Riassunto Analisi Matematica II - Calcolo Numerico

Analisi matematica

Serie numeriche

Serie numeriche = + + ⋯+ ∈ℝ= + + ⋯+ + +⋯ ∈ℝ= = + + ⋯+ è ∈ℝ+∞ è= = lim = lim = −∞ è→ →

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1∶ =1( + 1)∶ =1( + 1)!1 1∶ = +∞ ℎ lim =0→+∞ =11 1∶ = >1−1+∞ <01(−1)∶ 1 | |<11−“ ”∶ = +∞ ≥1≤ −1. . < −1

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Condizione necessaria

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Condizione necessaria lim =0→

La CONDIZIONE NECESSARIA può risultare utile nel momento in cui si ha una serie non convergente infatti lim ≠0 →→

Moltiplicazione

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∈ℝ → = ∑

Se la moltiplicazione per della serie non ne altera il comportamento e se :≠ 0= ∈ℝ → =

Somma

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+ = ( + )= ∈ℝ ( + ) = += ∈ℝ

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Comportamento definitivo di una serie

Se alteriamo o cancelliamo un numero finito di termini di una serie il comportamento della serie non cambia. Ovviamente se la serie è convergente cambia la sua somma.

Proprietà associativa :

Se ∑ converge, converge anche la serie che si ottiene associando i termini della serie stessa.

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Serie numeriche a termini positivi (S.T.P.)

≥0 ∀ ∈ℕ

Se una serie ha un numero definito di termini negativi li possiamo cancellare e trattare la serie come se fosse positiva infatti il nostro agire non ne altera il comportamento e la serie ottenuta si dice definitivamente positiva ∑ (−1) ∑

Se si studia il comportamento di ≤ 0 ∀ ∈ ℕ =∑ così da non alterarne il comportamento (−1) (− ) ≥ 0

 Una serie a termini positivi NON può essere OSCILLANTE perché le sue ridotte sono una ∈ℝ successione monotona crescente e quindi lim = +∞→

Criterio del confronto

∑ ∑

Siano due S.T.P. e si abbia Quindi vale: 0 ≤ ≤≤∑ ∑

• Se la serie converge anche converge ∑ ∑
• Se la serie diverge anche diverge

Criterio del confronto asintotico

∑ ∑

Siano ≥0 > 0 lim =→→ →=0 = +∞→ →

Criterio del confronto con integrale improprio

∑

Sia una S.T.P. esiste una funzione positiva e decrescente ( ≥ 0) ≤ → ≥( ) ( )( ) ( ) tale che allora :=( ) ( )

Esempio = → =( )

Criterio del rapporto

∑

Sia una S.T.P. allora vale il principio : <1>1 lim =→ =1 .

Criterio della radice

∑

Sia una S.T.P. allora vale il principio : <1>1 lim =→ =1 .

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Serie di segno qualunque

Serie di segno qualunque (Infiniti termini negativi ed infiniti termini negativi)

 La CONDIZIONE NECESSARIA continua a valere quindi se la serie non può convergere lim ≠ 0→ quindi Diverge o Oscilla .

 ∑ | | ∑

Vale la convergenza assoluta quindi se ma → non vale l'implicazione in senso opposto.

Serie a segni alterni (S.S.A.)

∶ (−1) >0

Criterio di Leibniz

∑ (−1)

Sia una S.S.A. se valgono le due condizioni :→

• Cioè termini infinitesimi 0
• Cioè i termini della serie siano in val. assoluto DECRESCENTI (Condizione importante) ≤

Allora la serie converge ed inoltre abbiamo una stima dell’ errore che vale : | |≤| |=− −

Teorema di Dirichelet

∑ una serie di segno qualunque se essa è assolutamente convergente ossia converge la sommatoria ∑ | | allora comunque si prendano i suoi termini la serie resta assolutamente convergente.

Teorema di Riemann-Dini

∑ ∑ | | convergente ma non assolutamente convergente quindi diverge allora si possono prendere i suoi termini in modo che converga ad un numero a piacere o oscilli.

ATTENTO : Permutare termini di una serie assolutamente convergente ne può cambiare il comportamento.

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Serie di funzioni

Convergenza puntuale : ∑ ( ̅)

Una serie converge puntualmente se fissando la serie converge ̅

Criterio di Weierstrass

Sia una successione di funzioni definite in e sia una successione di numeri reali tali che : | ( )|∀ ≥ , ≤ ∀ ∈∑ ∑ ( )

Supponiamo che la serie numerica converga, allora anche la serie converge uniformemente su

Serie di potenze

Si definisce serie di po