Riassunto esame Analisi I

LE SERIE

= 1,2,3, …,

Data una successione , con si può costruire una serie , detta delle somme parziali o delle

=1

∑

= + + ⋯ + =

ridotte n-esime, definite da , se si sommano infiniti termini, si ottiene la serie

1 2

∞

∑

, dove si dice termine generale.

=1

Le serie possono essere regolari, se convergono o divergono e non regolare, se oscillano, si dice che sono il

carattere di una serie.

Le serie più importanti sono: 1 1 1 1 1

∞

• ∑ = = − = 1 − +

La serie di Mengoli dove il termine generale è . lLa serie

=1

(+1) (+1) +1 2

1 1 1 1

− + ⋯+ − , i termini intermedi si cancellano e rimangono solo

2 3 +1

1

= 1 − lim = 1

quindi il suo limite è 1

+1 2

(+1)

• ∞

∑ dove la serie = 1 + 2 + ⋯ + = ~ → +∞

=1 2 2

1

∞

∑ (−1) = {

dove , ne consegue che è oscillante

=0 0

prodotto di una serie per una costante (34)

Si può fare il e la serie risultante conserva il suo carattere,

∑ ∑

≠ 0, = ,

quindi per . Se converge, la serie converge ad se diverge allora diverge anche la

serie (con segno dipendente da k) e se oscilla, oscilla anche la serie. La dimostrazione fa uso di due serie

= + + ⋯ + σ = + + ⋯ + =

e , allora .

1 2 1 2

serie di una somma (35) ∑ ∑

La è uguale alla somma dei limiti se convergono, si dimostra

′ ′′ ′ ′′

( ) ( ),

= + + ⋯ + + = + ⋯ + , = + ⋯ + = +

costruendo la serie , allora ,

1 2 1 1 ̅

′ ′′ ′ ′′

)

lim( + = lim + lim ℝ

per il teorema dei limiti , se non ci sono forme di indecisione vale anche in .

Il carattere di una serie non cambia se viene alterata per un numero finito di termini (36).

= ≥ , = + ⋯ + + + ⋯ +

Per dimostrarlo si scrivono le serie e

0 1 −1

0 0

′ ′

= + ⋯ + + + ⋯ + − = + ⋯ + − ( + ⋯ + ),

, quindi quindi il secondo

1 −1 1 −1 1 −1

0 0 0 0

′

= + ,

membro è una costante quindi hanno lo stesso carattere (se converge però il limite differisce di

c).

La serie dipende dal metodo di sommazione, ad esempio se si usa la somma di Cesaro, che prevede la

+ +⋯+ 1

∞ ′ 1 2

∑ (−1) = =

media, la serie risulta .

=0 2 2

Una serie converge se e solo se è di Cauchy (37), ∑ ⇔ ⇔

converge converge è di Cauchy. Per

=1

∑

∀ > 0, ∃ : ≥ ≥ 0 ⇒ | − | < , s =

dimostrarlo si stabilisce dato che , allora

0 0 + −1 n

+ + + +

−1

∑ ∑ ∑ ∑

= = + = + ⇒ | − | = |∑ |.

+ −1 + −1

=1

=1 = = =

Un teorema (38) stabilisce che la condizione necessaria di convergenza è che il termine generale deve

= + ⋯ + ⇒ → ⇒ → ),

tendere a zero. La dimostrazione è converge (∃ quindi

1 −1

( )

− → − = 0 ⇒ − = + + ⋯ + − + ⋯ + = → 0.

−1 −1 1 2 1 −1

= − ⇒ = − + − + ⋯ + − ,

Una serie è telescopica se +1 +1 +1 +2 +1

0 0 0 0

∞

∑

= − , lim = lim ⇒ = − lim

quindi . Ad esempio la serie di Mengoli

+1 +1

=1

0 0

1 1 1 1

∑

= − , = ⇒ = − lim = 1 − lim = 0.

1

+1 ≥ 0,

Una serie si dice a termini positivi se il termine generale può valere anche solo definitivamente, si

possono sostituire i termini negativi con lo zero, o se non sono positivi si può raccogliere il meno. Valgono

due teoremi:

Una serie a termini positivi è regolare (39),

1. per la dimostrazione basta sapere che la serie

= + ≥

delle somme parziali è monotona crescente . Ne consegue che se non è

+1 +1

verificata la condizione necessaria per la convergenza, allora la serie diverge.

Teorema del confronto (40), ∑ ∑

0 ≤ ≤ ⇒

2. dati , allora se diverge diverge, per la

= + ⋯ + δ = + ⋯ + ⇒ 0 ≤ ≤

dimostrazione basta definire e , per il secondo

1 1

∑ ∑

⇒

criterio di confronto delle successioni è verificato. Se invece converge converge, per

δ δ ≤ ) ⇒ ≤ δ ≤

dimostrarlo si fissano , se la converge significa che è limitata (

dunque è monotona e limitata, quindi converge.

+ 1 = 1

∞

∑ = { +1

Una serie si dice geometrica di ragione q, se dato , , si dimostra

1−

=0 ≠ 1

1− +1

1

(1

= − ) = −

semplicemente considerando che è una serie telescopica .

1− 1− 1−

||

0 < 1

+1 ∞

∞ ≥ 1 ∑

lim = lim = { =

Dato che il . Se riscriviamo la serie geometrica come =0

≤ −1

0

−1 ∞

0

∑ ∑

+ = + → = = .

= −1 −1

=0 0 0 0 1−

1

∞

∑

La serie armonica è , esiste un teorema che stabilisce che questa serie diverge. Lo si può dimostrare

=1

per assurdo (infatti essendo una serie a termini positivi o diverge o converge) e si suppone che converga,

→ , →

quindi e (perché è una sottosuccessione)

2 1 1 1 1 1 1 1 1

− → − = 0. − = + +⋯+ ≥ + + ⋯+ = =

ma .

2 2 2 2−1 +1 2 2 2 2 2

Quest'ultimo confuta l'ipotesi che la successione converga a zero, infatti è maggiore o uguale a un mezzzo.

1

=1

∑ − log → ≅ 0,5772

La formula di Mascheroni-Eulero (costante di Eulero-Maschroni), ne consegue

1

=1

∑ ~ log .

che 1 1

≤ 1, ≥

1

∞

∑ { (1,2)

La serie armonica generalizzata è , quest'ultima , ma nell'intervallo

=1 1 1

≥ 2, ≤

2

1 1 1

≤ ≤

non si può sapere perchè .

2

criterio del confronto asintotico (41) ∑ ∑

, > 0 ~ ⇒

Il stabilisce che hanno lo stesso

> 1

< 1

1

∑ ={

carattere. Si parla di serie campione > 1

(log ) = 1{ ≤ 1 > 1

criterio del rapporto (42) +1

> 0 → , { < 1

Il stabilisce che se allora .

= 1

criterio della radice (43),

√ → .

Vale lo stesso per il per cui

∞

∑ > 0

La serie fattoriale è la seguente , per la serie converge, un teorema stabilisce che il limite di

=0 ! 1 1

∑

= 1, = = ∀ ≥ 1 0 < − <

convergenza è . Per si ha . si ha che . Dato che converge ad

! !

1 1 1

∞

∑

− = = + + ⋯ =

dal basso, la loro differenza è sicuramente maggiore di zero. =+1 (+1)! (+2)!

!

1 1 1 1 1 1 1

∞

∑

[1 + + ⋯ ] < [1 + + + ⋯ ] ( ) =

è una serie geometrica, quindi =0

(+1)! (+1)! (+2)! (+1)!

+2 +1 +1

1 1 1

=

1

(+1)! !

1−

+1 criterio

∑(−1)

Per quanto riguarda le serie a termini di segno variabile, un esempio è la serie e vige il

di Leibniz (44), | |

→ 0 ≤ ⇒ ↓ 0, − ≤

secondo il quale se con , ma affinchè il criterio

+1 +1

funzioni, la successione deve tendere a zero monotonamente. Si dimostra grazie ad un lemma che stabilisce

| |

− → 0 ⇒ ∃ ∈ ℝ:

che se è crescente e è decrescente e

↑ ↓ .<