Riassunto Analisi matematica I

ANALISI I - RIASSUNTONE

PARTE 1

d) PRELIMINARI

1. LOGICA MATEMATICA

   • PROPOSIZIONI: ENUNCIATO DI CUI SI PUÒ DIRE VERO O FALSO.
   • CONNETTIVI LOGICI:
     • NEG-AZIONE -> ¬
     • CONGIUN-ZIONE -> ∧
     • DISGIUN-ZIONE -> ∨
     • IMPLI-CAZIONE -> -> (SE p ALLORA q)
     • BICO -> (p S.S. q)

   DIMOSTRAZIONI = DIRETTA p IMP. PRECEDENTI VERE INDIRETTA = CONTROASSUNZIONI -> TP => ∃q (¬p ∧ q) => p NON POSSONO ESSERE VERE, p È EINESE OSS. ASSOLUTO = CONTRODOMANDA

2. INSIEMISTICA

   • x ∈ y x ∈ X x ∈ y
   • ∅ = INSIEME VUOTO
   • INSIEMI QUELLI POTENTI P(A) = {x : x ⊆ A} = TUTTI SOTTOINSIEMI POSSIBILI DI X
   • CONFRONTI C(A) = C(B) = x : x ∈ A x ∈ B
   • OPERAZIONI = INTERR[...] ->

   x ∉ x

3. INSIEMI NUMERICI

   • N = NUMERI NATURALI (ASSIOMI DI PEANO)
     • SUCCESSIONI
       1. 0 ∈ N
       2. S : N -> N
     • OPERATORI:
       • SOMMA: n+m = f(n) m = s(m) ≠ s(m)
       • NEGATO = m = n * m
   • Z = NUMERI RELATIVI
     • -n ∈ Z
   • R = NUMERI RAZIONALI
     • ∃(p,q) -> q ≠ 0 -> q ...
     • -q ∉ Z -> p
     • -ψ ∈ Q

   [LEMMA: SIA n ∈ N, SE n² È PARI, ALLORA n È PARI]

ℝ = numeri reali

ℚ ⊆ ℝ (aggiungo non periodici e irrazionali (π))

Azioni e proprietà

• Azione di completezza: ∀A, B ⊆ ℝ1) A ∩ B ≠ Ø2) A ∪ B = A∀a ∈ A ∧ ∀b ∈ B, a ≤ b

• Proprietà archimedea: ∀a, b ∈ ℝ, a < b, ∃n ∈ ℕ: 1/n < bConclusioni: ∀a ∈ ℝ, ∃n ∈ ℕ: a < n∀a > 0, ∃n ∈ ℕ: 1/n < a

• Densità di ℚ in ℝ: ∀x, y ∈ ℝ, ∃q ∈ ℚ: x < q < y

• Valore assoluto: def |x|={ x se x ≥ 0, -x se x < 0Proprietà:
  • |x| ≥ 0 ∀x ∈ ℝ
  • |-x| = |x| ∀x ∈ ℝ
  • |x·y| = |x|·|y| ∀x,y ∈ ℝ
  • |x+y| ≤ |x| + |y|
  • |x-y| ≥ |x|-|y|

Estremi superiori/inferiori

• Estremo superiore: x = sup(A) = il più piccolo degli estremi superiori
• Estremo inferiore: x = inf(A) = il più grande degli inf [...piccolo...] inferiori

∀x, y ∈ ℝ, d(x, y) ≥ 0

d(x, y) = |x-y|

Topologia di ℝ

Def: intorno sferico di raggio ρ ≥ 0

• Punto interno se ∃Bp(x) ⊆ A

• Punto esterno se ∃Bp(x) ⊆ C(A)
• Punto di frontiera se ∀Bp(x) ∩ A ∧ ∩C(A) ≠ Ø

ℝ = ℝ ∪ {+∞, -∞}

2)

∃ lim _x→x̄ f_n = ℓ ∈ ℝ ⇔ ∃ s.sottosuccessione d_nk lim d_nk=ℓ

conclusione: lim _k→∞ d_nk ≠ lim _k→∞ d_nk+1

ipotesi: sono tutti sottosottoinsiemi d_nk ≠ d_nk

- lim a_nk ≠ lim a_nk → lim a_nk d_nk=ℓ

(prodotto tra parti fini limitata è un infinitesimo =0

- infinità ∞

3) ogni D limiata ∃ sottosuccessione cronolog.⇔

- uniti subsequenze ⇔ successione è deviata ⇔

f(n) ∈ ℝ ⇔ lim _n} f(n)

dovuta - x acc. A - ∃ dε a _nk f ∃ n successivo, ∃ A → lim - _{n subscript}