Riassunto Analisi I

Analisi 1

Assiona Dedekind

"A ⊂ ℝ A ≠ ∅ e superiormente limitato, allora esiste in ℝ l'estremo superiore di A"

Maggiore/ Minore

A ⊂ ℝ ∀ x ∈/ A K ∈ ℝ K è un maggiorante/minorante di A quando K ≥ a ∀ a ∈ A

Limitato

A ⊂ ℝ A ≠ ∅ A è superiormente/inferiormente limitato quando ∃ un maggiorante/minorante

Massimo/Minimo

Maggiorante/Minorante che è ∈ A

Estremo

K = sup A quando K è il min dei maggioranti

K = inf A " " " max dei minoranti

Convesso Intervallo

A ⊂ ℝ A ≠ ∅ è un intervallo quando ∀ x₀,x₁ ∈ A si ha x₀ = x₀ x₁ ∈ A ∀ t ∈ [0,1]

Punto di Accumulazione

K è pto di acc. quando ∀ > 0 ∃ aₙ ∈ A/aₙ ≠ k e aₙ ∈

Proprieta di Max/Min

f : X → ℝ x₀ ∈ f xₘₘ xₘ ∈ f ⁿ max/min quando ∀ x ∈ X δ(x₀) ≤ δ(x)

Convessità

f: I → ℝ. I intervallo f è convessa quando ∀ x₁, x₂ ∈ I si ha

f(t₁x₁ + (1-t)x₂) ≤ tf(x₁) + (1-t)f(x₂) ∀ t ∈ (0,1)

Limiti

&lim; f(x) = +∞ quando ∀ M > 0 ∃ x ≥ 𝕩(t) &Rightarrow f(x) > M ∀ x ≥ x (x ∈ I)

&lim; f(x) = l+ quando ∀ ϵ > 0 ∃ 𝕩(t) &Rightarrow |f(x) - l| < ϵ ∀ x ≥ 𝕩

Teorema di unicità del limite

f: A → ℝ, non è sup. limitato

&lim; f(x) &Rightarrow il lim è unico

Sono:

per assurdo &lim; f(x) = k₁ e &lim; f(x) = k₂, k₁ ≠ k₂

∀ ϵ > 0 ∃ 𝕩 ≥ 𝕪(x) &Rightarrow |f(x) - k₁| < ϵ ∀ x ≥ x₁

∀ ϵ > 0 ∃ 𝕩 ≥ 𝕪(x) &Rightarrow |f(x) - k₁| < ϵ ∀ x ≥ x₂

Mondo ϵ < |k₁ - k₂| e x₁ = max{x₁, x₂}

∀ ϵ > 0 ∃ 𝕩 ∀ x ≥ x₁

• f(x) - k₁| < ϵ
• |f(x) - k₁| < ϵ
• k₂ = s d ⊆ ∀ ϵ ∀ x ≥ x₁ f(x) ⊆ ∀ ϵ
• (k₁ - k₂) assurdo

DI RAPPORTO

lim_n→∞ a_n > 0

lim_n→∞ a_n+1/a_n →

• se l > 1 serie ∑a_n diverge
• se l < 1 serie ∑a_n converge

DI ULIBIC

• {a_n} a ≥ 0 (∀n) b_n
• b_n ≤ b_n-1 monotona decrescente e b_n > 0

→ ∑a_n converge

IN ASSOLUTA

∑|a_n|_n=0^∞ converge → ∑a_nn=0^∞ converge

DERIVATA

INTRODUZIONE

f: A → R x₀ ∈ A pto di acc. di A

f è derivabile in x₀ quando

lim_h→0 (f(x₀ + h) - f(x₀))/h esiste finito.

TEOREMA DI CONTINUITA' DELLE FUNZIONI DERIVABILI

f: A → R f derivabile in x₀ ∈ A → f continua in x₀

lim_x→x0 [(f(x) - f(x₀))/(x - x₀)] ∈ R

Funzioni Lipschitziane

f: A → R è Lipschitziana con costante L se quando

|f(x₁) - f(x₂)| ≤ L|x₁ - x₂| ∀x₁,x₂ ∈ A

Teorema di De L'Hopital

f, g: A ⊆ R → R derivabili

g ≠ 0 oppure g ≠ 0 definitivamente per x → ∞.

• lim_x→∞ f(x)/g(x) = [0/0] o [±∞/±∞]
• esiste lim_x→∞ f'(x)/g'(x)
• ⇒ lim_x→∞ f(x)/g(x) = lim_x→∞ f'(x)/g'(x)

LIM

x → x₀

• f(x) = g(x₀) = 0
• lim_x→x₀ f(x)/g(x) = [0/0]
• lim_x→x₀ f(x) - f(x₀)/g(x) - g(x₀)
• ⇒ lim_x→x₀ f'(x₀)/g'(x₀) = lim_x→x₀ f'(x)/g'(x)

Teo di Cauchy

f, g: [x₀, x₁] derivabili in x₀ ∈ (x₀, x₁)

• g'(x₀) [g(x₁) - g(x₀)] = g'(x₀) [g(x) - g(x₀)]
• f'(x)/g'(x) = f'(x)/g'(x)
• (x = x₀)/(x₀) = (x = x₀)/(x = x₀)