Fisica II - Riassunto completo

Fisica II

Elettrostatica

Il termine elettricità deriva dal greco Electron che significa ambra; infatti essa si elettrizzava se strofinata con lana.

In natura esistono 2 tipi di materiali:

• Isolanti (o dielettrici): si caricano per strofinio (infatti gli elettroni non possono muoversi su di essi).
• Conduttori: non si caricano per strofinio.

Due cariche concordi si respingono, due cariche discordi si attraggono.

Legge di Coulomb

La forza tra 2 cariche è direttamente proporzionale al prodotto delle cariche e inversamente proporzionale al quadrato della distanza 2 1 2 −12 = ̂ = 8.85 ∗ 10 02 24 0.

La direzione è sulla congiungente delle due cariche ed il verso è dato dal segno delle stesse.

La carica si misura in Coulomb [C], che è un’unità di misura molto grande.

Per misurare la costante elettrica Coulomb utilizzò una bilancia di torsione.

Principio di indipendenza delle azioni simultanee (o di sovrapposizione): le forze elettriche agenti su q si sommano ₀ come vettori singoli e indipendenti dagli altri ⃗.

Campo elettrico (, , )

Regione dello spazio sede di perturbazioni elettriche e la sua unità di misura è [N/C] o [V/m].

La carica di prova (q ₀) deve essere trascurabile in modo che non alteri il sistema in cui è immersa.

= 0 ⃗ = ̂ 24 0 ⃗ = ∑ ̂ ′ ℎ24 0 1 ⃗ = ∫ ̂ ℎ24 0

Linee di forza del campo elettrico

• In ogni punto sono tangenti al campo.
• Escono dalle cariche positive ed entrano nelle cariche negative.
• Sono più dense dove il campo è più forte.
• Non si incrociano mai in quanto il campo è univoco in ogni punto.

Si definisce campo uniforme quando le linee di forza sono tutte uguali e parallele tra loro.

Moto di una carica immersa in un campo elettrico

2 ⃗ ⃗ = ⇒ = =2

Potenziale elettrico

Il campo elettrostatico è conservativo per cui il lavoro dipende solo dallo stato iniziale e finale ⃗ = ∫ ∙ = ∫ ∙ = −∆ = − ∆0 0 1 () = ∑2 4 0 ≠() = 4 0 ⃗ ⃗ − = − ∫ ∙ () = − ∫ ∙ ℎ ∞

Il potenziale elettrico si misura in Volt [V] ed è uno scalare.

Campo come gradiente del potenziale

−⃗ = + + = ∙ = − − − ⇒ = − , = − , = − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⟹ = −∇(V) ⟹ − = − ∫ −∇() ∙

Teorema del gradiente: il campo elettrostatico è uguale in ogni punto al gradiente del potenziale in quel punto cambiato di segno.

(, , ) = Quelle regioni di spazio dove il potenziale è costante si chiamano superfici equipotenziali.

• Per un punto passa una sola superficie equipotenziale.
• Le linee di forza sono perpendicolari alle superfici equipotenziali in ogni punto.

Rotore e teorema di Stokes

La circuitazione del campo elettrico su un percorso C è uguale al flusso del rotore del campo elettrico attraverso una qualsiasi superfice Σ che ha come contorno C (anche a cupola) ⃗ ⃗ ⃗∮ ∙ = ∫ ∇ × ̂ Σ = 0Σ.

Essendo il campo elettrico conservativo ha circuitazione nulla, perciò il campo elettrostatico ha rotore sempre nullo, è ⃗ ⃗∇ × = 0 irrotazionale.

Dipolo elettrico

È un sistema fisico costituito da due cariche elettriche uguali ma di segno opposto distanti = 2 cos = − = 3 4 0 cos 1 sin ⃗() = ⟹ = = − =2 34 4 0 0 = 0{

Energia potenziale elettrostatica di un dipolo ⃗() = − ∙

Flusso del campo elettrico

(⃗ ⃗Φ = ∫ ∙ ̂ Σ)Σ Σ

Legge di Gauss

Il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa è uguale alla sommatoria delle cariche interne alla superficie diviso la costante dielettrica del vuoto (∑) (⃗ ⃗Φ = ∮ ∙ ̂ Σ =)Σ 0.

Dimostrazione della legge di Gauss

̂ ∙ ̂ Σ Σ cos Σ 0Φ(⃗ = = =) 2 2 24 4 4 0 0 0Σ 0 Φ(⃗= Ω ⟹ = Ω)2 40Ω Σ

Dove è l’angolo solido sotteso da alla carica q in O₀ Φ(⃗ Σ, Ω).

Perciò non dipende né da né da ma solo dall’angolo solido Φ(⃗ = ∫ Ω = Ω) 4 40 0.

Due possibilità:

Carica all’interno della superficie

(⃗ Φ(⃗ dΦ = − Ω dΦ = Ω) )= ∫ Ω = 4 =) 1 24 44 4 0 00 0 0

Carica all’esterno della superficie

(⃗ (⃗ (⃗⟹ dΦ = dΦ + dΦ = 0) ) ) 1 2

Generalizzando con il principio di sovrapposizione e l’additività degli integrali: (∑) 1 (⃗ (⃗Φ = Φ = ∫) )Σ Σ 0 0.

La legge di Gauss può essere usata per determinare il campo elettrico, ma solo per superfici molto simmetriche:

• ⃗ = ̂ Piano indefinito: ⃗ = ̂ 22 0.
• ⃗ 0= ̂ ⟹{Sfera: 2 ⃗32 = ̂ Anello: solo sull’asse4 ⃗0 = ̂ 32 2 23 4 ( + )20 0.
• ⃗ = (1 − )̂ Disco: solo sull’asse = ̂ Filo indefinito: 2 22 √ +2 00.
• ⃗ = ̂ Cilindro: 0.

Divergenza

(⃗ ⃗ ⃗ ⃗Φ = ∮ ∙ ̂ Σ = ∫ ∇ ∙ τ )Σ τ 1 1 ⃗ ⃗ ⃗⟹ ∫ ∇ ∙ = ∫ ⟹ ∇ ∙ = + + = (, , ) 0 0 2 2 2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ 2 () = −∇() ∇ ∙ ∇() = ∇ = + + =− 2 2 2 0

Conduttori

Un materiale si dice conduttore quando al suo interno è possibile il moto di alcune cariche, come gli elettroni nei ⃗ = 0 metalli. All’interno di un conduttore all’equilibrio perché le cariche si dispongono sulla superficie.

Il potenziale è costante in tutto il materiale e pertanto la superficie dello stesso è equipotenziale.

2 conduttori a contatto tramite un filo conduttore hanno lo stesso potenziale (la carica si sposta per arrivare all’equilibrio).

Teorema di Coulomb

Descrive il campo elettrico all’interno di un condensatore ⃗ = ̂ 0.

Schermo elettrostatico

Un conduttore cavo costituisce uno schermo elettrostatico tra l’interno e l’esterno.

Comunque muovo la sfera interna il campo elettrico esterno non cambia e viceversa.

Condensatori

La capacità di un condensatore è dipendente unicamente dal materiale e dalla forma = []Δ

Casi particolari: Σ ℎ

• 1 20 = 4 Sfera: = = 2.
• Piane e parallele: Cilindro: 0 0 − ln2 1.

All’interno di un condensatore è possibile realizzare un campo elettrico uniforme (trascurando gli effetti di bordo), Σ > h ma nella realtà questa realizzazione è più possibile quanto più (la situazione ideale è all’infinito) = + + . . . 1 2 −11 1 1 = ( + + ) 1 2.

Energia immagazzinata

Essendo il campo elettrostatico conservativo il lavoro dipende solamente dallo stato iniziale e finale: 21 1 1 2 = ∆ = ∆ = 2 2 2.

Ogni volta che ho un campo ho un’energia, τ è il volume dello spazio occupato dal campo elettrico (tra le 2 armature) 1 12 2 = ⟹ = ∫ 0 02 2 dove l’integranda è la densità di energia elettrostatica (u_e) e quest’integrale vale per qualsiasi campo elettrico indipendentemente dalla natura.

Dielettrici

Quando tra le armature di un condensatore viene inserito un dielettrico le sue grandezze variano linearmente, = sostituendo con 0 0 = − 1.

Polarizzazione di dielettrici

Definiamo suscettività dielettrica:

Quando un dielettrico viene sottoposto ad un campo elettrico gli elettroni al suo interno si rivolgono tutti in una ⃗ certa direzione (opposta a) senza però spostarsi in modo netto, infatti questo processo si chiama polarizzazione.

Detta x la distanza tra il centro degli elettroni polarizzati e il nucleo definiamo il momento di dipolo elettrico =

Esistono molecole con un momento di dipolo intrinseco (H₂O, NH₃) che se sottoposte ad un campo elettrico esterno di ordin