Analisi Matematica I riassunto

Logaritmi ed equazioni

log_ea = ln a = log_e a

Immagine e controimmagine

L'immagine di f è il sottoinsieme del codominio B contenente tutti e soli i trasformati degli elementi di A tramite f. Lo si denota f(A) ∈ a.

La controimmagine di b tramite f è il sottoinsieme del dominio A contenente tutti gli elementi la cui immagine è b. Lo si denota f^-1(b) ∈ a.

Funzioni pari e dispari

Funzione pari: simmetria rispetto a y, f(x) = f(-x).

Funzione dispari: simmetria rispetto all'origine, f(-x) = -f(x).

Periodicità

• f(x) = sen 2x
• f(x) = cos 2x
• T = 6
• f(x) = sen(mx)

Numeri complessi

i² = -1

Forma algebrica

z = a + ib  a, b ∈ R

Coniugato: ̅z = a - ib  a = Re(z)

Forma trigonometrica

z = |z| = cos θ = sin θ = lntg θ

Coefficiente binomiale

a, b ∈ N; a ≥ b ≤ a

Opposti e reciproci

Due numeri complessi sono uguali se hanno uguali parti immaginarie e reali oppure hanno opposti e reciproci.

Logaritmi complessi

log₂e = ln₂ = logₑe

Immagine e controimmagine avanzate

L'immagine di f è il sottoinsieme del codominio B contenente tutti e soli i trasformati degli elementi di A tramite f. Si denota f(A) ∈ A ⊆ Y.

La controimmagine di B tramite f è il sottoinsieme del dominio A contenente tutti gli elementi la cui immagine è B. Si denota f⁻¹(B) ⊆ X.

Funzioni e periodicità

• Funzione pari simmetrica rispetto a y. f(x) = f(-x)
• Funzione dispari simmetrica all'origine. f(-x) = -f(x)
• Periodicità: f(x) = sen 2x, f(x) = cos 2x/3
• T = ^π/₁, T = 6π, f(x) = sen(mx)

T = 2π/m, 0 soluzioni = numerosità(#(soluzioni)) = 0

Limiti e coefficienti binomiali

lim x→x₀ |lim x→x₀ e^{log x • log k}

lim x→x₀ log x = 0 (^a/_b) = ^a!/_b!(a-b)!

Coefficiente binomiale

a, b ∈ N; 0 ≤ b ≤ a

0! = 1! = 1

Numeri complessi

i² = -1

Forma algebrica

z = α + iβ, a, b ∈ R

z = a - iβ, a = Re(z), b = Im(z)

Forma trigonometrica

z = ρ[cos θ + i sin θ], ρ = |z| = √(α² + β²)

cos θ = ^α/_ρ, sin θ = ^β/_ρ, tg θ = ^β/_α

Opposti e reciproci

opposto: z = -α - iβ = -z

Reciproco: z⁻¹ = z/|z|²

Prodotto

z₁ · z₂ = ρ₁ ρ₂ [cos (θ₁ + θ₂) + i sen (θ₁ + θ₂)]

Divisione o rapporto

z₁ / z₂ = ρ₁ / ρ₂ [cos (θ₁ - θ₂) + i sen (θ₁ - θ₂)]

Potenze

z^m = ρ^m [cos (m Θ) + i sen (m Θ)]

Radici m-esime

Radici m-esime di z ∈ ℂ: ν_ω = ν√ρ [cos (Θ/m + 2kπ/m) + i sen (Θ/m + 2kπ/m)] con k = 0 fino a k = m - 1

Forma esponenziale

z = ρ e^{i Θ}, z = ρ [cos Θ + i sen Θ]

Formula di Eulero

e^ix = cosx + i senx, cos x = (e^ix + e^-ix) / 2

sen x = (e^ix - e^-ix) / 2 i

Prodotto esponenziale

z₁ · z₂ = ρ₁ e^{i θ₁} ρ₂ e^{i θ₂} = ρ₁ · ρ₂ e^{i (θ₁ + θ₂)}

z^m = ρ^m e^{i m θ}

Funzioni e immagine

L'immagine di f è il sottoinsieme del codominio B contenente tutti e soli i trasformati degli elementi di A tramite f. Lo si denota f(A) e è la Y.

La controimmagine di B tramite f è il sottoinsieme del dominio A contenente tutti gli elementi la cui immagine è B. Lo si denota f^-1(B) e è X.

Funzione pari simmetrica rispetto a Y, "dispari" all'origine.

Funzioni iperboliche

• senh x = (e^x - e^-x) / 2
• cosh x = (e^x + e^-x) / 2
• tgh x = senh x / cosh x = (e^x - e^-x) / (e^x + e^-x)
• (cosh x)² - (senh x)² = 1