Riassunto esame Analisi matematica I, Prof. Facchinei Francisco, libro consigliato Analisi Matematica I, Bramanti, Pagani, Salsa

Analisi Matematica I

Professore: Francisco Facchini (da lunedì a giovedì)email: francisco.facchini@uniroma.it (Scrivi "studente" come oggetto)

Professore: Valerio Dose (ora venerdì)email: valerio.dose@uniroma.it

Tutor: Federico D'Onofrioorario: tutti i mercoledì dalle 12.00 alle 14.00

Eventuale Ricevimento:

• Facchini - martedì, 15.30 - 17.30, Stanza A111, Via Ariosto 25 su appuntamento
• Dose - martedì, 14.30 - 15.30, Stanza A120, Via Ariosto 25 su appuntamento

Orario corso: lun-ven 10.00-12.00Libro: Analisi Matematica I - Zanichelli

Tipi di dimostrazioni

• Dimostrazione diretta - es. Formula di Gauss

S_m = 1+2...+m = _i=1^mi = ^m(m+1)/₂

• 100 + 101 = 3 98 + 103
• + 99 + 102 ...
• Se n fosse 100

• Dimostrazione per contraddizione - es. è irrazionale

^k_2-1>1 ≤ 2k - K_2-k c ∈ N

• Dimostrazione per induzione

S_n è una proprietà dei numeri naturali; se valgono queste due condizioni...

• 0 ∈ A e A ⊂ N
• n ∈ N e allora n+1 ∈ A
• Allora A = N (A-i n_o)
• Esempio: La somma dei n primi numeri vale ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾/₂
• 1+2+...+n = ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾/₂
• Provo con n=1

1. Dimostriamo per induzione

• PASO BASE: n=1=1
• PASSO ININTIVO
• n ∈ N

• n(n+1) = ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾/₂
• Altri esempi:

PASSO BASE: ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾/₂

1. C_i = ^(n+1)(n+2)/_(2n+3)

Una successione possiede definitivamente una certa proprietà se esiste N ∈ N tale che ∀ soddisfi questa proprietà per ogni intero n ≥ N.

Successioni convergenti

Una successione si dice convergente se esiste un numero L ∈ R con questa proprietà: qualunque sia ε > 0 risulta definitivamente:

|a_n - L| < ε

-ε < a_n - L < ε

In altre parole: per ogni ε > 0 si può trovare un intero N (che naturalmente dipenderà in generale da questo ε) tale che:

|a_n - L| < ε per ogni n ³ N.

Tale numero L è unico perché se ve ne fossero due L1 e L2 associati alla medesima successione, risulterebbe definitivamente:

|L₁ - L₂| = |L₁ - a_n + a_n - L₂| = |L₁ - a_n| + |a_n - L₂| < ε

ma tale disuguaglianza, potendo noi scegliere ε come vogliamo, puo' sussistere solo se L₁ = L₂, perché potremmo scegliere una ε < |a₁ - a_n| per alfine ottenere l'affermazione precedente.

Esempio grafico:

a_n = (½)ⁿ L ≥ 0

Altro esempio: a_n = -n⁴

Limite

Il numero L si chiama limite della successione, e si scrive della successione:

lim_n→∞ a_n = L oppure a_n →L per n→∞

La disuguaglianza |a_n - L| < ε corrisponde alle seguenti due:

-ε < a_n - L < ε

ε - L < a_n < ε + L

La condizione di convergenza significa che, data una striscia orizzontale (L- ε, L+ ε) comunque stretta, ad un certo indice in poi, i punti della successione non escano più da questa striscia. Da questa osservazione risulta chiaramente che ogni successione convergente è limitata.

Brevinciso sul modulo:

|a| = a se a ≥ 0

|a| = -a se a < 0

Proprietà:

• |x| ³ 0 con x ≥ 0 ⇔ -x ≤ x ≤ x
• |x + y| ≤ |x| + |y|
• |a - b| = |a - c + c - b| ≤ |a - c| + |c - b|

Dato un numero complesso w, si dice che z è una radice n-esima di w se zⁿ=w. Se w=0 allora l’unica radice è z=0; se invece w≠0, allora esistono sempre n numeri complessi z che soddisfano l’equazione, ovvero n radici n-esime complesse.

Se z_k=p e^iϑ w=p e^iφ allora l’equazione zⁿ=w diventa pⁿ e^iϑn=p e^iφ.

Si ricava quindi che:

È possibile dimostrare che, nel piano di Gauss, le radici n-esime si trovano ai vertici di un poligono regolare di n lati, iscritto in una circonferenza centrata nell’origine di raggio .

Esempio: Determinare le radici cubiche complesse di -1. - converto in forma esponenziale -1=1 e^iπ; p=1, φ=π; ϑ_k=_π/³ + 2kπ/3 con k=0,1,2

- trovo modulo ed argomento delle radici z₀ = _1/2 e^iπ/3 =_1/2(cos(π/3 + 2kπ/3) + i sin(π/3 + 2kπ/3)); z₁ = -_1/2 + _i√3/2 z₂ = _1/2; z₃ = -_1/2 - _i√3/2.

Equazioni con i numeri complessi

x²=-1 non ha soluzioni in ℝ ha due soluzioni in ℂ, ovvero le due radici quadrate complesse di -1, cioè ± i √v x³ = 1; x = -1; x = s; x = (1+i√3) a±b = 3±i

Per risolvere az²+bz+c=0 in ℂ utilizza la tradizionale formula risolutiva z (per risolvere, al patto di intentedere la radice quadrata in senso complesso):

Z=Z²+Z=0 Z = -_{b+i√(a2-c)/a}±√4a^2-c;

2 soluzioni reali distinte se Δ >0 2 soluzioni reali coincidenti se Δ=0 1 soluzione complessa coniugata se Δ