Fisica II - Riassunto completo

Fisica II

Elettrostatica

Il termine elettricità deriva dal greco Electron che significa ambra infatti essa si elettrizzava se strofinati con lana

In natura esistono 2 tipi di materiali:

• Isolanti (o dielettrici): si caricano per strofinio (infatti gli elettroni non possono muoversi su di essi)

• Conduttori: non si caricano per strofinio

Due cariche concordi si respingono due cariche discordi si attraggono

Legge di Coulomb

La forza tra 2 cariche è direttamente proporzionale al prodotto delle cariche e inversamente proporzionale al

quadrato della distanza 2

1 2 −12

= ̂ = 8.85 ∗ 10

0

2 2

4

0

La direzione è sulla congiungente delle due cariche ed il verso è dato dal segno delle stesse

La carica si misura in Coulomb [C] che è un’unità di misura molto grande

Per misurare la costante elettrica Coulomb utilizzò una bilancia di torsione

Principio di indipendenza delle azioni simultanee (o di sovrapposizione): le forze elettriche agenti su q si sommano

0

come vettori singoli e indipendenti dagli altri

⃗

Campo elettrico (, , )

Regione dello spazio sede di perturbazioni elettriche e la sua unità di misura è [N/C] o [V/m]

La carica di prova (q ) deve essere trascurabile in modo che non alteri in sistema in cui è immersa

0

=

0

⃗ = ̂

2

4

0

⃗ = ∑ ̂ ′ ℎ

2

4

0

1

⃗ = ∫ ̂ ℎ

2

4

0

• Linee di forza del campo elettrico:

o In ogni punto sono tangenti al campo

o Escono dalle cariche positive ed entrano nelle cariche negative

o Sono più dense dove il campo è più forte

o Non si incrociano mai in quanto il campo è univoco in ogni punto

• Si definisce campo uniforme quando le linee di forza sono tutte uguali e parallele tra loro

Moto di una carica immersa in un campo elettrico 2

⃗ ⃗

= ⇒ = =

2

Potenziale elettrico

Il campo elettrostatico è conservativo per cui il lavoro dipende solo dallo stato iniziale e finale

⃗

= ∫ ∙ = ∫ ∙ = −∆ = − ∆

0 0

1

() = ∑

2 4

0

≠

() =

4

0

⃗ ⃗

− = − ∫ ∙ () = − ∫ ∙ ℎ

∞

Il potenziale elettrico si misura in Volt [V] ed è uno scalare

Campo come gradiente del potenziale

−⃗

= + + = ∙ = − − − ⇒ = − , = − , = −

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗

⟹ = −∇(V) ⟹ − = − ∫ −∇() ∙ Teorema del gradiente

Il campo elettrostatico è uguale in ogni punto al gradiente del potenziale in quel punto cambiato di segno

(, , ) =

Quelle regioni di spazio dove il potenziale è costante si chiamano superfici equipotenziali

• Per un punto passa una sola superficie equipotenziale

• Le linee di forza sono perpendicolari alle superfici equipotenziali in ogni punto

Rotore e Teorema di Stokes

La circuitazione del campo elettrico su un percorso C è uguale al flusso del rotore del campo elettrico attraverso una

qualsiasi superfice Σ che ha come contorno C (anche a cupola)

⃗ ⃗ ⃗

∮ ∙ = ∫ ∇ × ̂ Σ = 0

Σ

Essendo il campo elettrico conservativo ha circuitazione nulla perciò il campo elettrostatico ha rotore sempre nullo è

⃗ ⃗

∇ × = 0

irrotazionale

Dipolo elettrico a

È un sistema fisico costituito da due cariche elettriche uguali ma di segno opposto distanti

= 2 cos

= − =

3

4

0

cos 1 sin

⃗

() = ⟹ = = − =

2 3

4 4

0 0

= 0

{

Energia potenziale elettrostatica di un dipolo ⃗

()

= − ∙

Flusso del campo elettrico (⃗ ⃗

Φ = ∫ ∙ ̂ Σ

)

Σ

Σ

Legge di Gauss

Il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa è uguale alla sommatoria delle cariche interne alla

superficie diviso la costante dielettrica del vuoto (∑ )

(⃗ ⃗

Φ = ∮ ∙ ̂ Σ =

)

Σ

0

Dimostrazione della legge di Gauss

̂ ∙ ̂ Σ Σ cos Σ

0

Φ(⃗ = = =

) 2 2 2

4 4 4

0 0 0

Σ

0 Φ(⃗

= Ω ⟹ = Ω

)

2

4

0

Ω Σ

Dove è l’angolo solido sotteso da alla carica q in O

0

Φ(⃗ Σ, Ω

)

Perciò non dipende né da né da ma solo dall’angolo solido

Φ(⃗ = ∫ Ω = Ω

) 4 4

0 0

Due possibilità:

Carica all’interno della superficie Carica all’esterno della superficie

(⃗ (⃗

Φ(⃗ dΦ = − Ω dΦ = Ω

) )

= ∫ Ω = 4 =

) 1 2

4 4

4 4 0 0

0 0 0 (⃗ (⃗ (⃗

⟹ dΦ = dΦ + dΦ = 0

) ) )

1 2

Generalizzando con il principio di sovrapposizione e l’additività degli integrali:

(∑ ) 1

(⃗ (⃗

Φ = Φ = ∫

) )

Σ Σ

0 0

La legge di Gauss può essere usata per determinare il campo elettrico, ma solo per superfici molto simmetriche:

2 • ⃗

= ̂

Piano indefinito:

⃗

= ̂

2

2

0

• ⃗ 0

= ̂ ⟹{

Sfera: 2

• ⃗

3

2 =

̂

Anello: solo sull’asse

4 ⃗

0 = ̂

3

2 2 2

3 4 ( + )

2

0 0

• ⃗

• ⃗ = (1 − )̂

Disco: solo sull’asse

= ̂

Filo indefinito:

2 2

2 √ +

2 0

0

• ⃗ = ̂

Cilindro:

0

Divergenza (⃗ ⃗ ⃗ ⃗

Φ = ∮ ∙ ̂ Σ = ∫ ∇ ∙ τ

)

Σ τ

1 1

⃗ ⃗ ⃗

⟹ ∫ ∇ ∙ = ∫ ⟹ ∇ ∙ = + + = (, , )

0 0

2 2 2

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗ ⃗ 2 ()

= −∇() ∇ ∙ ∇() = ∇ = + + =−

2 2 2

0

Conduttori

Un materiale si dice conduttore quando al suo interno è possibile il moto di alcune cariche, come gli elettroni nei

⃗ = 0

metalli. All’interno di un conduttore all’equilibrio perché le cariche si dispongono sulla superficie

Il potenziale è costante in tutto il materiale e pertanto la superficie dello stesso è equipotenziale

2 conduttori a contatto tramite un filo conduttore hanno lo stesso potenziale (la carica si sposta per arrivare

all’equilibrio)

Teorema di Coulomb

Descrive il campo elettrico all’interno di un condensatore

⃗ = ̂

0

Schermo elettrostatico

Un conduttore cavo costituisce uno schermo elettrostatico tra l’interno e l’esterno.

Comunque muovo la sfera interna il campo elettrico esterno non cambia e viceversa

Condensatori:

La capacita di un condensatore è dipendente unicamente dal materiale e dalla forma

= []

Δ

Casi particolari:

Σ ℎ

•

• •

1 2

0 = 4

Sfera:

= = 2

Piane e parallele: Cilindro:

0 0

−

ln

2 1

All’interno di un condensatore è possibile realizzare un campo elettrico uniforme (trascurando gli effetti di bordo),

Σ > h

ma nella realtà questa realizzazione è più possibile quanto più (la situazione ideale è all’infinito)

= + + . . .

1 2 −1

1 1 1

= ( + + )

1 2

Energia immagazzinata

Essendo il campo elettrostatico conservativo il lavoro dipende solamente dallo stato iniziale e finale:

2

1 1 1

2

= ∆ = ∆ =

2 2 2

Ogni volta che ho un campo ho un’energia, τ è il volume dello spazio occupato dal campo elettrico (tra le 2 armature)

1 1

2 2

= ⟹ = ∫

0 0

2 2

dove l’integranda è la densità di energia elettrostatica (u )

e

e quest’integrale vale per qualsiasi campo elettrico indipendentemente dalla natura

Dielettrici

Quando tra le armature di un condensatore viene inserito un dielettrico le sue grandezze variano linearmente,

=

sostituendo con

0 0 = − 1

Definiamo suscettività dielettrica:

Polarizzazione di dielettrici

Quando un dielettrico viene sottoposto ad un campo elettrico gli elettroni al suo interno si rivolgono tutti in una

⃗

certa direzione (opposta a ) senza però spostarsi in modo netto, infatti questo processo si chiama polarizzazione

Detta x la distanza tra il centro degli elettroni polarizzati e il nucleo definiamo il momento di dipolo elettrico

=

Esistono molecole con un momento di dipolo intrinseco (H O, NH ) che se sottoposte ad un campo elettrico esterno

2 3

di ordin