Analisi 2: Riassunto completo e dettagliato - seconda parte

Funzioni di + variabili

f: ℝ² → ℝ ad ogni coppia (x,y) in una regione del piano viene associato un valore f(x,y).

1º passo: Determinare l’insieme di definizione

In m=1 era un intervallo o l’insieme di x nell’asse. In m=2 può avere forme complesse (cerchio, superficie...)

Chiamiamo D_r(x₀) il disco centrato in x₀ di raggio r.

Def:

• Sia Ω ⊂ ℝ^m e sia x₀ ∈ ℝ^m.
• x₀ è un interno ad Ω quando x₀ ∈ Ω ∃r>0 D_r(x₀) ⊆ Ω.
• x₀ è estremo ad Ω quando x₀ ∈ Ω ∋ ∃r>0 \ D_r(x₀) ⊈ ℝ^m \ Ω.
• x₀ punto di frontiera quando non è interno e non è estremo.

Def:

• Ω interno di Ω è l’insieme dei punti interni di Ω.
• La chiusura di Ω è l’insieme di Ω unito alla sua frontiera.
• Il bordo di Ω è l’insieme dei punti di frontiera.

⇒ Insieme aperto: tutti i suoi punti sono interni (no punti frontiera)

Insieme chiuso: il suo complementare è l’insieme aperto

⇒ Insieme connesso: per ogni coppia di punti di Ω esiste una curva continua interamente contenuta in Ω che li collega.

Def:

• Sia Ω ⊂ ℝ^m e sia f: Ω → ℝ.

x₀ è un punto di massimo relativo quando ∃r>0 ∀x∈Ω∩D_r(x₀) f(x) ≤ f(x₀).

• x₀ è un punto di minimo relativo... f(x) ≥ f(x₀).
• x₀ è un punto di massimo assoluto quando ∀x∈Ω f(x) ≤ f(x₀).

Limiti

lim_{(x,y)→(x0,y0)} f(x,y) = L ⇔ ∀ε>0 ∃δ>0 | (x,y) ∈ B_δ(x₀,y₀) ⇒ |f(x,y) - L| ≤ ε

Bⁱ(x₀,y₀) - In dimensione m≥2 consente ai punti (x,y) di avvicinarsiin infiniti modi al punto (x₀,y₀). (Lungo qualsiasi curva).

Se un limite viene un numero finito usando (y=x^m) e lostesso limite viene un altro numero finito usando (y=xⁿ)allora il limite non esiste.

Dunque non sappiamo mai sicuri se il limite esiste o no(ci sono infinite curve da dimostrare).

Coordinare Polari

f : ℝ² → ℝ

Poniamo:

• x = x₀ + ρcosθ
• y = y₀ + ρsenθ
• ρ∈ℝ (ρ>0) θ∈[0,2π]

f(ρ,θ) = f(x₀ + ρcosθ, y₀ + ρsenθ)

lim_ρ→0⁺ F(ρ,θ) = facciamo tendere il limite a ρ→0; non deve dipendere da θ, altrimenti non possiamo calcolarlo.

Teorema

lim_x→x0 f(x) = L ⇔ lim_ρ→0⁺ F(ρ,θ) = L uniformemente rispetto a θ.

Teorema

Se ∃ una funzione g | |F(ρ,θ) - L| ≤ g(ρ) ∀ρ>0 ∀θ∈[0,2π] lim_ρ→0⁺ g(ρ) = 0 allora lim_ρ→0⁺ F(ρ,θ) = L uniformemente rispetto a θ.

Teorema di Schwarz

Sia Ω e un insieme aperto e sia f ∈ C² su Ω, allora f_xy = f_yx per ogni s ∈ Ω.

Cod `; e matrice hessiana è simmetrica.

[f_xy f_yx] [f_x,y f_xx],   ∀ x, y

Derivate direzionali seconde

f: &obreve; ϵ

x0 ∈ &obreve;, D_yf : Ω

λ, e = D_xyf(x0) = (D_y Df ∇)(x0)

Teorema

Sia f: Ω  ∈ C² su C², allora per ogni versione ҥ ∈ ∇, esiste un derivata direzionale seconda D_ijxf ∈ ⊂ x 𝝆 H

Formula di Taylor del 2 ° ordine

Determinare la posizione della funzione rispetto al suo piano tangente

Teorema

Sia f: ⌊ ∈ K

Forme quadratiche

Def.

Prop: Sia Q : g(¾, m–) ∈ A   mm(IR)

2[(x,y) = f(q,y,o) + (f(x)(x-x_o)

(,x,y,o) = (.) ζ 2

Esempio:

f(x) = x + y ; x = t ; (t), = t \

• x = t
• y = t

t (0,1] t (0,1] → t + t = t ψ(t) : 2t = 1 i t (0,1] (0,1] → (t) ψ(0) = 1 ψ(2) = 3 punto minimo punto massimo

Estremi Vincolati - Moltiplicatori di Lagrange

f : 2 → iR z iR₂ g : 2 → iR curva (x,y) = b

Teorema (Fermat):

iR , 2 iR aperto, sia g : (x,y)=b (x) (x) (x) ∇ f(x) || ∇ g(x) quando x₀ max/min

Calcolo Integrale

Integrali Doppi

Teorema: Sia \( f: [a,b] \times [c,d] \to \mathbb{R} \) un f continua. Allora \(\iint f \) esiste finito e non dipende dagli \(\xi_{ij}\), ossia \( f \) è misurabile su \([a,b] \times [c,d]\).

Def: Sia \(\Omega \subset \mathbb{R}^2 \) un f\textit{z} limitata definita su un insieme \(\Omega \subset \mathbb{R}\). Sia \( R \) un rettangolo che contiene \(\Omega\), se \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) la f\textit{z} def\textit{nita} da

\( f(x,y) = \begin{cases} f(x,y) & (x,y) \in \Omega \\ 0 & (x,y) \in R \setminus \Omega \end{cases} \)

La funzione \( f \) è integrabile su \(\Omega\) quando la funzione \(\overline{f}\) è integrabile su \(R\). In questo caso:

\(\iint_{\Omega} f(x,y) \, dx \, dy = \int_{R} \overline{f}(x,y) \, dx \, dy\) (a\textit{prossimazione per} R \textit{rettangolo}).

Def: Sia \(\Omega \subset \mathbb{R}^2\) limitato. \(\Omega\) è misurabile quando la sua funzione caratteristica

\( \chi_{\Omega}(x,y) = \begin{cases} 1 & (x,y) \in \Omega \\ 0 & (x,y) \notin \Omega \end{cases} \)

è integrabile su \(\mathbb{R}\), ossia quando \(\exists \iint_{\Omega} \, dx \, dy\).

La misura di \(\Omega\) è \(|\Omega| = \iint_{\Omega} \, dx \, dy\).

Insiemi Semplici

(Se e s\textit{enza } tassa f\textit{ono posso} valutare integrali doppi su\textit{!}.)

Def: \(\Omega \subset \mathbb{R}^2\) è \(y-\) semplice quando \(\exists \) due funzioni continue \(g_1,g_2: [a,b] \to \mathbb{R}\) t.c. \(\Omega = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2: x \in [a,b], g_1(x) \geq y \geq g_2(x)\} \). (Se taglio \(\Omega\) con una retta verticale \textit{come in} modo \textit{e molto un} o su \textit{u settore})

\((2)\) \(\Omega\) è \(x-\) semplice quando \(\phi \) \textit{tre} funzioni continue h\textit{ici} \(: [c,d] \to \mathbb{R}\)

\((x,y) \in \mathbb{R}^2: y \in [c,d], h_1(y) \leq x \leq h_2(y)\). \(\Omega\) è semplice quando è \(y-\) semplice o \(x-\) semplice. \(\Omega\) è riducibile quando è un\textit{ione} finita di insiem\textit{i semplici}.

Figura 1

Figura 2

Cambiamenti di coordinate per integrali tripli

T: R³ → R³ regolare biunivoco e S ⊂ R³ aperto limitato.

• x = x(u,v,w)
• y = y(u,v,w)
• z = z(u,v,w)

∫∫∫_Ω f(x,y,z) dxdydz = ∫∫∫_T^-1(Ω) f(u,v,w) |det J_t| dudvdw

Coordinate cilindriche

• x = ρcosθ
• y = ρsenθ
• z = t

J = [ cosθ -ρsenθ 0 ] [ senθ ρcosθ 0 ] [ 0 0 1 ]

|det J| = ρcosθ ρsenθ = ρ. Il range ovunque finito per ρ.

Se f è integrabile su Ω limitato:

∫∫∫_Ω f(x,y,z) dxdydz = ∫∫∫_T^-1(Ω) f(ρcosθ, ρsenθ, t) ρdρdθdt

Coordinate sferiche

• x = ρsenφcosθ
• y = ρsenφsenθ
• z = ρcosφ

J = [ senφcosθ ρcosφcosθ -ρsenφsenθ ] [ senφsenθ ρcosφsenθ ρsenφcosθ ] [ cosφ -ρsenφ 0 ]

|det J| = ρ²senφ. Si annulla lungo l'asse dove z cresce e tutti gli altri piani.

∫∫∫_Ω f(x,y,z) dxdydz = ∫∫∫_Ω' f(ρ,φ,θ) ρ²senφ dρdφdθ

Esempio:

T = ∫∫∫_Ω 2-z/x²+y² dxdydz = Ω = { (x,y,z) ∈ R³, z = 2÷3, √x²+y² } Curviolinee:

• x = ρcosθ
• y = ρsenθ
• z = t

• ρ = 1 ≤ ρ ≤ 4
• θ = 0 ≤ θ ≤ 2π
• t = 0 ≤ t ≤ 3-√ρ²

T = ∫₁^2π ∫₀¹ ∫_{(3-√ρ²)/3} ρ dρdφdt - ∫₀^2π ∫₀^{(3-√x2+y2)/t (t-3) dt dφ = -7/3 π}