale di assorbire energia di deformazione elastica.

Scaffold osseo

Per realizzare uno scaffold osseo è necessario creare un materiale poroso (come il nostro osso trabecolare) sul quale mettere delle cellule per poi aspettare la formazione di nuovo osso su questo scaffold. La maggior parte degli scaffold per ossa sono costituiti da materiali ceramici e per questa ragione sono molto fragili; quando vengono ricoperti da un sottile strato di materiale polimerico (ottenendo quindi un materiale composito), il polimero si infila nella più piccola frattura riempiendola e garantendo un aumento delle proprietà meccaniche dello scaffold, in termini di resistenza alla trazione e tenacità.

Tessuto osseo

Il tessuto osseo presenta 7 livelli gerarchici e a seconda del livello considerato è necessario usare un modello meccanico differente:

• Livello nanometrico, nel quale distinguiamo i singoli cristalli di idrossiapatite (materiale ceramico, che si trova immerso in una matrice di collagene);
• Si distingue la fibrilla di collagene mineralizzata (idrossiapatite + collagene);
• Disposizione delle fibrille (array): le fibrille sono unite a formare la fibra;
• Le fibre possono disporsi in diversi modi e l’osso lamellare è l’unione di diverse disposizioni di fibre;
• L’osteone (≈ è l’insieme concentrico di più lamelle);
• Sezione trasversale dell’osso, che contiene numerosi osteoni;
• Osso completo.

Modelli di comportamento meccanico

Se voglio realizzare un modello molto semplice e studiare l’interazione tra l’intero osso e la protesi, posso usare le proprietà isotrope elastiche, dal momento che è un modello molto semplice e non richiede un elevato grado di dettaglio. Se, invece, voglio studiare il comportamento meccanico dell’osso su piccola scala, il modello isotropo elastico non è più adatto perché le proprietà radiali sono diverse da quelle assiali: nell’osso corticale, a livello della microstruttura, è necessario considerare un modello anisotropo, mentre considerando l’intero osso, il modello isotropo potrebbe essere sufficiente.

Più è complesso il modello, più sono i parametri necessari, più gli esperimenti da fare per individuare tutti i parametri.

Test di laboratorio e anisotropia

È possibile notare l’anisotropia del tessuto osseo dai test in laboratorio: considerando l’intero osso e tagliando dei campioni in diverse direzioni, le curve ottenute sono diverse:

• L ha le più elevate proprietà elastiche;
• T ha le più basse proprietà elastiche;
• 30° e 60° hanno proprietà intermedie.

La rigidezza è più bassa nella direzione trasversale: E_L > E_T. Il modello deve tenere conto della disuguaglianza tra le proprietà elastiche nelle due direzioni. Se il materiale è anisotropo, ci sarà un modulo di Young, E, diverso per ogni direzione.

Prova di trazione

In caso di prova di trazione lungo 3 direzioni (longitudinale, circonferenziale e radiale) si ottiene:

• La rigidezza è maggiore nella direzione longitudinale;
• Le direzioni circonferenziale e radiale sembrano avere un livello di rigidezza simile, dal momento che hanno quasi uguale modulo di Young, E.

Considerando, invece, una prova di trazione e compressione secondo le direzioni assiale e trasversale:

• Trazione e compressione sono simmetrici dal punto di vista della rigidezza perciò la pendenza della curva è continua: in entrambi i casi E_L > E_T;
• Per quando riguarda, invece, la resistenza (_max che il materiale può sopportare prima di rompersi), nella prova di trazione è massima nella direzione longitudinale, minima in quella radiale e intermedia nella circonferenziale;
• In compressione, invece, si ha un’evidente asimmetria soprattutto in direzioni trasversale (+ 60 MPa vs. – 100 MPa).

Considerando piccole deformazioni e relazioni lineari, l’equazione che lega sforzo e deformazione è:

= ⋅ (6x1) = (6x6) (6x1)

Dove C è la matrice di rigidezza (stiffness matrix), simmetrica e invertibile, composta da 36 elementi di cui soltanto 21 sono indipendenti. Con 21 parametri da determinare ho il modello anisotropo più generale. Tuttavia, 21 parametri sono quasi impossibili da individuare sperimentalmente quindi vengono introdotte delle semplificazioni, ottenendo solo 2 parametri. Con 2 parametri indipendenti ho il modello isotropo.

Modelli di simmetria

Triclino

(Il più complesso: 0 piani di simmetria e 21 parametri indipendenti)

Monoclino

(Il secondo più complesso: 1 piano di simmetria e 13 parametri indipendenti)

• Caratterizzato dall’avere gli angoli β = γ = α = 90° e ≠ 90°;
• Considerando un materiale costituito da cristalli monoclini:
  • Tirando il materiale in una direzione perpendicolare al piano del foglio avrei una risposta normale;
  • Applicando, invece, una forza di trazione come in figura, avrei una risposta molto particolare: non ho solo la deformazione assiale (direct strain) ma anche quella tangenziale (shear strain) per effetto della struttura stessa del materiale;
  • C₁₁ presenta anche gli elementi che collegano lo sforzo assiale (direct stress, con ), quello di taglio (shear stress, creando un legame diretto e lo stesso per le deformazioni);

Trigonale

(3 piani di simmetria e 8 parametri indipendenti)

• Presenta ancora il legame tra sforzi e deformazioni diretti e indiretti;
• Poco usato.

Ortotropico

(3 piani di simmetria e 9 parametri indipendenti sono ancora tanti)

• Un modulo elastico per direzione;
• Uno dei più comuni.

Tetragonale

(4 piani di simmetria e 6 parametri indipendenti)

• È una versione semplificata del modello ortotropico in cui due direzioni si comportano allo stesso modo.

Trasversalmente isotropo

(1+∞ piani di simmetria e 5 parametri indipendenti)

• Le proprietà elastiche in ogni direzione perpendicolare a quella assiale sono uguali tra di loro e diverse da quelle lungo la direzione assiale stessa;
• Uno dei più usati.

Cubico

(9 piani di simmetria e 3 parametri indipendenti)

Isotropo

(∞ piani di simmetria e 2 parametri indipendenti)

• Modulo di taglio (shear modulus) dipendente da quello diretto (direct modulus);
• È la simmetria più semplice: tutti i piani sono piani di simmetria e questo significa che il modulo elastico è sempre lo stesso;
• È il più usato.

Con piani simmetrici abbiamo anche una risposta simmetrica: gli unici modelli con proprietà di simmetria che ci interessano dal punto di vista pratico sono quello ortotropico, trasversalmente isotropo e isotropo.

Modello trigonale

In natura esistono numerosi tessuti che presentano una struttura assimilabile a quella del modello trigonale (3 piani di simmetria e 8 parametri indipendenti).

• Sforzo assiale (direct stress): sforzo che agisce in direzione perpendicolare alla superficie;
• Sforzo di taglio (shear stress): sforzo che agisce lungo la direzione tangente alla superficie;
• Deformazione assiale (direct strain) è la deformazione in direzione perpendicolare;
• Deformazione di taglio (shear strain) - considerando un campione di materiale quadrato che viene deformato lungo la direzione tangenziale, esso non mantiene la forma quadrata.

Quindi nel caso del modello trigonale, C è qualcosa del tipo:

C = [ C₁₁ C₁₂ C₁₃ 0 0 0 ]

[ C₁₂ C₂₂ C₂₃ 0 0 0 ]

[ C₁₃ C₂₃ C₃₃ 0 0 0 ]

[ 0 0 0 C₄₄ 0 0 ]

[ 0 0 0 0 C₄₄ 0 ]

[ 0 0 0 0 0 C₄₄ ]

Dal momento che C definisce la relazione tra sforzi e deformazioni, allora:

• Lega sforzi e deformazioni assiali (direct stress con direct strain);
• Lega sforzi e deformazioni tangenziali (shear stress e shear strain);
• Lega sforzi assiali e deformazioni tangenziali e viceversa.

Nel caso di un materiale di questo tipo, considerando un sistema di riferimento cartesiano con un asse parallelo all’asse principale della struttura, e applicando un sforzo di trazione, è possibile notare la presenza di una deformazione assiale (si allunga) e una di taglio (si deforma). Questo succede anche nel ventricolo: tra sistole e diastole, il ventricolo non solo si espande o contrae ma si torce anche.

Modello ortotropico

Concentrandoci sul modello ortotropico (9 costanti), è possibile invertire la rappresentazione matriciale del legame costitutivo (perché C è una matrice quadrata, simmetrica e invertibile in quanto non singolare):

 = ⋅ = C^-1 ∙ C

Dove C^-1 è la matrice di cedevolezza (compliance matrix).

La tipica rappresentazione di questo legame per il modello ortotropico è la seguente:

C^-1 = [ 1/E₁ -ν₁₂/E₁ -ν₁₃/E₁ 0 0 0 ]

[ -ν₂₁/E₂ 1/E₂ -ν₂₃/E₂ 0 0 0 ]

[ -ν₃₁/E₃ -ν₃₂/E₃ 1/E₃ 0 0 0 ]

[ 0 0 0 1/G₂₃ 0 0 ]

[ 0 0 0 0 1/G₁₃ 0 ]

[ 0 0 0 0 0 1/G₁₂ ]

Assumiamo che il sistema cartesiano ortogonale sia coassiale con le 3 direzioni (solo così possiamo scrivere la matrice di compliance come sopra). I termini 1/E₁, 1/E₂, 1/E₃ sono il reciproco dei 3 moduli di Young, E₁, E₂, E₃, lungo le 3 direzioni del materiale. Qui troviamo i coefficienti di Poisson. Qui abbiamo i 3 shear stiffness, che sono legati al piano e descrivono la relazione tra shear stress e shear strain quindi la shear stiffness G presenta 2 indici che indicano in quale piano ci troviamo: se volessi misurare G₁₂ e la lavagna è il piano 1-3, devo fare un esperimento nel piano 1-2, che è il piano perpendicolare alla lavagna.

Grazie alle condizioni di simmetria, i coefficienti di Poisson indipendenti sono 3 (e non 6) quindi per determinare le proprietà di un campione di materiale anisotropo ortotropico, devo fare almeno 3 diversi esperimenti (una prova di trazione monoassiale per ognuna delle 3 direzioni principali).

Se considero una porzione di osso corticale e taglio un campione che presenti 3 diverse direzioni, posso applicare la prova di trazione lungo le varie direzioni, assiale, radiale e circonferenziale, ottenendo:

Direzione assiale

• L’unica componente non nulla è ₁₁;
• Dalla prima equazione ricavo: ₁₁ = ∕ E₁;
• Dalla seconda equazione, invece, ricavo: ₁₂ = -ν₂₁ ∕ E₁ ∕ ₁₁;
• E così dalla terza: ₁₃ = -ν₃₁ ∕ E₁ ∕ ₁₁;
• Quindi con un solo esperimento trovo 3 informazioni: E₁, ν₂₁, ν₃₁;

Direzione radiale

• Procedo allo stesso modo ma questa volta ₂₂ ≠ 0, mentre gli altri sono nulli;
• Scrivendo nuovamente le prime 3 equazioni e misurando le 3 deformazioni, troviamo anche i valori di E₂, ν₃₂;
• Poiché ν₂₁ dovrebbe essere uguale a ν₁₂ a causa di errori sperimentali dobbiamo calcolarli entrambi, anche se non sono indipendenti e calcolare una sorta di media in modo da verificare che soddisfino le condizioni di simmetria;

Direzione circonferenziale

• Lungo questa terza direzione, solo ₃₃ ≠ 0 così da ricavare E₃, ν₃₁, ν₃₂;
• Assumiamo che ν₃₁ = ν₁₃ perché le altre equazioni devono essere soddisfatte e se i due valori non coincidono, è necessario farne la media.

Pertanto, misurando le 3 deformazioni lungo 3 direzioni, possiamo trovare tutte le costanti nel blocco superiore sinistro ( ); non abbiamo, invece, informazioni riguardo gli elementi che si trovano nel blocco inferiore.