Riassunto Analisi matematica I

Riassunto Analisi I

• INSIEMI
• Limite superiore se ∃ m ˜ ℜ, t.c. m ≥ a   ∀ a ∈ A
• m ˜ maggiorante   di   A   se   m ≥ a   ∀ a ∈ A
• m ˜ è   il   massimo   di   A   se   ∀ a ∈ A   e   m ∈ A
• m è l'estremo superiore   di   A   se   m ˜ è il minimo dei maggioranti della parte (supA)

• Numeri complessi
• Prodotto   di   due   numeri   complessi   in forma   trigonometrica
• (e[cosθ₁ + i sin θ₁]) [(e_p [cos θ₁ + i sin θ₂])
• Forme   esponenziale   z = ρ e^{i ¹}
• Prodotto: zz' = pp' e^{i(¹ + ¹')}
• Radici   m-esime   di   un   numero   complesso  
• L'equazione   X^m = ρe^i¹ ha   m   radici   distinte   che   costituiscono
• gli   m   vertici di   un   poligono regolare   di   m lati   inscritto nella c ²onferenza
• di   centro   O   e   raggio   r = √½
• X_k
• &radic² (cos θ_¹ + 2kπⁿ   _m + i sin θ ¹ + 2kπ^m &sub>m
• con   k   da   0   o   0 — m - 1
• Sia   z &=alpha; ρ e
• e^z
• e^{i ˜ i ¹}
• e^z e^z
• e^{i ˜ i sin ¹}
• e^z

Teorema: sia f(x) = α₀ xⁿ + ... + α_t x^¹ di grado 2 ¹ allora:

f(un$verdsion)

f(x) = (X - Z₁) ... (X - Z_n)^mⁿ

dove z₁, z₂,... , z_n E &C; sono   soluzio i   &agrade; à à

e m^-1-1=m

Proposizione: siano f(x) ∈ &R;[x]] c ze &C; una   radice di   un   numero   complesso

allora c &cadilla; è   una   radice   di f(x) ∪ nojugal ¹ aleaptictal

Teorema   di   scomposizione   del   polinomi   redorii

Sia f(x) = α₀ xⁿ + ... + α xⁿ allora &exists; ¹

f(x) = (X - X_j)^∪ε

f(x) = α(X - X_a)^² m^s + ζ)

dove   ρ a₀,... , a_s sono   le   radici reali ¹ sono   irreducibili ∈

Riassunto Analisi I

• INSIEMI
• Limite superiore se ∃ m ∈ R, t.c. m ≥ x ∀x ∈ A
• m è maggiorante di A se m ≥ x ∀ x ∈ A
• m è il massimo di A se m ≥ x ∀x ∈ A e m ∈ A (max A)
• m è l'estremo superiore di A se m è il minimo dei maggioranti di A (sup A)
• Numeri complessi
• Prodotto di due numeri complessi in forma trigo: [_{p1(cos θ1 + i sin θ1)][p2(cos θ2 + i sin θ2)]}
• Forma esponenziale z = ρ e^{i θ}
• Prodotto: zz' = pp' e^{i(θ + θ')}
• Radici m-esime di un numero complesso: l'equazione X^m = z₀ ha m radici distinte che costituiscono gli m vertici di un poligono regolare di m lati inscritto nella circonferenza di centro O e raggio r = ^m√|z|

X_k = ^m√_|z|(cos ^{θ + 2kπ}/_m + i sin ^{θ + 2kπ}/_m) con k = 0 ÷ m-1

Sia z = a + ib, e^{i z} = e^{i (α + iβ)} = e^-β = (cos b + i sin b)

Teorema: sia f(x) = a_n xⁿ + ... + a₀ x⁰ di grado n ≥ 1 allora: f(x) = q_m (X - z₁) ... (X - z_k)^{m, n}

dove z₁,...,z_k ∈ C sono soluzioni a due a due distinte di f(x)

e m₁, m₂,...,m_k ∈ m

Proposizione: siano f(x) ∈ R[x] c z ∈ C una radice di f(x)

allora anche z̅ è una radice di f(x) coniugate √multplicita

Teorema di scomposizione dei polinomi reali

Sia f(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₀x allora si ha che:

f(x) = q_n(x-x₁)^m₁...(x-x_k)^m_k(x² + b₁x + c₁) ...(x² + b_rx + c_r)

dove x₁, ..., x