Riassunto Analisi Matematica II - Calcolo Numerico

ANALISI MATEMATICA

Serie Numeriche = + + ⋯+ ∈ℝ

= + + ⋯+ + +⋯ ∈ℝ

= = + + ⋯+ è ∈ℝ

+∞ è

= = lim = lim = −∞ è

→ →

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1

∶ =1

( + 1)

∶ =1

( + 1)!

1 1

∶ = +∞ ℎ lim =0

→

+∞ =1

1 1

∶ = >1

−1

+∞ <0

1

(−1)

∶ 1 | |<1

1−

“ ”∶ = +∞ ≥1

≤ −1

. . < −1

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

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CONDIZIONE NECESSARIA lim =0

→

La CONDIZIONE NECESSARIA può risultare utile nel momento in cui si ha una serie non convergente infatti

lim ≠0 →

→

Moltiplicazione:-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

∈ℝ → = ∑

Se la moltiplicazione per della serie non ne altera il comportamento e se :

≠ 0

= ∈ℝ → =

Somma:-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

+ = ( + )

= ∈ℝ ( + ) = +

= ∈ℝ

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Comportamento DEFINITIVO di una serie:

Se alteriamo o cancelliamo un numero finito di termini di una serie il comportamento della serie non

cambia. Ovviamente se la serie e convergente cambia la sua somma.

Proprieta associativa :

Se ∑ converge, converge snche la serie che si ottiene associando i termini della serie stessa.

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Serie numeriche a termini positivi (S.T.P.) ≥0 ∀ ∈ℕ

 Se una serie ha un numero definito di termini negativi li possiamo cancellare e trattare la seria

come se fosse positiva infatti il nostro agire non ne altera il comportamento e la serie ottenuta si

dice definitivamente positiva

 ∑ (−1) ∑

Se si studia il comportamento di

≤ 0 ∀ ∈ ℕ =

∑ cosi da non alterarne il comportamento

(−1) (− ) ≥ 0

 Una serie a termini positivi NON può essere OSCILLANTE perche le sue ridotte sono una

∈ℝ

successione monotona crescente e quindi lim = +∞

→

Criterio del CONFRONTO :

∑ ∑

Siano due S.T.P. e si abbia Quindi vale:

0 ≤ ≤

≤

∑ ∑

I. Se la serie converge anche converge

∑ ∑

II. Se la serie diverge anche diverge

Criterio del CONFRONTO ASINTOTICO :

∑ ∑

Siano Quindi

≥0 > 0

lim =

→

→ →

=0 = +∞

→ →

Criterio del CONFRONTO CON INTEGRALE IMPROPRIO :

∑

sia una S.T.P. esiste una funzione positiva e decrescente

( ≥ 0) ≤ → ≥

( ) ( )

( ) ( )

tale che allora :

=

( ) ( )

Esempio = → =

( )

Criterio del RAPPORTO :

∑

Sia Una S.T.P. allora vale il principio : <1

>1

lim =

→ =1 .

Criterio della RADICE

∑

Sia una S.T.P. allora vale il principio : <1

>1

lim =

→ =1 .

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Serie di segno qualunque (Infiniti termini negativi ed infiniti termini negativi)

 La CONDIZIONE NECESSARIA continua a valere quindi se la serie non puo convergere

lim ≠ 0

→

quindi Diverge o Oscilla .

 ∑ | | ∑

Vale la CONVERGENZA ASSOLUTA quindi se ma

→

non vale l implicazione in senso opposto.

Serie a segni alterni (S.S.A.) ∶ (−1) >0

Criterio di LEIBNIZ

∑ (−1)

Sia una S.S.A. se valgono le due condizioni :

→

I. cioè termini infinitesimi

0

II. cioè i termini della serie siano in val. assoluto DECRESCENTI(Condizione importante)

≤

Allora la serie converge ed inoltre abbiamo una stima dell’ errore che vale :

| |≤| |=

− −

Teorema di DIRICHELET

∑ una serie di segno qualunque se essa è assolutamente convergente ossia converge la sommatoria

∑ | | allora comunque si prendano i suoi termini la serie resta assolutamente convergente.

Teorema di RIEMANN-DINI

∑ ∑ | |

convergente ma non assolutamente convergente quindi diverge allora si possono

prendere i suoi termini in modo che converga ad un numero a piacere o oscilli.

ATTENTO : Permutare termini di una serie assolutamente convergente ne puo cambia il comportamento.

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Serie di Funzioni

Convergenza puntuale : ∑ ( ̅)

Una serie converge puntualmente se fissando la serie converge

̅

Criterio di Weierstrass : sia una successione di funzioni definite in e sia una

successione di numeri reali tali che : | ( )|

∀ ≥ , ≤ ∀ ∈

∑ ∑ ( )

Supponiamo che la serie numerica converga,allora anche la serie converge

uniformemente su

Serie di potenze

Si definisce serie di po