Riassunto corso Analisi 1 (Prof. Ciatti) - Seconda Parte

Definizione di derivata

Sia f definita in (a,b) e sia x_o ∈ (a,b)

f è derivabile in x_o se lim_x→xo ^{f(x) - f(x_o)}/_{x - xo} = lim_h→0 ^{f(x_o + h) - f(x_o)}/_h esiste ed è finito

(f'(x_o) = Df(x_o) = ^d/_dx [ f(x) ] = f'(x_o) )

m = ^{f(x_o) - f(x_o)}/_{x - xo}

retta ⋍ y - y_o = m(x - x_o)

Definizione

Retta tangente: se f è derivabile in x_o (f'(x_o) = lim_x→xo ^{f(x) - f(x_o)}/_{x - xo} ∈ R) chiamiamo retta tangente

al grafico di f la retta che ha equazione y=f(x_o)+f'(x_o)(x-x_o)

Esempi

f(x)=2 lim_x→xo ^2-2/_x-xo = 0 ⇒ f(x)=c lim_x→xo ^c-c/_x-xo = 0 x≠x_o

f(x)=x x_o∈R

lim_x→xo ^f(x)-f(x_o)/_x-xo = lim_x→xo ^x-x_o/_x-xo

f(x)=x² x_o∈R

lim_x→xo ^x2-x_o2/_x-xo = lim_x→xo ^{(x+x_o)(x-x_o)}/_x-xo = 2x_o

f'(x_o)=2X Rapporto incrementale

f(x)=xⁿ x_o∈R

f'(x)=nx^n-1

Prop.: Se f e g sono derivabili in un punto x_o, allora (f+g) è derivabile in x_o e

(f+g)'(x_o)=f'(x_o)+g'(x_o)

Dim.: lim_x→xo ^{(f+g)(x)-(f+g)(x_o)}/_(x-xo) = lim_x→xo ^f(x)-f(x_o)/_(x-xo) + g(x)-g(x_o) = f'(x_o)+g'(x_o)

DEFINIZIONE DI DERIVATA

Sia f definita in (a,b) e sia x₀ ∈ (a,b) [7 x₀ t.c. (x₀-r, x₀+r) ⊂ (a,b)]

f è derivabile in x₀ se lim_x→x0 ^f(x)-f(x₀)/_x-x0 = lim_h→0 ^{f(x₀+h)-f(x₀)}/_h esiste ed è finito

(f'(x₀)=Df(x₀)=^d/_dx(f(x₀))=f'(x₀))

m=^{f(x₀)-f(x₀)}/_x-x0 x≠x₀

retta → y-y₀=m(x-x₀)

l'equazione di una retta attraverso un punto (x₀, y₀)

DEFINIZIONE RETTA TANGENTE: sia f è derivabile in x₀ lim_x→x0 ^f(x)-f(x₀)/_x-x0 ∈ R chiamiamo retta tangente

al grafico di f la retta che ha equazione y=f(x₀)+f'(x₀)(x-x₀)

ρEsempi:

f(x)=2 lim_x→x0 ^2-2/_x-x0=0 → f(x)=c lim_x→x0 ^c-c/_x-x0=0 x≠x₀

f(x)=x x₀ ∈ R

lim_x→x0 ^f(x)-f(x₀)/_x-x0 lim_x→x0 ^x-x₀/_x-x0

f(x)=x² x₀ ∈ R

lim_x→x≠x0 ^x2-x₀2/_x-x0 = lim_x→x≠x0 ^{(x+x₀)(x-x₀)}/_x-x0 2x₀

lim_x→x0 ^f(x)-f(x₀)/_x-x0 = lim_x→x0 ^x-x₀/_x-x0

^f(x)/_(x-x)= ^f(x₀)/_x0 x=

f(x)=xⁿ x₀ ∈ R f^'(x₀)=nx₀^n-1

lim_x→x0 ^f(x)-f(x₀)/_x-x0 = lim_x→x0 ^x-x₀/_x-x0

π^'(x)

f'(x)=2x

PRO_POSTA: ^D_DIM. Se f e g sono derivabili in un punto x₀, allora (f+g) è derivabile in x