Riassunto corso Analisi 1 (Prof. Ciatti) - Prima Parte

01-10-2018

Insiemi numerici

• N naturali: {0, 1, 2...}
• Z interi: {0, ±1, ±2...}
• Z₊ interi positivi: {1, 2, 3...}
• Q razionali: {^m⁄_n, n ≠ 0; m ∈ Z}
• R reali: punti della retta

R₊: {x ∈ R: x > 0}

R₋: {x ∈ R: x ≤ 0}

R = R_∪ {0 }∪ R₊

(R, +, >) orientamento

x ∈ R

x > 0

x < y ⇒ x + z < y + z

x² < yx

x² ₂

&Prop; 1

&Prop; 2

Dimostrazione

Prop. √2 non è numero razionale non è in Q

Dimostrazione Supponiamo per assurdo che √2 ∈ Q

√2 = ^m⁄_n m, n ∈ Z, n ≠ 0

m² = 2n² m² = 2m²

Supponiamo m e n non abbiano fattori in comune,

sono quindi numeri irriducibili.

Se m² = k²2q q ∈ Z allora K è pari, perché

se fosse dispari K²-2 (<t+1>

quindi k² ∈ Z (t+1)

Potenzialmente dispari per

m² = 2m²

2n² = m^{2 (2j)} 4j² ⇔

n² = 2j²

quindi anche

nez pari quindi per n è pari

n=2|s| se

abbiamo

supposto fossero irriducibili,

ma in questo caso abbiamo 2 come

Fattore comune.

Se p è un numero primo allora √p ∉ ℚ

Dimostrazione: supponiamo per assurdo che √p ∈ ℚ

√p=^m⁄_n

m,n ∈ ℤ e n ≠ 0

^m⁄_n² = p

n²p = m²

Supponiamo inoltre che m ed n siano irriducibili.

Insiemi: per elencazione

{x,y,z,…}

{x ∈ ℝ | x² > 6}

A: insieme

x ∈ A

∃ x

A ⊃ B

x appartiene ad A, è un suo elemento

B ⊂ A B è contenuto in A B è un sottoinsieme di A.

gli elementi di B sono anche elementi di A.

Es. B {3,4,7,8}

3 ∈ B

3 appartiene a B

{3} ⊂ B

insieme composto dal numero 3 è sottoinsieme di B.

{3,4} ⊂ B

{{3,4},8 ⇛ 3,4 ⊂ B

A ∪ B : insieme costituito da tutti gli elementi di A e di B.

unione

A ∩ B : insieme costituito da tutti gli elementi che appartengono contemporaneamente sia ad A che a B}

x ∈ A e x ∈ B

X ⋂ A

X ⋂ A = {gli elementi di X che non appartengono ad A} = A^c

complemento di A in X

∅ : insieme che non contiene alcun elemento

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⊄ Carlo è più alto di 150 cm - Predicato

A noi interessano le relazioni tra i predicati

P,Q : predicati

P ⇛ Q se