Riassunto Analisi matematica I

Riassunto Analisi II

• INSIEMI
• Limitato superiormente se ∃ M ∈ ℝ, t.c. m ≤ x ∀ x ∈ A
• m è maggiorante di A se m ≥ x ∀ x ∈ A
• m è il massimo di A se m ≥ x ∀ x ∈ A e m ∈ A (max A)
• m è l'estremo superiore di A se m è il minimo dei maggioranti di A (sup A)

• Numeri complessi
• Prodotto di due numeri complessi in forma trigo.

(ρ₁[cosθ₁ + i sinθ₁])(ρ₂[cosθ₂ + i sinθ₂])

• Forme esponenziale z = ρ e^{i θ}
• Prodotto : zz' = ρρ' e^i(θ+θ')
• Radici n-esime di un numero complesso

equazione Xⁿ = z = 0 ha n radici distinte che costituiscono

gli n vertici di un poligono regolare di n lati inscritto nella circonferenza

di centro O e raggio r = ^√2

X _k = ^√_n[cos ^θ+2πk/_m + i sin ^θ+2πk/_m] con k da 0 a n-1

Sia z = a+ib , effettuate le seguenti operazioni :

e² = e^c+id e*e' = e*'e^{i π} = (cos b + i sin b)

Teorema: sia f(x) = a₀+a₁x+...+aₙxⁿ di grado m ≥1 allora:

f(x) = (X-z₁)^m₁... (X-zₖ)^mₖ

dove z₁,...zₖ ∈ C sono le soluzioni a due a due distinte di f(x) e m₁+m₂+...+mₖ = m

Proposizione: siano f(x) ∈ ℝ[x] e z ∈ C una radice di f(x),

allora anche z è una radice di f(x) coniugate-moltiplicate

teorema di scomposizione dei polinomi reali

Sia f(x) = a₀+a₁x+...+aₙxⁿ allora si ha che:

f(x) = q₁ (x-x₁) ⁿ¹... (x-xₚ)^nₚ(x+b₁ x+c₁)(x+b₂ x+c₂)...(x+bₖ x+cₖ)

dove x₁,...,xₚ ∈ ℝ sono le radici reali: termini sono irriducibili in R

Funzioni

Sia immagine di f l'insieme di punti y ∈ B per cui esiste x ∈ A tale che f(x) = y

f(A): im f := {y ∈ B : ∃ x ∈A, f(x) = y }

• Date due funzioni: f: A → B e g: C → D
• si definisce la composizione di f con g x → f(x) → g(f(x))
• g • f ha dom(g • f) = {x ∈ dom f : f(x) ∈ dom g}

• Data la funzione iniettiva f : A → B si dice funzione inversa di f la funzione f^-1: im f → A
• f(x) = f(-x) pari ⇔ simmetrico rispetto all'asse y
• f(-x) = -(x) dispari ⇔ simmetrico rispetto alle rette di 1^o e 3^o
• se f è pari (disp) → f • g pari (disp)
• se g è pari (disp) → g • f pari
• se f e pari (disp) e f • g (pari) → g pari (disp)
• se f è strettamente monotona su I, allora f^-1 strettamente monotona

Monotonia

• ↑ ↑ ↑ ? ↓
• ↓ ↓ ↓ ? ↑

g • f è periodica ⇔ f è periodica es sin(log(x)) no/log(sin(x)) sì

Principio di eliminazione dei termini trascurabili PETT

Se f₁ = f + o(f) e g₁ = g + o(g) per x → x₀

⇒ Allora lim_{x → x0} f(x)/g(x) = lim_{x → x0} f₁(x)/g₁(x)

Confronto fra infiniti:

• f ha un ordine di infinito inferiore a g per x → x₀
  • se f = o(g), in tal caso diciamo che g ha un ordine di infinito superiore a f per x → x₀.

Confronto fra infinitesimi:

• f ha un ordine di infinitesimo superiore a g per x → x₀
  • se f = o(g), in tal caso g ha un ordine di infimo inferiore a f

Infinitesimi campioni

x ∈ ℝ

• ∞ U(x) = 1/|x - x₀|
• ∞ U(x) = 1/x

f è un infinito (inf.) di ordine A>0 rispetto all'infinito (infimo) campione u per x → x₀, se:

lim_{x → x0} f(x)/[U(x)]^A = L ∈ ℝ - {0}

ovvero se f(x) = L[U(x)]^A + o([u(x)]^A) per x → x₀

L[U(x)]^A è la parte principale

Asintoti:

• se lim_{x → x0} f(x) = ±∞ → la retta x = x₀ è un asintoto verticale
• se lim_{x → ∞} f(x) = L → la retta y = L è un asintoto orizzontale
• la retta y = mx + q è un asintoto obliquo destro per x → ∞ se
  • f(x) = mx + q + o(1) per x → ∞
  • Oppure lim_{x → ∞} (f(x) - mx) = q

Teorema:

Supponiamo che f sia derivabile in I

1. Se f'(x) > 0 x < x

punto di max locale

• Se f'(x) < 0 x < x f'(x) > 0 x < x

punto di min locale

Teorema di De l'Hôpital:

f, g definite su A, x₀ pt. di acc. di A B(x) con x₀ ⊂ A

• f e g derivabili in B(x)
• g(x) ≠ 0 x B(x)
• g'(x) ≠ 0 x B(x) | x
• f(x) = l g(x) f(x)→ x₀

l

lim x₀ l

Teorema tappa buchi:

1. f continua in B(x)
2. f derivabile in B(x) | x
3. lim f'(x) = lim f_l(x)

f derivabile in x

Formula di Taylor con il resto di Peano:

f(x) = f(x) + f'(x)(x-x) + 1 / 2 f'(x)(x-x)

Resto di Lagrange

f derivabile volte m, x₀

f(x) = f(x) + f'(x)(x - x) x

Equazioni Differenziali

• Equazioni del I ordine
  • a variabili separabili:
    • ^y'/_g(y)=f(t) ∫_g(y)dy=∫f(t)dt
  • lineari:
    • y'+a(t)y=b(t) [exp∫a(t)dt][∫b(t)dt]
• Teorema di Peano (esistenza locale delle soluzioni):
  • Se f è continua su I che contiene t₀
  • Se g è continua su J che contiene y₀
  • =>^∃I₀⊂I ed ∃^Φ:I₀→ℝ
• Teorema di esistenza e unicità locale (Picard-Lindelöf):
  • Se f è continue su I contenente t₀
  • Se ^∂f/_∂y su J contiente y₀
  • =>^∃!I₀⊂I ∃^!Φ:I₀→ℝ sol. locale del P.C.
• Proposizioni:
  • Due soluzioni non si possono interessare
  • le soluzioni sono definite su intervalli
  • Ψ(t)=k ^∀t∈I è sol dell eq. diff f(y)=0 (punto stazionario)
• Equazioni lineari del II ordine y'' + a(t)y' + b(t)y = f(t)
  • Caso di coefficienti costanti: y'' + ay' + by = f(t)
    • Eq. omogenee: y'' + 2y' + by = 0 => associo eq. caratt. z² + az + b = 0
      • (i) Δ > 0 ha 2 sol. z₁, z₂∈ℝ
        • Φ(t): C₁e^z₁t + C₂e^z₂t
      • (ii) Δ = 0 ha sol con molteplicità 2 z∈ℝ
        • Φ(t): C₁e^zt + C₂te^zt
      • (iii) Δ < 0 ha 2 sol z₁, z₂ = α ± iβ ∈ ℂ
        • Φ(t): C₁e^αtcosβt + C₂e^αtsinβt