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Definizione di derivata
Sia f definita in (a,b) e sia x0 ∈ (a,b) [ ∃ x0 t.c. (x0-r, x0+r) ⊂ (a,b) ]
f è derivabile in x0 se limx→x0 (f(x)-f(x0)) / (x-x0) = limh→0 (f(x0+h) - f(x0)) / h = f'(x0)
l'equazione di una retta attraverso un punto (x0, y0) è y = y0 + m · (x - x0)
Definizione Retta Tangente: sia f derivabile in x0 (f'(x0) = limx→x0 (f(x) - f(x0)) / (x - x0) ∈ R), chiamiamo retta tangente al grafico di f, la retta che ha equazione y = f(x0) + f'(x0) (x - x0)
Esempi:
- f(x) = c
- f(x) = x
- f(x) = x2
Prop.: Se f e g sono derivabili in un punto x0, allora (f+g) è derivabile in x0 e
(f+g)'(x0) = f'(x0) + g'(x0)
f(x) = x⅔ x + 1
f'(x) = 3x½ + 1
f(x) = √x x⅔
x > 0 dom f2 = [0,+∞)
x0 ≥ 0
limx→x0 √x - √x0 = limx→x0 √x - √x0 - √x0 + √x0 = limx→x0 √x - √x0 · h→0 √x0 + √x0 = limx→x0 - x0 x - x0
f(x) = √x
(se n e foni dom f1: C(0,+∞) 0
f'(x) = 1/y-1
f(x) = sin x
dom f = R
f'(x) = cos x
limh→0
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