Analisi Matematica I riassunto

log a = ln a = log_e a

Utility

L'immagine di X è il sottoinsieme del codominio B contenente tutti e soli i trasformati degli elementi di A tramite f. Lo si denota f(A) è Y.

La controimmagine di B tramite f è il sottoinsieme del dominio A contenente tutti gli elementi la cui immagine è B. Lo si denota f^-1(B) è X.

Funzione pari simmetrica rispetto a y: f(-x) = f(x) " dispari " " " " all'origine. f(-x) = -f(x)

Periodicità

f(x) = sen mx

T = ^T'⁄_m

f(x) = cos ^x⁄₃

T' = 6^π

T = ^2π⁄_m periodo della funzione diviso quello "davanti" alla x

0 soluzioni ≡ (# soluz) = 0

lim_x→x0 ^{log |x|}⁄_x-x0 lim_x→x0 e^{log |x|} log |x| = lim_x→x0 e^{log |x-x₀|} e^{è asintotent} = e^xent

lim_x→+∞ ^{log x}⁄_x = 0

(^a⁄_b) = ^a!⁄_b!(a-b)! coefficiente binomiale a,b ∈ ℕ ; a ≤ b ≤ a

0 ⊕ 0 = 0 f(0 ⊕ f(0)) = 0 f 0! = 1! = 1

Numeri Complessi

i² = -1

Forma Algebrica z = a + ib a, b ∈ ℝ coniugato - z = a - ib

a = Re(z) b - Im(z)

Forma trigonometric

z = ρ[cos Θ + i sen Θ]

ρ = |z| = √(a² + b²)

cos Θ = ^a⁄_ρ sen Θ = ^b⁄_ρ

tg &Thetas; = ^b⁄_a

Dato due numeri complessi in forma trigonometricam calcolare

Re(z₁, z₂) Im(z₂, z₂) devo ransforare la forma algebrica

e poi moltiplicare tutto solo dopo operando, inventando la parte reale del prodotto e immaginaria del quoziente.

z₁ = 3 - 3U J z₂ = 2J + O ^!z₂z₂tz, i z₂Re(z)_x1x1

Opposto (z = a + ib)

- z = -a - ib = -z

Reciproco

z^-1 = ^z ⁄_|z|²

Due numeri complessi sono uguali se hanno uguali parti immaginaria e reale, oppure hanno uguali p e Θ

Prodotto

z₁ · z₂ = ρ₁ ρ₂ [cos(θ₁ + θ₂) + i sen(θ₁ + θ₂)]

Divisione o Rapporto

z₁ / z₂ = ρ₁ / ρ₂ [cos(θ₁ - θ₂) + i sen(θ₁ - θ₂)]

Potenze

z^m = ρ^m [cos(m θ) + i sen(m θ)]

Radici m-esime di z ∈ ℚ

√^m z = √^m ρ [cos(θ + 2kπ / m) + i sen(θ + 2kπ / m)]

con k = 0 fino a k = m-1

Forma Esponenziale

z = ρ · e^{i θ}

z = ρ [cos θ + i sen θ]

Formula di Eulero

cos x = (e^ix + e^-ix) / 2

e^ix = cos x + i sen x

sen x = (e^ix - e^-ix) / 2i

Prodotto Esponenziale

z₁ z₂ = ρ₁ e^{i θ₁} ρ₂ e^{i θ₂} = ρ₁ ρ₂ e^{i (θ₁ + θ₂)}

z^m = ρ^m e^{i m θ}

Funzioni

Funzione pari simmetrica rispetto a y

Dispari all'origine.

Periodicità

• f(x) = sen 2xT: π
• f(x) = cos x³T: 6 π
• f(x) = sen(m x)

Funzioni Iperboliche

• senh x = (e^x - e^-x) / 2
• cosh x = (e^x + e^-x) / 2
• tgh x = senh x / cosh x = (e^x - e^-x) / (e^x + e^-x)

(cosh x)² - (senh x)² = 1

Limiti notevoli

lim_x→0 ^{sen x}/_x = 1 lim_x→0 ^{tg x}/_x = 1 lim_x→0 ^{1−cos x}/_x² = 1/2 lim_x→0 (1+x)^1/x = e lim_x→+∞ ^xk/_a^x = 0 , k>0 , a>1 lim_x→+∞ ^ax/_x^k = +∞ lim_x→+∞ (log_a x)^p = 0 , p,a,k>0 , a≠1 lim_x→+∞ ^xk/_logax = +∞ lim_x→∞ x^k = 0 , k>0 , 0