Analisi 2: Riassunto completo e dettagliato - seconda parte

Funzioni di più variabili

Determinare l'insieme di definizione

Chiamiamo D_r(x_o) il disco centrato in x_o di raggio r.

Definizione: Sia Ω ⊆ ℝ^m e sia x_o ∈ ℝ^m.
x_o è un interno ad Ω quando x_o ∈ Ω e ∃r > 0 | D_r(x_o) ⊆ Ω.
x_o è esterno ad Ω quando x_o ∉ Ω e ∃r > 0 | D_r(x_o) ⊆ ℝ^m\Ω.
x_o è un punto di frontiera quando non è interno e non è esterno.

Definizioni ulteriori:
L'interno di Ω è l'insieme dei punti interni di Ω.
La chiusura di Ω è l'interno di Ω unito ai suoi punti di frontiera.
Il bordo di Ω è l'insieme dei punti di frontiera.
Insieme aperto: tutti i suoi punti sono interni (no punti frontiera).
Insieme chiuso: il suo complementare è l'insieme aperto.
Insieme connesso: per ogni coppia di punti di Ω esiste una curva continua interamente contenuta in Ω che li collega.

Punti di massimo e minimo

Definizione: Sia Ω ⊆ ℝ^m e sia f: Ω → ℝ.
x_o è un punto di massimo relativo quando ∃r > 0 | ∀x ∈ Ω ∩ D_r(x_o) f(x) ≤ f(x_o).
x_o è un punto di minimo relativo quando f(x) ≥ f(x_o).
x_o è un punto di massimo assoluto quando ∀x ∈ Ω f(x) ≤ f(x_o).

Funzioni di più variabili

ƒ: ℝ² → ℝ. A ogni coppia (x,y) in una regione del piano viene associato un valore ƒ(x,y).
1º passo: Determinare l'insieme di definizione. In M = 1 sarà un intervallo o l'insieme di più intervalli. In M = 2 può avere forme complesse (cerchio, scrivania...).

Chiamiamo D_r(x₀) il disco centrato in x₀ di raggio r.

Definizione: Sia Ω ⊆ ℝ^M e sia x₀ ∈ ℝ^M.
x₀ è un interno ad Ω quando x₀ ∈ Ω ∃r>0 | D_r(x₀) ⊆ Ω.
x₀ è estremo ad Ω quando x₀ ∈ Ω ∄r>0 | D_r(x₀) ⊆ ℝ^M \ Ω.
x₀ è un punto di frontiera quando non è interno e non è estremo.

Definizioni ulteriori:
L'interno di Ω è l'insieme dei punti interni di Ω.
La chiusura di Ω è l'insieme di Ω unito alla sua frontiera.
Il bordo di Ω è l'insieme dei punti di frontiera.
Insieme aperto: tutti i suoi punti sono interni (∄ punti frontiera).
Insieme chiuso: il suo complementare è l'insieme aperto.
Insieme connesso: per ogni coppia di punti di Ω esiste una curva continua interamente contenuta in Ω che li collega.

Definizione: Sia Ω ⊆ ℝ^M e sia ƒ : Ω → ℝ.
x₀ è un punto di massimo relativo quando ∃r>0 | ∀x ∈ Ω ∩ D_r(x₀) ƒ(x) ≤ ƒ(x₀).
x₀ è un punto di minimo relativo quando ƒ(x) ≥ ƒ(x₀).
x₀ è un punto di massimo assoluto quando ∀x ∈ Ω ƒ(x) ≤ ƒ(x₀).

Limiti

lim_{(x,y) → (x₀,y₀)} f(x,y) = l ∀ε>0 ∃δ>0 | (x,y) ∈ B_δ(x₀,y₀) => |f(x,y)-l|0 ∀∅∈ [0,2π).
lim_ρ→0 g(ρ) = 0 allora lim_ρ→0⁺ F(ρ, ∅) = l uniformemente rispetto a θ.

Funzioni continue

Il concetto di limite ci aiuta a definire la continuità delle funzioni in x variabili. Diremo che f è continua in (x₀, y₀) se lim f(x) = f(x₀), f è continua in x se è continuo in ogni punto c ∈ x.

Teoremi importanti

Teorema di Weierstrass: Sia x ⊆ ℝ^m chiuso e limitato e sia f : x → ℝ una f continua. Allora f ammette max e min (assoluti) su x.

Teorema degli zeri: Sia x ⊆ ℝ^m un insieme connesso. su f : x → ℝ una f continua. Siano x₁, x₂ due punti ∈ x con f(x₁) f(x₂).