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VETTORE:
Lo spazio vettoriale deve verificare somma tra vettori e prodotto per uno scalare
PRODOTTO SCALARE
con i, j = 1, 2, ...
PROPRIETÀ
xj reale y reale ⇒ <x, y> = xjyj ...
(ax + by)•z = (ax•z + by•z) = a(x•z) + b(y•z)
x ≥ 0 e y ≠ 0 se e solo se x = 0
DISUGUAGLIANZA DI CAUCHY-SCHWARTZ
-||x|| ||y|| ≤ x·y ≤ ||x|| ||y||
In R x·y = ||x|| ||y|| cosθ
PROPRIETÀ DELLA NORMA
|a| ||x|| = |a| ||x||
||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| e ||x - y|| ≥ ||x|| - ||y||
||x|| ≥ 0 e ||x|| = 0 ⇒ x = 0
||x-y|| esprime la distanza euclidea tra i punti
- ||x||=||y-x|| poiché √(x²-y²) = √(y²-x²)
- ||x-y||=0 sse x=y
- ||x-y|| ≤ ||x-a|| + ||r-y||
d(x, y, λ) = |λ| ||x-y|| se λ è scalare
Lo norma può essere usato anche per definire il limite di una successione in en
Una successione di punti in R tende ad a ∈ R se e solo se limn→∞ ||xn -a||=0
PRODOTTO TRA MATRICI
Il prodotto scalare può essere visto come n rig x per colonna y
<x, y> = (x1, x2, ... )•(y1 y2)
FUNZIONI CONTINUE
E ∈ C1 un intorno ε < E → R una funzione, a ∈ Ef è continua in a ∈ A ⇔ per ogni ε>0 ∃ δ>0 tale che per ogni x ∈ E con ||x-a||<δ ne segue che |f(x) - f(a)| < ε
Le funzioni continue su R sono analoghe a quelle di una variabile reale e fg continui allora:
- f + g e f • g contina in y, a ∈ R
- g continua su E e f/g è continua su E/g ≠ 0
- se f(E) ⊂ B, dove B ∈ T allora | φ | ° f è continua
- se fi fn E → R sono continue, se F(x) = (f1(x),..., fn(x)) soddisfa F(E) ⊂ Cn Rm
- f, b → R continua allora max e min di f sono continui
5) \[D_{(x_0,y_0)}\] \[
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