Riassunto Analisi Matematica II - Calcolo Numerico

Integrale doppio =

( )

, = ( )

,

Tutti gli integrali doppi possono essere scomposti in due integrali in una variabile. Tale scomposizione è

possibile se D e orizzontalmente o verticalmente convesso

Insieme verticalmente convesso : D è verticalmente convesso o semplice rispetto a se

( )∈ℝ ( )≤ ( )

= , ∶ ≤ ≤ , ≤ , : , →ℝ

Se e semplice rispetto a ( )

= ( )

,

( )

Insieme orizzontalmente convesso : D è orizzontalmente convesso o semplice rispetto a se

( )∈ℝ ( )≤ ( )

= , ∶ ≤ ≤ , ℎ ≤ℎ ℎ ,ℎ : , →ℝ

Se è semplice rispetto a ( )

= ( )

,

( )

( ), ( ), ( ), ( )

I valori di bisogna ricavarli dai vincoli imposti dal problema

, , , , ℎ ℎ

Teorema della media : se è misurabile

Ω ( ) ( )

= inf , = sup ,

( )

, ℝ ( )

, ℝ

1

≤ ≤

|Ω|

Additività del dominio : se se e integrabile su

Ω = Ω ∪ Ω Ω ∩ Ω = ∅ Ω

= +

41

Sostituzione coordinate

Φ∶ Ω →Ω Ω Ω ℝ Ω :

, ( )

= ,

Θ: ( )

= ,

Quindi |det (Θ)|

=

( )

, ( ), ( )

, ,

Cambio di coordinate POLARI ( ) )

= , = cos( ∈ℝ

Θ: ( ) )

= , = sin( ∈ 0,2

|det (Θ)| =

Cambio di coordinate ELLITTICHE ( )= )

= , cos( ∈ℝ

Θ: ( )= )

= , sin( ∈ 0,2

|det (Θ)| =

Massa , Baricentro e momento di inerzia

Massa del corpo totale : Dove è la sua densità superficiale di massa

= ( ) ( )

, ,

Baricentro o centro di massa : di Ω è il punto = ,

1 1

= =

( ) ( )

, ,

Momento d inerzia rispetto agli Assi :

= =

( ) ( )

, ,

Momento di inerzia rispetto all’ origine : ( )

= + = + ( )

,

Steso vale in ℝ 42

Integrale Triplo

Dominio semplice rispetto all’ asse z : un insieme si dice semplice rispetto all’ asse se e

Ω ⊆ ℝ

della forma ( ) ∶( )∈ ( )≤ ( )

Ω= , , ∈ ℝ , , , ≤ ,

Con D una regione misurabile e chiusa di e

ℝ , : → ℝ

( )

,

=

( ) ( )

, , , ,

( )

,

Integrazione per strati : si definisce strato l’ intersezione tra un piano posto ad altezza e il

=

solido. ( )∈ℝ ∶( )∈Ω

= , , ,

( )∈ℝ ,( ) ( ) ,( )

Ω= , , ∶ ∈ , , ∈ = , , ∈ ℝ ∶ ∈ min , max , ∈

=

( ) ( )

, , , ,

Il calcolo di un integrale triplo consente il calcolo di un IPER-VOLUME

Sostituzione coordinate

Ψ∶ Ω →Ω Ω Ω ℝ Ω :

, ( )

= , ,

( )

Ψ: = , ,

= ( , , )

Quindi |det (Ψ)|

=

( ) ( ( ), ( ),

, , , , , ( , , ))

Cambio di coordinate SFERICHE ) )

= sin( cos( ∈ℝ

) )

) = sin( sin(

Ψ( , , = ∈ 0,

)

= cos( ∈ 0,

|det (Ψ)| )

= sin(

Cambio di coordinate CILINDRICHE ∈ℝ

)

= cos(

)

Ψ( , , = ∈ 0,

)

= sin( ∈ −∞, +∞

=

|det (Ψ)| =

Teorema di Guldino : il volume di un solido di rotazione è uguale al prodotto dell’ area della sezione

meridiana per la lunghezza della circonferenza descritta dal baricentro della sezione attorno all’ asse di

rotazione (Ω) ( )

= 2

43

CALCOLO NUMERICO : ARITMETICA

Floating-point Normalizzato : quando

≤| |≤1

= ∗ .

Numeri di macchina : si definisce numero di macchina un numero reale che puo essere rappresentato

esattamente all’ interno della memoria del calcolatore.

| |

Se ha più di t cifre allora il numero non è rappresentabile, il calcolatore per rappresentare tale numero

ricorre a due metodi di arrotondamento :

1. Tecnica di troncamento, si escludono tutte le cifre dopo la t-esima cifra

2. Tecnica di arrotondamento, si aggiunge al numero la quantità e in seguito si

effettua il troncamento

Errore assoluto : | |

= −

Errore relativo : | |

= | |

Errore di arrotondamento : Si definisce errore di arrotondamento l’ errore che si commette quando

si approssima con < 1

| |=| |=

− ≤ 2

Precisione di macchina : 1

= 2

Operazioni di macchina : (1 )

⊕ = + = + + ⨁

⊝ = − = − 1+ ⊝

(1 )

⊗ = ∗ = ∗ + ⨂

⊘ = / = / 1+ ⊘

Cancellazione numerica : Essa consiste in una perdita di cifre della mantissa che si verifica quando si

esegue ad esempio una sottrazione fra due numeri.

Problema numerico : si definisce problema numerico la descrizione chiara e non ambigua della

connessione funzionale presente tra input e output di un’ operazione.

→ , ∈ℝ ,

44

Problema ben condizionato : ‖ ‖ ‖ ̅‖

un problema si dice ben condizionato se per realizzare

≈

‖ ‖ ‖ ‖

un algoritmo occorre verificare inanzitutto il buon condizionamento del problema ;si ottera una relazione

del tipo: ‖ ̅‖

− −

( ) ( ̅) ( )

≈ , ‖ ‖

( )

Numero di condizionamento : ( )

il termine è detto numero di condizionamento si possono

,

avere i seguenti casi possibili :

 ≈ 1, è

 ≫ 1, è

Algoritmo : Si definisce algoritmo una sequenza finita di operazioni,aritmetiche e non,che consentono di

ottenere l’ output del problema a partire dall’ output.

=

∗ ( )

Algoritmo numericamente stabile | |

∗

se ≈

| |

SISTEMA LINEARE

Norma di vettore ‖ ‖ ∑

Norma due : = =√

‖ ‖ | |

Norma infinito : = max

‖ ‖ =∑ | |

Norma uno :

Norma di Matrici ‖ ‖ ( )= | |

Norma Spettrale : = max

‖ ‖ ∑

Norma infinito : = max

‖ ‖ ∑ ‖ ‖

Norma uno : = max =

Matrici di uso comune

Matrice diagonale : =0 ≠

| |>1

Matrice tri-diagonale : =0 − ,| |>∑

Matrice dominante per righe : ∀ ∈ 1, ∈ >∑

Matrice dominante per colonne : ∀ ∈ 1, ∈ ,

Condizionamento matrice : ( ) ‖ ‖ ‖ ‖ se questo numero e piccolo la matrice si dice ben

= ∗

condizionato altrimenti è mal condizionato 45

Alcuni esempi di matrici mal condizionate:

Matrice di Hilbert 1 1

1 ⋯

2

1 1 1

⋯ ( )

= ≈ 10

2 4 +1

⋮

⋮ ⋱ ⋮

1

1 1

⋯

+1 2 −1

Matrice di vandermonde ⋯ 1

= ⋮ ⋱ ⋮

⋯ 1

Metodi diretti =

Tecnica di sostituzione all’ indietro : ∑ ∗

= ∈ 1, − 1 ∈ ℕ

=

Tecnica di sostituzione in avanti : ∑ ∗

= ∈ 2, ∈ℕ

Metodo delle eliminazioni di Gauss(si risolve in N-1 passi)

46

Fattorizzazione di GAUSS : ∗ = ∗

Fattorizzazione di CHOLESKI : = ∗ = ∗

Metodi iterativi :

Metodo di Jacobi : −∑ −∑

∗ ∗

( ) ( )

= ∈ℕ

( )

Metodo di Gauss-Seidel :

−∑ −∑

∗ ∗

( ) ( )

= ∈ℕ

( ) 47

Metodi iterativi generalizzati : = −

( )

0 0

0 ⋱ 0

Nel caso del metodo Jacobi = 0 0

0 0

⋮ ⋱ 0

Nel caso del metodo Gauss-Seidel = ⋯

Convergenza:

è ℎ −

è

è −

Approssimazioni

Approssimazione di funzioni : approssimare una funzione f significa sostituire con una funzione

che sia,in qualche senso ,”vicina”ad e che abbia una forma più semplice

Approssimazione di dati : ( )

approssimare un insieme di dati significa determinare che abbia

,

un andamento analogo a quello della funzione che ha generato i dati.

Polinomi algebrici di grado n ( )=

= ∗

Polinomi trigonometrici 2

( )= ) )

= + cos( ∗ + sin( ∗ ℎ =

Polinomi esponenziali ( )=

= ∗

Funzioni spline : di ordine n ovvero funzioni polinomiali a trattidotate di derivate continue fino al

ordine n-1

Rappresentazione di Lagrange : ( )…… )

……(

( )

Polinomio fondamentale di Lagrange : = …… ……

( )=∑ ( )∗

Polinomio interpolante : 48

Rappresentazione di Newton :

Differenze divise : Differenza divisa di ordine 1

, = ( ) ( )

, , Differenza divisa di ordine 2

, , = , , Differenza divisa di ordine 2

, ,……, =

( )= ( ) ( )( )… ( )

+ , − + ⋯+ , ,…, − − −

( )

Algoritmo di Horner : è possibile calcolare in modo più efficiente il calcolo delle differenze finite

riorganizzando i vari termini.

= ∗( )+ =

= − ⇒

∗( )+ ∗( )+

= − = − ∈ 1, − 1 ∩ ℕ

∗( )+

= −

Spline

Funzioni polinomiali a tratti di grado d che godono di una certa regolarità nei punti di raccordo. Inoltre ,le

spline convergono sempre all’ aumentare dei nodi.

( ) ( )

Dati n+1 punti si definisce SPLINE CUBICA la funzione :

, ( )=

1. + + +

( )= ( )

2. = 0,1,2 à

( ) ( )

( )=

3.

Per definire univocamente una spline cubica interpolante abbiamo bisogno di una 4a condizione :

 ( ) ( )=0 CUBICA NATURALE interessa il primo ed ultimo nodo

= 0 ,

( ) ( )

 ( )= ( ); ( )= ( ) NOT-A-KNOT interessa il secondo e penultimo

( ) ( ) ( ) ( )

 ( )= ( ), ( )= ( )

( ) ( )

(ℎ ) è , ℎ ∈ >4

49

Equazioni non lineari

Ordine di convergenza e il numero tale che :

≥ 1

| |

−

lim = ≠ 0, +∞

| |

−

→

=1→ <1

1< <2

=2

=3

Bisezione questo metodo è lento però ci da un buon input per metodi migliori

= 1 ( ) ( ) ( )

= + −

Secanti ( )

=0 −

( )

≡ = − , = 1,2, … …

( )− ( )

Ordine di convergenza : = 1.618 ( )+ ( )( )

= −

Tangenti / Newton =0 ( )

≡ = − , = 1,2, … …

( )

Ordine di convergenza : ( ( ) ( )

=2 è = 0 , ≠ 0)

( ( ) ( )

=1 è = 0 , = 0)

Metodo punto fisso ( ) ( )

Riformulo in un problema equivalente :

= 0 − = 0. =

 ( ) ( )= ( )

+ → +

( )

 ( ) ( )

( )=

+ → +

( ) )

Con ho il metodo delle tangenti .mentre il metodo delle secanti non è un metodo del punto

= − ′(

fisso poiché dipende anche da

Convergenza locale

( ) ( )

∈ : = | ( )|

Se > 1 ∀ ∈